Riyaziyyat, Funksiyalar və qrafiklər

Funksiyanın sıfırları: f(x) = 0 və qrafikin Ox oxu ilə kəsişməsi

Funksiyanın sıfırlarını tapmağı, tənliyin hər kökünü təyin oblastı ilə yoxlamağı və parametrli tapşırıqları həll etməyi öyrənəcəksən.

Oxuma vaxtı: 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: yaşıl ot meydançasının üstündə havada olan futbol topu.

Topu yuxarı atırsan. Hər an onun yerdən hündürlüyü bir ədəddir, yəni hündürlük zamandan asılı funksiyadır. Top yerə düşdüyü anda bu funksiyanın qiyməti $0$ olur.

Riyaziyyatda funksiyanın qiymətini sıfır edən arqument qiymətlərinə funksiyanın sıfırları deyilir. Top nümunəsində bunlar hündürlüyün sıfır olduğu zaman qiymətləridir. Onları tapmaq üçün $f(x)=0$ tənliyini həll edirsən. Qrafikdə isə bunlar absis oxu ilə ortaq nöqtələrin absisləridir.

Amma bir incəlik var: həll zamanı alınan hər namizəd qiymət funksiyanın sıfırı olmur, təyin oblastını da yoxlamalısan. Bunun üçün bir neçə qısa qayda kifayətdir.

Niyə lazımdır

Funksiyanın kəsilməz olduğu aralıqda iki qonşu sıfır arasında funksiya işarəsini dəyişmir. Kəsr funksiyalar üçün intervallar üsulunda məxrəci sıfır edən qiymətlər də sərhəd kimi götürülür. Bərabərsizlikləri intervallar üsulu ilə həll edəndə də, qrafiki təxmini çəkəndə də ilk addım sıfırları tapmaqdır.

İmtahanda bu, çox vaxt bir neçə addımlı tapşırığın başlanğıcıdır: əvvəlcə parametr tapılır, sonra sıfırlar, sonra onların cəmi və ya sayı. Bir kökü yoxlamağı unutsan, qalan addımlar düzgün olsa belə cavab səhv çıxa bilər.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Sadə tapşırıqlarda xətti, kvadrat, kəsr və ya kökaltı ifadəli funksiyanın sıfırlarını hesablamaq, yaxud sabit funksiyanın sıfırı olmadığını görmək lazım gəlir. Bəzən qrafik çəkilir və onun absis oxu ilə ortaq nöqtələrinə baxaraq sıfırların cəmi, sayı və ya funksiyanın işarəsini saxladığı aralıqlar soruşulur. Orta və çətin tapşırıqlarda parametr olur: qrafikin verilmiş nöqtədən keçməsinə görə parametri tapıb sonra sıfırları hesablamaq, parametrin hansı qiymətlərində qrafikin $Ox$ oxu ilə kəsişmədiyini və ya funksiyanın yalnız mənfi qiymətlər aldığını müəyyən etmək, sıfırlara və ordinat oxu ilə kəsişmə nöqtəsinə görə əmsalları bərpa etmək.

Qayda

$x_0$ ədədi $f(x)$ funksiyasının təyin oblastına daxildirsə və $f(x_0)=0$ olarsa, $x_0$ funksiyanın sıfırıdır.
Sıfırları tapmaq üçün $f(x)=0$ tənliyi həll olunur, sonra hər kök təyin oblastı ilə yoxlanılır: məxrəc sıfır olmamalı, kvadrat kökün altındakı ifadə mənfi olmamalıdır.
Qrafikdə sıfırlar qrafikin $Ox$ oxu ilə ortaq nöqtələrinin absisləridir; $0$ təyin oblastına daxildirsə, $(0;\,f(0))$ nöqtəsi qrafikin $Oy$ oxu ilə kəsişməsidir və onun absisi $0$ yalnız və yalnız $f(0)=0$ olduqda funksiyanın sıfırıdır.
$y=kx+b$ ( $k\ne0$ ) funksiyasının yeganə sıfırı $x=-\frac{b}{k}$ -dır; $y=b$ ( $b\ne0$ ) funksiyasının sıfırı yoxdur.
$y=ax^2+bx+c$ ( $a\ne0$ ) funksiyasının $D>0$ olduqda iki, $D=0$ olduqda bir sıfırı var, $D<0$ olduqda sıfırı yoxdur. Sıfırları $x_1$ və $x_2$ olarsa, $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ .
Kəsilməz funksiya iki qonşu sıfırı arasında işarəsini dəyişmir.

Funksiyanın sıfırını seç

Hər funksiya üçün düzgün cavabı seç. Alınan qiymətlərin təyin oblastına daxil olduğunu yoxla.

Nümunələr

y=\frac{x^2-4x}{x-4}

funksiyasının sıfırlarını tap.

Həllə bax

Həlli: surətin kökləri $0$ və $4$ -dür, lakin $x=4$ məxrəci sıfıra çevirir. Yeganə sıfır $x=0$ olur.

Surətin köklərini yoxla
Surətin kökü	Nəticə
$x=0$	Funksiyanın sıfırıdır
$x=4$	Məxrəc sıfırdır; təyin olunmayıb

$y=(x+5)\sqrt{3-x}$ funksiyasının sıfırlarının cəmini tap.

Həllə bax

Həlli: təyin oblastı $x\le3$ -dür. Vuruqları sıfıra bərabər edək: $x=-5$ və $x=3$ , ikisi də oblasta daxildir. Cəm $-2$ -dir.

$m$ -in hansı qiymətlərində $y=x^2-6x+m$ funksiyasının sıfırı yoxdur?

Həllə bax

Həlli: $D=36-4m<0$ , deməli $m>9$ .

Tipik səhv

$y=\frac{x^2-9}{x+3}$ : $x^2-9=0$ , deməli funksiyanın sıfırları $x=-3$ və $x=3$ -dür.

$x^2-9=0$ tənliyinin kökləri $-3$ və $3$ -dür, lakin $x=-3$ məxrəci sıfıra çevirir. Funksiyanın yeganə sıfırı $x=3$ -dür.

Ən çox rast gəlinən səhv $f(x)=0$ tənliyinin köklərini yoxlamadan cavaba yazmaqdır: məxrəci sıfıra çevirən və ya kökaltı ifadəni mənfi edən ədəd funksiyanın sıfırı ola bilməz.

Qrafikdə ordinat oxu ilə kəsişmə nöqtəsini də sıfır sayma, çünki sıfır yalnız $y=0$ olan nöqtənin absisidir. Parametrli tapşırıqlarda isə $x^2$ -nin əmsalı sıfır olduqda funksiya xətti funksiyaya çevrilir: bu halda diskriminantdan istifadə etmək olmaz, həmin qiyməti ayrıca yoxlamaq lazımdır.

Özünü yoxla

$f(x)=\frac{x-2}{x^2-4}$ funksiyasının sıfırları hansılardır?

Funksiyanın qrafikinin $Ox$ oxu ilə ortaq nöqtələri $(-4;\,0)$ və $(7;\,0)$ , $Oy$ oxu ilə kəsişmə nöqtəsi isə $(0;\,5)$ -dir. Funksiyanın sıfırlarını seç.

$m$ -in hansı qiymətində $f(x)=x^2+8x+m$ funksiyasının yalnız bir sıfırı var?

Bu mövzu üzrə sınaq

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Funksiyaların xassələri», səh. 12