Riyaziyyat, Fəzada nöqtə, düz xətt, müstəvi

Perpendikulyar müstəvilər: nöqtədən kəsişmə xəttinə qədər məsafə

Nöqtənin iki perpendikulyar müstəviyə qədər məsafələrini bilirsənsə, onların kəsişmə xəttinə qədər məsafəni Pifaqor teoremi ilə tapmağı öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 4 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: boş otağın küncü, divarla döşəmənin görüşdüyü düz tikiş və havada asılmış lampa.

Otağın küncünə bax. Döşəmə ilə divar düz bucaq altında görüşür, görüşdükləri yer isə düz bir tikişdir. Bu, perpendikulyar iki müstəvi və onların kəsişmə xəttidir. Həndəsə dərsliyindən çıxmağa ehtiyac yoxdur, hamısı elə otağındadır.

İndi havada bir nöqtə təsəvvür et, məsələn, tavandan asılmış lampanı. Onun döşəmədən hündürlüyü də var, divardan uzaqlığı da. Bəs o, döşəmə ilə divarın görüşdüyü tikişdən nə qədər uzaqdadır? İlk ağla gələn cavab bu iki ədədi toplamaqdır. Amma bu cavab səhvdir.

Düzgün cavab üçün bir düzbucaqlı üçbucaq kifayətdir. Bu səhifədə o üçbucağı harada axtarmaq lazım olduğunu görəcəksən.

Niyə lazımdır

Fəza həndəsəsində çox məsələ eyni hiylə ilə həll olunur: fəzadakı vəziyyəti bir müstəviyə köçürürsən, sonra tanış planimetriya işləyir. Perpendikulyar müstəvilər bunun ən aydın nümunəsidir. Kəsişmə xəttinə perpendikulyar kəsik götürürsən, qarşına adi düzbucaqlı üçbucaq çıxır.

İmtahanda bu tip məsələlər qısa olur, amma bir addımı səhv atsan, cavab başqa çıxır. Qaydanı bir dəfə yaxşı başa düşsən, belə tapşırıqlar sənə bir neçə sətirlik iş olacaq.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Bu mövzuda imtahan əsasən hesablama məsələləri verir. Ən tipik tapşırıqda nöqtənin perpendikulyar müstəvilərə qədər məsafələri (bəzən bərabər) verilir, kəsişmə xəttinə qədər məsafə soruşulur. İkinci tipdə parçanın ucları müxtəlif müstəvilərdə, yaxud düz ikiüzlü bucağın üzlərində olur: uclarından kəsişmə xəttinə perpendikulyarlar çəkilir, parçanın uzunluğu və ya oturacaqlar arasındakı məsafə tapılır. Üçüncü tipdə oturacağı ortaq olan iki bərabəryanlı üçbucağın müstəviləri perpendikulyardır və təpələri arasındakı məsafə axtarılır. Bəzən də düz xətlər və müstəvilər haqqında doğru təklif seçilir. Kubda perpendikulyar müstəviləri tanımaq isə imtahan nümunələrində yox, dərslikdə məşq edilir.

Qayda

Kəsişən iki müstəvinin yaratdığı ikiüzlü bucaq $90^\circ$ -dirsə, onlar perpendikulyardır: $\alpha\perp\beta$ .
Əlamət: müstəvi başqa bir müstəviyə perpendikulyar olan düz xətdən keçirsə, bu müstəvilər perpendikulyardır.
Xassə: $\alpha\perp\beta$ , $c$ isə onların kəsişmə xəttidirsə, $\alpha$ üzərində $c$ -yə perpendikulyar çəkilən düz xətt $\beta$ -ya perpendikulyardır. Ona görə $\alpha$ -dakı nöqtənin $\beta$ -dan və $c$ -dən uzaqlığı eynidir.
$\alpha\perp\beta$ olduqda nöqtədən bu müstəvilərə qədər məsafələr $a$ və $b$ olarsa, $c$ -yə qədər məsafə $d=\sqrt{a^2+b^2}$ .
Kəsişmə xəttinə perpendikulyar kəsik: $d^2=a^2+b^2$
$A\in\alpha$ , $B\in\beta$ , $AC\perp c$ , $BD\perp c$ olarsa, $AB^2=AC^2+CD^2+BD^2$ .
Eyni müstəviyə perpendikulyar olan iki kəsişən müstəvinin ortaq düz xətti də həmin müstəviyə perpendikulyardır.

Bu mövzunun tapşırıqlarında istifadə olunan düstur

Öyrənilməli düstur

d=\sqrt{a^2+b^2}

Düzbucaqlı: tərəfləri a və b, diaqonalı d.

$a$ və $b$ nöqtədən iki perpendikulyar müstəviyə qədər məsafələrdir. Nöqtədən kəsişmə xəttinə qədər məsafə $d$ tərəfləri $a$ və $b$ olan düzbucaqlının diaqonalına bərabərdir; burada $a = 2$ , $b = 4$ .

