Riyaziyyat, Funksiyalar və qrafiklər

Funksiyalar və qrafiklər: qrafikdən oxu, hesabla

Qrafikdən funksiyanın sıfırlarını oxumağı, mürəkkəb tənliyin köklərini saymağı, xətti funksiyanı və parabolanın təpəsini tapmağı öyrənəcəksən.

Oxu vaxtı: 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: parkda daş hovuzdan qalxıb əyri xətt üzrə geri düşən fəvvarə şırnağı.

Parkdakı fəvvarənin suyuna bax: şırnaq yuxarı qalxır, bir an elə bil havada dayanır, sonra əyilib aşağı düşür. Hava müqavimətini nəzərə almasaq, maili atılan hər cismin yolu parabola olur. Şırnağın ən hündür nöqtəsi isə həmin parabolanın təpəsidir.

Belə əyrilərin hər birinin arxasında bir qayda durur: sən $x$ verirsən, funksiya sənə yalnız bir $y$ qaytarır. Qrafik bu cütlərin hamısını bir şəkildə göstərir. Onu oxumağı bacarsan, çox şeyi hesablamadan görəcəksən.

Niyə lazımdır

Funksiya asılılıqları yazmaq üçün bir dildir: fizikada yolun zamandan, gündəlik həyatda ödənişin miqdardan asılılığı belə yazılır. Parabolanın təpəsi ən böyük və ya ən kiçik qiyməti verir, xətti funksiyanın bucaq əmsalı isə qiymətin nə qədər tez dəyişdiyini göstərir.

İmtahan tapşırıqları burada adətən qısa olur, amma bir neçə qaydanı birləşdirir: əvvəl sıfırları qrafikdən oxuyursan, sonra mürəkkəb funksiyaya keçirsən. Hər addımı ayrıca bilsən, belə tapşırıq bir neçə sətirlik işə çevrilir.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Qrafikdən funksiyanın sıfırlarını oxuyub $f(g(x))=0$ tənliyinin neçə həlli olduğunu müəyyənləşdirirsən. Həmçinin xətti funksiyanı nöqtəyə və bucağa görə qurur, $f(f(x))$ ifadəsindən onun düsturunu tapırsan. Parabolanın təpəsinin verilən rübdə yerləşməsi parametrə şərt qoyur; azalma xassəsi isə funksiya qiymətlərini müqayisə etməyə kömək edir.

Qayda

Funksiya hər icazəli $x$ qiymətinə yeganə $y$ qiyməti uyğunlaşdırır. İcazəli arqumentlər təyin oblastını, alınan nəticələr qiymətlər çoxluğunu təşkil edir. Qrafikdə $(x;f(x))$ nöqtələri göstərilir. Rasional ifadədə məxrəc sıfırdan fərqli, kvadrat kök altında ifadə qeyri-mənfi olmalıdır.
Sıfırlar qrafikin $Ox$ üzərindəki nöqtələrinin absisləridir; oxa toxunma nöqtəsi də sayılır. Qrafik oxdan yuxarıda olduqda $f(x)>0$ , aşağıda olduqda $f(x)<0$ alınır.
Monotonluq: $x_1<x_2$ üçün artan funksiyada $f(x_1)<f(x_2)$ , azalan funksiyada $f(x_1)>f(x_2)$ olur. Məsələn, azalan $h$ üçün $h(2)=6$ verilirsə, $h(5)<6$ ; mümkün ən böyük tam qiymət $5$ olar.
Xətti funksiya $f(x)=kx+b$ şəklindədir: $k>0$ artmanı, $k<0$ azalmanı bildirir. İki nöqtədən $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ tapılır. Meyil bucağı $\alpha$ verilərsə, $k=\tan\alpha$ ; sonra məlum nöqtəni yerinə yazıb $b$ tapırsan.
Parabola üçün $f(x)=ax^2+bx+c$ , $a\ne0$ yazılır. Təpə koordinatları $x_0=-\frac{b}{2a}$ , $y_0=f(x_0)$ olur. $a>0$ olduqda minimum, $a<0$ olduqda maksimum qiymət $y_0$ -dır. Simmetriya oxu $x=x_0$ düz xəttidir.
Mürəkkəb funksiya $f(g(x))$ hesablanarkən əvvəl $g(x)$ tapılır. $f$ funksiyasının sıfırları $r_1,r_2,\ldots$ olarsa, $g(x)=r_1$ , $g(x)=r_2$ , … tənliklərini ayrıca həll edirsən. Xətti funksiyada $f(f(x))=k^2x+b(k+1)$ alınır.
Çoxhədli funksiya bütün həqiqi arqumentlər üçün müəyyən olunur. Böyük $|x|$ qiymətlərində qrafikin istiqamətini baş hədd müəyyənləşdirir. $y=\frac{k}{x-m}+n$ , $k\ne0$ hiperbolasında asimptotlar $x=m$ və $y=n$ xətləridir.

