Riyaziyyat, Fəzada nöqtə, düz xətt, müstəvi

Düz xətlə müstəvi arasındakı bucaq necə tapılır

Mailin, onun proyeksiyasının və perpendikulyarın yaratdığı üçbucaqdan düz xətlə müstəvi arasındakı bucağı tapmağı öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 4 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: həyətdə ağ daş divara söykənmiş taxta nərdivan.

Divara söykənmiş nərdivanı gözünün önünə gətir. Onun nə qədər maili durduğunu bilmək istəyirsən, yəni nərdivanla yer arasındakı bucağı. Sadəlik üçün yeri üfüqi müstəvi, nərdivanı isə bir düz xətt parçası kimi təsəvvür et: bu parça yerə cəmi bir nöqtədə, öz ayağında toxunur. Bəs bucağı yerdəki hansı xəttə görə ölçmək lazımdır?

Nərdivanın yuxarı ucundan şaqul sal. Şaqul ucunda ağırlıq asılmış sapdır və həmişə düz aşağı sallanır, yəni üfüqi yer səthinə perpendikulyar olur. Sapın yerə çatdığı nöqtəni nərdivanın ayağı ilə birləşdir: bu xətt nərdivanın yerdəki proyeksiyasıdır. Bucaq məhz nərdivanla bu xətt arasında ölçülür.

Nəticədə nərdivan, şaqul və yerdəki xətt düzbucaqlı üçbucaq əmələ gətirir. Bu mövzunun bütün məsələləri belə bir üçbucağa gəlib çıxır.

Niyə lazımdır

Stereometriyanın çox məsələsində eyni üç addım işləyir: perpendikulyarı tap, mailin proyeksiyasını qur, sonra düzbucaqlı üçbucaqda $\sin$ , $\cos$ və ya $\mathrm{tg}$ yaz. Piramidanın yan tili, prizmanın diaqonalı, kubun diaqonalı: hamısında bucaq eyni qayda ilə tapılır.

Həyatda da bu lazımdır: rampanın, damın, dağ yamacının nə qədər dik olduğunu soruşanda əslində düz xətlə müstəvi arasındakı bucağı soruşursan.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahan tapşırıqlarında adətən müstəvidən kənardakı nöqtədən perpendikulyar və mail çəkilir. Nöqtədən müstəviyə məsafə, mailin uzunluğu, onun proyeksiyası və mailin müstəvi ilə bucağı: bu dörd kəmiyyətdən ikisi verilir, başqası soruşulur. Daha çətin tapşırıqlarda bir nöqtədən iki mail çəkilir və onların oturacaqları arasındakı məsafə və ya nöqtədən müstəviyə məsafə tapılır. Kvadratın, düzbucaqlının, üçbucağın təpəsindən qaldırılmış perpendikulyarla bağlı məsələlər də var. Uyğunluq tapşırıqlarında iki mailin, onların proyeksiyalarının və bucaqlarının müqayisəsi yoxlanılır.

Qayda

$AH\perp\alpha$ ( $H\in\alpha$ ), $AB$ isə maildir ( $B\in\alpha$ ). $HB$ parçası mailin proyeksiyasıdır, $AHB$ üçbucağında $\angle H=90^\circ$ .
Düz xətlə müstəvi arasındakı bucaq bu düz xətlə onun həmin müstəvidəki proyeksiyası arasındakı bucaqdır: $\varphi=\angle ABH$ .
AHB kəsiyi: $AH\perp\alpha$ , $\varphi=\angle ABH$
$\sin\varphi=\frac{AH}{AB}$ , $\cos\varphi=\frac{HB}{AB}$ , $\mathrm{tg}\,\varphi=\frac{AH}{HB}$ .
Müstəviyə perpendikulyar düz xətt üçün $\varphi=90^\circ$ , müstəviyə paralel düz xətt üçün $\varphi=0^\circ$ ; deməli həmişə $0^\circ\le\varphi\le90^\circ$ .
Bir nöqtədən çəkilmiş iki maildən proyeksiyası böyük olan daha uzundur, müstəvi ilə bucağı isə daha kiçikdir.
Parçanın uclarından müstəviyə qədər məsafələr $h_1$ və $h_2$ olarsa, parça müstəvini kəsmədikdə $\sin\varphi=\frac{|h_1-h_2|}{AB}$ , kəsdikdə $\sin\varphi=\frac{h_1+h_2}{AB}$ .

