Riyaziyyat, Funksiyalar və qrafiklər

Funksiyanın artması və azalması, tək, cüt və dövri funksiyalar

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Funksiyaların xassələri», səh. 12
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Cüt funksiya, tək funksiya», səh. 16
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Dövri funksiyalar», səh. 134

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Bəzi tapşırıqlarda bütün ədəd oxunda artan və ya azalan funksiyanın bir neçə qiyməti müqayisə olunur, bəzilərində isə xətti və kvadrat funksiyalardan hansının verilən aralıqda artdığı və ya azaldığı soruşulur. Digər suallarda düsturlar və qrafiklər arasından tək, cüt, yaxud nə tək, nə də cüt olan funksiyanı seçmək, parametrin funksiyanı cüt və ya tək edən qiymətini tapmaq lazım gəlir. Dövri funksiyalara aid tapşırıqlarda qrafikə görə əsas dövr müəyyən edilir, dövrdən və tək-cütlükdən istifadə edərək funksiyanın uzaq nöqtələrdəki qiymətləri hesablanır. Uyğunluq tapşırıqlarında bu xassələr bir neçə funksiya üçün birlikdə yoxlanılır.

Qayda

Aralığın istənilən $x_1<x_2$ nöqtələri üçün $f(x_1)<f(x_2)$ olarsa, funksiya bu aralıqda artandır, $f(x_1)>f(x_2)$ olarsa, azalandır.
$y=kx+b$ funksiyası $k>0$ olduqda artan, $k<0$ olduqda azalandır. $y=ax^2+bx+c$ üçün təpənin absisi $x_0=-\frac{b}{2a}$ : $a>0$ olduqda funksiya $(-\infty;x_0]$ aralığında azalır, $[x_0;+\infty)$ aralığında artır, $a<0$ olduqda isə əksinə.
Təyin oblastı sıfıra nəzərən simmetrik olmalıdır. Hər $x$ üçün $f(-x)=f(x)$ ödənərsə, funksiya cütdür (qrafiki $Oy$ oxuna nəzərən simmetrikdir), $f(-x)=-f(x)$ ödənərsə, təkdir (qrafiki koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir). Tək funksiya sıfırda təyin olunubsa, $f(0)=0$ .
Yalnız cüt dərəcəli hədlərdən (sabit də daxil olmaqla) ibarət çoxhədli cüt, yalnız tək dərəcəli hədlərdən ibarət çoxhədli tək funksiyadır.
Təyin oblastındakı hər $x$ üçün $x+T$ və $x-T$ də təyin oblastına daxil olub $f(x+T)=f(x)$ olarsa ( $T\ne0$ ), $T$ funksiyanın dövrüdür; $nT$ ( $n$ sıfırdan fərqli tam ədəd) də dövrdür. Ən kiçik müsbət dövrə əsas dövr deyilir.

Nümunələr

$f(x)=x^3+2x$ funksiyasının tək-cütlüyünü araşdır.

Həlli: $f(-x)=-x^3-2x=-(x^3+2x)=-f(x)$ , deməli funksiya təkdir.

f(x) = x³ + 2x qrafiki koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir və artandır. — $f(x)=x^3+2x$ : $f(-x)=-f(x)$

$f(x)$ cüt funksiyadır və $[0;+\infty)$ aralığında azalandır. $f(-3)$ və $f(2)$ qiymətlərini müqayisə et.

Həlli: $f(-3)=f(3)$ ; $3>2$ və funksiya bu aralıqda azalan olduğundan $f(3)<f(2)$ , yəni $f(-3)<f(2)$ .

Dövrü 5 olan $f(x)$ funksiyası üçün $f(2)=-1$ . $f(-13)$ qiymətini tap.

Həlli: $-13+3\times5=2$ , ona görə $f(-13)=f(2)=-1$ .

Tipik səhv

Ən çox yayılmış səhv tək və ya cüt funksiyanın yalnız $x>0$ üçün verilmiş düsturunu mənfi arqumentə birbaşa tətbiq etməkdir: əvvəlcə $f(-a)$ qiymətini $f(a)$ ilə ifadə et, düsturu isə yalnız müsbət arqument üçün işlət. İkinci səhv azalan funksiyada bərabərsizlik işarəsini dəyişməməkdir. Kvadrat funksiyada təpənin absisini hesablayarkən $a$ əmsalının mənfi işarəsi tez-tez unudulur. Cüt funksiyanın $[0;+\infty)$ aralığında artması onun bütün oxda artması demək deyil: $(-\infty;0]$ aralığında o azalır, ona görə müqayisədə arqumentlərin modullarına keçmək lazımdır. Nəhayət, əsas dövrü tapanda sıfırlar arasındakı məsafəni dövr sayma: qrafikin bütöv hissəsi təkrarlanmalıdır.