Riyaziyyat, Funksiyalar və qrafiklər

Mürəkkəb funksiya (funksiyaların kompozisiyası) necə qurulur

Mürəkkəb funksiyanın düsturunu yazmağı, qiymətini hesablamağı və təyin oblastını tapmağı öyrənəcəksən.

Oxuma vaxtı: 3 dəqiqə

Kalkulyatorda 5 yaz. Əvvəl 1 əlavə et, sonra kvadrata yüksəlt: ekranda 36 görünür. İndi eyni iki əməli tərs sıra ilə et: əvvəl kvadrat, sonra üstəgəl 1. Bu dəfə 26 alırsan. Əməllər eynidir, cavab isə fərqlidir.

Bir funksiyanın cavabı o birinə giriş olanda belə zəncir alınır. Temperaturu kelvindən Farenheytə keçirəndə də belə edirsən: əvvəl $C=K-273{,}15$ , sonra $F=1{,}8\times C+32$ .

Riyaziyyatda belə zəncirə mürəkkəb funksiya deyilir. Burada onun düsturunu yazmağı və zəncirin harada qırıldığını görməyi öyrənəcəksən.

Niyə lazımdır

Mürəkkəb funksiya sonrakı mövzularda tez-tez qarşına çıxacaq: $\sqrt{x^2-9}$ və ya $\sin 2x$ kimi ifadələr əslində iki funksiyanın zənciridir. Törəmə mövzusunda belə ifadələrlə çox işləyəcəksən, ona görə daxili və xarici funksiyanı indidən ayırmağı öyrənsən, sonra vaxt qazanacaqsan.

İmtahanda bir mötərizə səhvi bütün cavabı dəyişir. Ona görə əvəzləməni tələsmədən, sona qədər yazmağı vərdiş et.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Ən çox iki funksiya verilir və $f(g(x))$ və ya $g(f(x))$ kompozisiyasının düsturunu yazmaq tələb olunur; funksiyalar çoxhədli, kök, qüvvət, bəzən də üstlü və ya triqonometrik ola bilər. Başqa tapşırıqlarda $f(f(x))$ kimi mürəkkəb funksiyanın təyin oblastı soruşulur, $f(ax+b)$ ifadəsinə görə $f$ -in düsturu və ya bir nöqtədəki qiyməti bərpa edilir, funksiya ilə onun tərs funksiyasının kompozisiyası hesablanır. Çətin suallarda $f$ -in qrafiki verilir və $f(g(x))=0$ tənliyinin köklərinin sayı tapılır.

Qayda

$f$ və $g$ funksiyalarının kompozisiyası: $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ . Əvvəlcə $g(x)$ hesablanır, alınan ədəd $f$ -ə arqument kimi verilir.
Düsturu yazmaq üçün $f(x)$ -in ifadəsində hər $x$ -in yerinə bütöv $g(x)$ ifadəsi mötərizədə qoyulur.
Ümumiyyətlə $f(g(x))\ne g(f(x))$ : funksiyaların ardıcıllığı nəticəni dəyişir.
Təyin oblastı: $x$ həm $g$ -nin təyin oblastına daxil olmalı, həm də $g(x)$ ədədi $f$ -in təyin oblastına düşməlidir.
$f(ax+b)$ ( $a\ne0$ ) verilibsə, $t=ax+b$ işarə edilir, $x$ ədədi $t$ ilə ifadə olunur və $f(t)$ tapılır.
$f(g(x))=c$ tənliyini həll etmək üçün əvvəlcə $f(t)=c$ tənliyinin kökləri tapılır, sonra hər kök üçün $g(x)=t$ tənliyi ayrıca həll edilir.

Zənciri özün hesabla

Hər sualda əvvəlcə daxili funksiyanı hesabla, sonra alınan ədədi xarici funksiyaya ver.

Nümunələr

f(x)=x+4

g(x)=x^2

f(g(3))

və

g(f(3))

-ü hesabla.

Həllə bax

Həlli: $f(g(3))=f(9)=13$ , $g(f(3))=g(7)=49$ ; nəticələr fərqlidir.

Kompozisiyada əməl sırası
Əvvəl	Sonra
$g(3)=9$	$f(9)=13$
$f(3)=7$	$g(7)=49$

$f(x+3)=2x-1$ olarsa, $f(x)$ -i tap.

Həllə bax

Həlli: $t=x+3$ , $x=t-3$ , $f(t)=2(t-3)-1=2t-7$ , deməli $f(x)=2x-7$ .

$f(x)=\frac{1}{x-2}$ , $g(x)=x^2+1$ . $f(g(x))$ -in təyin oblastını tap.

Həllə bax

Həlli: $g(x)\ne2$ olmalıdır: $x^2+1\ne2$ , yəni $x\ne\pm1$ . Cavab: $(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)$ .

f(x)=x^2-5x+4

g(x)=x^2

f(g(x))=0

tənliyinin neçə kökü var?

Həllə bax

Əvvəlcə $f(t)=0$ tənliyini həll et: $t^2-5t+4=0$ , buradan $t=1$ və ya $t=4$ .
İndi hər kök üçün $g(x)=t$ tənliyini ayrıca həll et: $x^2=1$ olarsa, $x=\pm1$ .
$x^2=4$ olarsa, $x=\pm2$ .
Bütün köklər müxtəlifdir: $-2$ , $-1$ , $1$ , $2$ .

4 kök

Tipik səhv

$f(x)=x^2$ , $g(x)=x-1$ olarsa, $f(g(x))=x^2-1$

$f(g(x))=(x-1)^2=x^2-2x+1$

Ən çox yol verilən səhv funksiyaların ardıcıllığını qarışdırmaqdır: $f(g(x))$ yazılışında daxildəki $g$ birinci, xaricdəki $f$ isə ikinci işləyir (burada $x^2-1$ əslində $g(f(x))$ -dir). İkinci səhv əvəzləmədə mötərizəni unutmaqdır: $x^2$ ifadəsində $x$ -in yerinə $x-1$ qoyulanda $(x-1)^2$ alınmalıdır, $x^2-1$ yox.

Təyin oblastını taparkən $f$ -in şərtini $x$ üçün yox, $g(x)$ üçün yaz və daxili funksiyanın öz təyin oblastını da unutma. Qrafiklə verilən tənliklərdə isə $g(x)=t$ tənliklərinin hər birinin neçə kökü olduğunu ayrıca yoxla: kvadrat tənliyin iki, bir və ya heç bir kökü ola bilər.

Özünü yoxla

$f(x)=x^2+2x$ , $g(x)=x-3$ verilib. $f(g(x))$ üçün doğru ifadəni seç.

$f(x)=3x-2$ , $g(x)=x^2+1$ olarsa, $f(g(2))$ neçədir?

$f(x)=\frac{1}{x-3}$ , $g(x)=\sqrt{x+1}$ verilib. $f(g(x))$ -in təyin oblastını tap.

Bu mövzuda daha çox tapşırıq həll et

Mürəkkəb funksiyaya aid tapşırıqları həll et və hər birinin izahını oxu.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Mürəkkəb funksiya», səh. 31