Üçbucağı özün həll et

İlk üç tapşırıqda $A$ nöqtəsindən $\alpha$ müstəvisinə $AH$ perpendikulyarı və $AB$ maili çəkilib, $\varphi$ mailin müstəvi ilə bucağıdır. Son iki tapşırığın quruluşu öz şərtində verilib. Cavabı yaz və yoxla.

Nümunələr

Mailin uzunluğu 14, proyeksiyası 7-dir. Mailin müstəvi ilə bucağını tap.

Həllə bax

Həlli:

\cos\varphi=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}

, deməli

\varphi=60^\circ

Düzbucaqlı paralelepipedin oturacağının tərəfləri 8 və 15, hündürlüyü 17-dir. Diaqonalla oturacaq müstəvisi arasındakı bucağı tap.

Həllə bax

Həlli: diaqonalın proyeksiyası oturacağın diaqonalıdır: $\sqrt{8^2+15^2}=17$ . $\mathrm{tg}\,\varphi=\frac{17}{17}=1$ , $\varphi=45^\circ$ .

Nöqtə müstəvidən 10 məsafədədir, ondan çəkilmiş mail müstəvi ilə $30^\circ$ bucaq əmələ gətirir. Mailin uzunluğunu tap.

Həllə bax

Həlli: $\frac{10}{\sin30^\circ}=20$ .

Tipik səhv

$AH=5\sqrt3$ , $AB=10$ : $\cos\varphi=\frac{AH}{AB}=\frac{\sqrt3}{2}$ , deməli $\varphi=30^\circ$ .

$\varphi$ bucağı $B$ təpəsindədir və $AH$ ona qarşıdır: $\sin\varphi=\frac{AH}{AB}=\frac{\sqrt3}{2}$ , deməli $\varphi=60^\circ$ .

Ən çox rast gəlinən səhv bucağı yanlış təpədə axtarmaqdır: lazım olan bucaq mailin müstəvini kəsdiyi nöqtədədir, perpendikulyarla mail arasındakı bucaq isə onu $90^\circ$ -yə tamamlayır; bunu qarışdıran $\sin$ əvəzinə $\cos$ yazır və $60^\circ$ yerinə $30^\circ$ alır. Yoxlamaq üçün xatırla: bucaq böyüdükcə proyeksiya qısalır (burada $HB=5$ , mailin yarısıdır, bucaq böyükdür).

İkinci səhv proyeksiyanı düzgün seçməməkdir: perpendikulyar fiqurun təpəsindən qaldırılıbsa, mailin proyeksiyası həmin təpəni mailin oturacağı ilə birləşdirir, kubda isə diaqonalın proyeksiyası üzün tili yox, üzün diaqonalıdır. Bir də: düz xəttin müstəvidəki hansısa düz xətlə bucağı müstəvi ilə bucağa bərabər olmaya da bilər, çünki müstəvi ilə bucaq belə bucaqların ən kiçiyidir.

Özünü yoxla

$AH\perp\alpha$ , $H,B\in\alpha$ və $AB$ maildir. $\angle HAB=38^\circ$ olarsa, $AB$ mailinin $\alpha$ müstəvisi ilə bucağını tap.

$A$ nöqtəsindən $\alpha$ müstəvisinə $AH$ perpendikulyarı, $AB$ və $AC$ mailləri çəkilib. $HB<HC$ olarsa, hansı fikir doğrudur?

$AB$ parçasının ucları $\alpha$ müstəvisinin müxtəlif tərəflərindədir və müstəvidən məsafələri $2$ və $7$ -dir. $AB=18$ olarsa, parçanın müstəvi ilə əmələ gətirdiyi $\varphi$ bucağının sinusunu tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Perpendikulyar və maillər», səh. 53