Riyaziyyat, Funksiyalar və qrafiklər

Funksiyanın təyin oblastı və qiymətlər çoxluğu: kəsr, kök və qrafik

Kəsrli və köklü funksiyanın təyin oblastını, kvadrat üçhədlinin qiymətlər çoxluğunu və qrafikdən hər ikisini tapmağı öyrənəcəksən.

Oxuma vaxtı: 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta masa üzərində kalkulyator, açıq dəftər və karandaş.

Kalkulyatorda $1$ -i $0$ -a bölməyə və ya $\sqrt{-4}$ hesablamağa çalış. Cavab əvəzinə xəta yazısı çıxacaq. Kalkulyator xarab deyil: bu əməllərin həqiqi ədədlər arasında sadəcə cavabı yoxdur.

Funksiya da belə işləyir. $y=\frac{1}{x}$ düsturuna istənilən ədədi qoya bilərsən, təkcə $0$ -ı yox. Düsturun işlədiyi bütün $x$ -lər təyin oblastıdır. Çıxan bütün $y$ -lər isə qiymətlər çoxluğudur.

Yaxşı xəbər odur ki, harada xəta çıxacağını əvvəlcədən görmək olur. Bunun üçün bir neçə şərtə baxmaq kifayətdir.

Niyə lazımdır

Təyin oblastı tənlik həll edəndə səni qoruyur. Köklü və ya kəsrli tənlikdə tapdığın kök təyin oblastına düşmürsə, onu cavabdan atmalısan. Qiymətlər çoxluğu isə $f(x)=a$ tənliyinin həlli olub-olmadığını dərhal deyir: $a$ bu çoxluğa daxil deyilsə, həll yoxdur.

Testdə bu sənə vaxt qazandırır. Bəzən variantlardan birini atmaq üçün bir şərtə baxmaq kifayətdir, uzun hesablama lazım olmur.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Tapşırıqların çoxunda düsturla verilmiş funksiyanın təyin oblastını tapmaq lazım gəlir: məxrəcində dəyişən olan kəsrlər, cüt dərəcəli köklər, onların birlikdə olduğu ifadələr, bəzən də modul. Bəzi suallarda variantlardan təyin oblastı verilmiş çoxluq olan funksiyanı seçmək, təyin oblastına daxil olan tam ədədlərin sayını və ya cəmini hesablamaq tələb olunur. Qrafikə əsasən təyin oblastı və qiymətlər çoxluğu da soruşulur. Qiymətlər çoxluğu üçün çox vaxt kökaltında kvadrat üçhədli olan funksiyalar, məxrəci kvadrat üçhədli olan kəsrin ən böyük qiyməti və parametrli tapşırıqlar (qrafik verilmiş nöqtədən keçir, funksiya bütün ədədlərdə təyin olunub) verilir.

Qayda

Təyin oblastı $D(f)$ arqumentin düsturun mənalı olduğu bütün qiymətləridir, qiymətlər çoxluğu $E(f)$ isə funksiyanın aldığı bütün qiymətlərdir.
Çoxhədli və tək dərəcəli kök ( $\sqrt[3]{x}$ , $\sqrt[5]{x}$ ) bütün həqiqi ədədlərdə təyin olunub.
Kəsrdə məxrəc sıfırdan fərqli olmalıdır: $\frac{p(x)}{q(x)}$ üçün $q(x)\ne0$ .
Cüt dərəcəli kökün altındakı ifadə mənfi olmamalıdır: $\sqrt{g(x)}$ üçün $g(x)\ge0$ ; kök məxrəcdədirsə, $g(x)>0$ .
Bir neçə şərt olduqda onların həllər çoxluqlarının kəsişməsi götürülür.
Qiymətlər çoxluğunu ifadəni addım-addım qiymətləndirərək tapırıq: $x^2\ge0$ , $\sqrt{g(x)}\ge0$ , $(x-m)^2+n\ge n$ . Kvadrat funksiyanın parçadakı ən kiçik və ən böyük qiymətləri təpədə və ya parçanın uclarında alınır.
Qrafikdə təyin oblastı qrafikin $Ox$ oxuna, qiymətlər çoxluğu isə $Oy$ oxuna proyeksiyasıdır.

Düsturun işlədiyi yeri tap

Hər funksiya üçün düzgün çoxluğu seç. Əvvəlcə şərti yaz, sonra variantlara bax.

Nümunələr

y=\frac{\sqrt{x+6}}{x^2-1}

funksiyasının təyin oblastını tap.

Həllə bax

Həlli: $x+6\ge0$ və $x^2\ne1$ , yəni $x\ge-6$ , $x\ne\pm1$ . Cavab: $[-6;\,-1)\cup(-1;\,1)\cup(1;\,+\infty)$ .

Təyin oblastı [−6; −1), (−1; 1) və (1; +∞) aralıqlarının birləşməsidir; −6 daxildir, −1 və 1 boş dairə ilə çıxarılıb. — $x\ge-6$ , $x\ne-1$ , $x\ne1$

$y=\sqrt{x^2+4x+13}$ funksiyasının qiymətlər çoxluğunu tap.

Həllə bax

Həlli: $x^2+4x+13=(x+2)^2+9\ge9$ , deməli $y\ge3$ , $x=-2$ olduqda isə $y=3$ . Cavab: $[3;\,+\infty)$ .

$y=\frac{10}{x^2+2x+6}$ funksiyasının ən böyük qiymətini tap.

Həllə bax

Həlli: məxrəc $(x+1)^2+5\ge5$ , ona görə $y\le2$ ; $x=-1$ olduqda $y=2$ . Cavab: 2.

Tipik səhv

$y=\frac{5}{\sqrt{x-2}}$ : $x-2\ge0$ , deməli $x\ge2$ .

$y=\frac{5}{\sqrt{x-2}}$ : kök məxrəcdədir, ona görə $x-2>0$ , deməli $x>2$ , yəni $(2;\,+\infty)$ .

Kök məxrəcdədirsə, kökaltı ifadə sıfır da ola bilməz və bərabərsizlik ciddi olur: $x=2$ olduqda məxrəc sıfıra çevrilir.

Kəsri ixtisar etdikdən sonra təyin oblastını sadələşmiş ifadəyə görə yazmaq da səhvdir: $\frac{x^2-9}{x-3}$ funksiyası $x=3$ olduqda təyin olunmayıb. Kökaltında tam kvadrat vuruq olduqda (məsələn, $(x+2)^2$ ) onun sıfıra çevrildiyi nöqtəni ayrıca yoxla: bu təcrid olunmuş nöqtə də təyin oblastına daxil ola bilər. Qiymətlər çoxluğunu tapanda isə yalnız parçanın uclarındakı qiymətlərlə kifayətlənmə, təpəni də yoxla və qiymətlər çoxluğunu təyin oblastı ilə qarışdırma.

Özünü yoxla

$y=\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{5-x}}$ funksiyasının təyin oblastını tap.

$y=x^2-4x+3$ funksiyası $x\in[-1;\,4]$ parçasında verilib. Onun qiymətlər çoxluğunu tap.

Funksiyanın qrafiki $A(-4;\,1)$ və $B(2;\,7)$ nöqtələrini birləşdirən düz xətt parçasıdır; hər iki uc nöqtə qrafikə daxildir. $D(f)$ və $E(f)$ üçün düzgün cavabı seç.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahını oxu.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Bəzi funksiyaların təyin oblastı və qiymətlər çoxluğu», səh. 39
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 2-ci hissə, 6.1 «Funksiya», səh. 7