Tapşırıqlarda istifadə olunan düsturlar

Öyrənilməli düstur

f(x)=kx+b\quad\Longrightarrow\quad f(f(x))=k^2x+b(k+1)

Burada $k$ bucaq əmsalı, $b$ isə sərbəst həddir; funksiya azalandırsa, $k<0$ olmalıdır. Kompozisiyanın verilmiş ifadəsi ilə əmsalları müqayisə edib $k$ və $b$ -ni tap, sonra istənilən arqumenti yerinə yaz.

Öyrənilməli düstur

y=kx+b,\qquad k=\tan\alpha

Burada $k$ bucaq əmsalı, $b$ sərbəst hədd, $\alpha$ isə müsbət $Ox$ istiqamətindən düz xəttə saat əqrəbinin əksinə ölçülən meyil bucağıdır ( $0\leq\alpha<180^\circ$ , $\alpha\ne90^\circ$ ). Bucaqdan $k$ -nı hesabla, sonra xəttin üzərindəki nöqtənin koordinatlarını tənlikdə yazaraq $b$ -ni müəyyən et.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}y=ax^2+bx+c,\quad a\ne0\\[6pt]x_0=-\frac{b}{2a},\qquad y_0=c-\frac{b^2}{4a}\end{gathered}

$a$ , $b$ , $c$ kvadratik funksiyanın əmsalları, $(x_0;y_0)$ isə parabolanın təpəsidir. Hər iki koordinatın müsbət olması üçün $x_0>0$ və $y_0>0$ şərtlərini birlikdə həll et, sonra alınan aralıqdakı ən kiçik tam parametri seç.

Öyrənilməli qayda

Qrafikin $Ox$ oxu üzərindəki nöqtələrinin absisləri funksiyanın sıfırlarıdır. $f(g(x))=0$ tənliyində daxili $g(x)$ ifadəsini həmin sıfırların hər birinə bərabərləşdir, alınan tənlikləri həll et və təkrarlanan kökləri yalnız bir dəfə say.

Öyrənilməli qayda

$f(g(x))$ yalnız daxili $g(x)$ ifadəsi $f$ -in sıfırlarından birinə bərabər olduqda sıfır olur. Bu sıfırları qrafikdə $Ox$ oxundakı nöqtələrin absislərindən oxu, hər biri üçün tənlik qur və müxtəlif həqiqi kökləri say.

Öyrənilməli qayda

Azalan funksiyada eyni azalma aralığından götürülmüş iki arqument üçün $x_1<x_2$ olduqda $g(x_1)>g(x_2)$ alınır. Arqumentləri müqayisə edib axtarılan qiymətin yuxarı sərhədini müəyyən et və sərt bərabərsizliyi ödəyən ən böyük tam ədədi seç.

Öyrənilməli qayda

$a\ne0$ olduqda $ax^2+bx+c$ ifadəsinin hər həqiqi $x$ üçün müsbət olması $a>0$ və $D=b^2-4ac<0$ şərtlərinin birlikdə ödənməsinə bərabərgüclüdür. Bu şərtlər parabolanın yuxarı açılmasını və $Ox$ oxu ilə ortaq nöqtəsinin olmamasını təmin edir; parametr üçün alınan açıq aralıqdakı tam ədədləri say.

Özünü yoxla

Hər sualda cavabı ədəd kimi yaz. Sonra həllin addımlarına bax.

Nümunələr

f

yalnız

0

və

4

arqumentlərində sıfırdır.

f((x+2)^2)=0

tənliyinin köklərini tap.