Məsafəni özün dəyiş

Nöqtədən iki perpendikulyar müstəviyə qədər məsafələri, yəni $a$ və $b$ -ni seç. Kəsişmə xəttinə qədər məsafə $d$ hipotenuz kimi dərhal hesablanır. Bunu $a+b$ ilə müqayisə et.

Nümunələr

ABCD

kvadratının tərəfi

8

-dir.

ABK

üçbucağında

\angle ABK=90^\circ

BK=2

, bu üçbucağın müstəvisi kvadratın müstəvisinə perpendikulyardır.

K

nöqtəsindən

AC

diaqonalına qədər məsafəni tap.

Həllə bax

Həlli: $KB\perp AB$ olduğundan xassəyə görə $KB\perp(ABC)$ . $O$ diaqonalların kəsişmə nöqtəsi olsun: $BO\perp AC$ , $BO=4\sqrt2$ . Üç perpendikulyar teoreminə görə $KO\perp AC$ , deməli $KO=\sqrt{4+32}=6$ .

Perpendikulyar $\alpha$ və $\beta$ müstəviləri $c$ düz xətti üzrə kəsişir. $A\in\alpha$ nöqtəsi $c$ -dən $16$ , $B\in\beta$ nöqtəsi isə $30$ vahid uzaqdadır. $AB$ parçasının orta nöqtəsi $M$ -dən $c$ -yə qədər məsafəni tap.

Həllə bax

Həlli: Xassəyə görə $A$ nöqtəsi $\beta$ -dan $16$ , $B$ isə $\alpha$ -dan $30$ uzaqdadır. $B\in\beta$ və $A\in\alpha$ olduğundan $M$ -in məsafələri bunların yarısıdır (orta xətt): $\beta$ -dan $8$ , $\alpha$ -dan $15$ . Deməli, $M$ -dən $c$ -yə qədər məsafə $\sqrt{64+225}=17$ .

Perpendikulyar müstəvilərin kəsişmə xəttindən $10$ vahid uzaqda olan nöqtə bu müstəvilərdən birindən $6$ vahid uzaqdadır. Onun digər müstəviyə qədər məsafəsini tap.

Həllə bax

Həlli: $d^2=a^2+b^2$ bərabərliyindən $b=\sqrt{100-36}=8$ .

Perpendikulyar

\alpha

və

\beta

müstəviləri

c

düz xətti üzrə kəsişir.

A\in\alpha

B\in\beta

AC\perp c

BD\perp c

AC=3

BD=4

CD=12

AB

parçasının uzunluğunu tap.

Həllə bax

Perpendikulyarlar $c$ üzərində müxtəlif nöqtələrə düşür, ona görə üç toplananlı bərabərlikdən istifadə edirik: $AB^2=AC^2+CD^2+BD^2$ .
Ədədləri yerinə qoyuruq: $AB^2=9+144+16=169$ .
Deməli, $AB=\sqrt{169}=13$ .

$AB=13$

Tipik səhv

Nöqtə perpendikulyar müstəvilərdən $3$ və $4$ uzaqdadır, deməli kəsişmə xəttinə qədər məsafə $d=3+4=7$ .

Bu məsafələr düzbucaqlı üçbucağın katetləridir, ona görə $d=\sqrt{3^2+4^2}=5$ .

Məsafələri toplamaq ən çox yayılmış səhvdir. Yuxarıdakı Pifaqor düsturu ilə hesablama yalnız müstəvilər perpendikulyar olduqda doğrudur. Parçanın uzunluğunu hesablayanda $CD^2$ toplananını unutma: perpendikulyarlar kəsişmə xəttinin müxtəlif nöqtələrinə düşürsə, $AB^2$ üç kvadratın cəmidir.

Bir də yadında saxla: iki müstəvinin hər biri üçüncüyə perpendikulyardırsa, bu, onların paralel və ya perpendikulyar olduğunu göstərmir.

Özünü yoxla

Nöqtədən iki perpendikulyar müstəvinin hər birinə qədər məsafə $6$ vahiddir. Həmin nöqtənin müstəvilərin ortaq düz xəttindən uzaqlığını tap.

Perpendikulyar $\alpha$ və $\beta$ müstəviləri $c$ düz xətti üzrə kəsişir. $\alpha$ müstəvisində yerləşən $l$ düz xətti $c$ -yə perpendikulyardır. Doğru təklifi seç.

Perpendikulyar $\alpha$ və $\beta$ müstəviləri $c$ düz xətti üzrə kəsişir. $A\in\alpha$ , $B\in\beta$ , $C,D\in c$ , $AC\perp c$ , $BD\perp c$ verilib. $AB=7$ , $AC=2$ , $BD=3$ olarsa, $CD$ məsafəsini tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Perpendikulyar müstəvilər», səh. 61