Həllə bax

$(x+2)^2=0$ tənliyindən $x=-2$ ; $(x+2)^2=4$ tənliyindən $x=0$ və $x=-4$ alınır. Üç müxtəlif kök var.

Azalan xətti $f$ üçün $f(f(x))=4x-3$ verilib. $f(1)$ tap.

Həllə bax

Əmsalları müqayisə et: $k^2=4$ , $b(k+1)=-3$ . Azalmaya görə $k=-2$ , buradan $b=3$ . Deməli, $f(1)=-2+3=1$ .

$y=x^2-2tx+t+2$ parabolasının təpəsi birinci rübdədir. Tam $t$ qiymətini tap.

Həllə bax

$x_0=t$ , $y_0=-t^2+t+2$ . Hər iki koordinat müsbət olmalıdır: $t>0$ və $(t-2)(t+1)<0$ . Kəsişmə $0<t<2$ olduğundan $t=1$ .

Tipik səhv

$f$ -in sıfırları $-1$ , $0$ və $4$ -dür. $f((x-1)^2)=0$ : üç sıfır var, hər biri iki kök verir, deməli, $6$ kök alınır.

$(x-1)^2=-1$ tənliyinin həqiqi həlli yoxdur; $(x-1)^2=0$ tənliyindən $x=1$ ; $(x-1)^2=4$ tənliyindən $x=-1$ və $x=3$ alınır. Cəmi $3$ kök var.

Qrafikdəki hər sıfırın mürəkkəb tənliyə iki kök verdiyini düşünmə. $(x-a)^2=c$ üçün $c>0$ olduqda iki, $c=0$ olduqda bir həll var; $c<0$ olduqda isə həqiqi həll yoxdur.

Ona görə də həll sayını hər tənlikdə ayrıca yoxla.

Qısa test

$f$ funksiyasının sıfırları yalnız $-2$ və $3$ -dür. $f(x^2+2)=0$ tənliyinin neçə müxtəlif həqiqi kökü var?

Qrafiki $(1;4)$ və $(3;-2)$ nöqtələrindən keçən xətti funksiyanın düsturunu seç.

$f(x)=-x^2+8x-11$ funksiyasının ən böyük qiymətini tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Çoxhədli funksiya», səh. 25
Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Rasional funksiya», səh. 29
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Funksiya və onun verilmə üsulları», səh. 7
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Funksiyaların xassələri», səh. 12
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Cüt funksiya, tək funksiya», səh. 16
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Bəzi funksiyaların qrafiki və xassələri», səh. 19
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «y = xⁿ (n ∈ N) qüvvət funksiyaları», səh. 21
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Hissə-hissə verilmiş funksiyalar», səh. 22
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Qrafiklərin çevrilmələri», səh. 24
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Mürəkkəb funksiya», səh. 31
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Tərs funksiya», səh. 34
Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Bəzi funksiyaların təyin oblastı və qiymətlər çoxluğu», səh. 39
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Kvadratik funksiya və onun qrafiki», səh. 51
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Kvadratik funksiyanın müxtəlif formalarda təqdimi», səh. 57
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «y = ax² + bx + c funksiyasının qrafikinin qurulması», səh. 62
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «y = ax² + bx + c funksiyasının araşdırılması», səh. 64
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Kvadratik funksiyanın tətbiqi ilə məsələ həlli», səh. 67
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «y = |x| funksiyası və onun qrafiki», səh. 70
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «y = x³ funksiyası və onun qrafiki», səh. 74
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «y = x² və y = √x funksiyaları», səh. 18
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «y = k/x funksiyası və onun qrafiki», səh. 111
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 1.4 «y = √x funksiyası və onun qrafiki», səh. 22
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 6.3 «y = k/x funksiyası və onun qrafiki», səh. 46
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 2-ci hissə, 6.1 «Funksiya», səh. 7
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 2-ci hissə, 6.2 «Funksiyanın qrafiki», səh. 11
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 2-ci hissə, 6.3 «Xətti funksiya və onun qrafiki», səh. 14
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 1-ci hissə, 4.1 «Düzbucaqlı koordinat sistemi», səh. 105
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 2-ci hissə, 5.6 «Asılı dəyişənlər və asılı olmayan dəyişənlər», səh. 27