Riyaziyyat, Funksiyalar və qrafiklər

Tərs funksiya: nə vaxt var və düsturu necə tapılır

Funksiyanın tərsinin olub-olmadığını yoxlamağı, tərsin düsturunu tapmağı və qrafikini $y=x$ xəttinə görə çəkməyi öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: günəşli pəncərə önündə dayanan şüşə termometr, arxada bulanıq yaşıl bağ görünür.

Bəzi ölkələrdə hava proqnozu temperaturu Selsi ilə yox, Farengeytlə verir. Selsidən Farengeytə keçmək üçün sadə bir düstur var: $F=1,8\times C+32$ . Məsələn, $20$ dərəcə Selsi $68$ dərəcə Farengeytdir.

Bəs tərsinə lazım olsa? Ekranda $86$ görürsən və bilmək istəyirsən ki, çöldə isti olacaq, yoxsa soyuq. Onda düsturu geriyə açmalısan: əvvəlcə $32$ çıx, sonra $1,8$ -ə böl. $86-32=54$ , $54:1,8=30$ . Deməli, $30$ dərəcə Selsi olacaq, yəni çöldə isti olacaq.

Bu geriyə açılan düstur elə tərs funksiyadır. Hər Selsi qiymətinə bir Farengeyt qiyməti uyğun gəlir, hər Farengeyt qiymətinə də bir Selsi qiyməti. Ona görə də geriyə yol həmişə tapılır. İndi funksiyanın tərsinin olub-olmadığını yoxlamağı və tərsi varsa, onun düsturunu tapmağı öyrənəcəksən.

Niyə lazımdır

Tərs funksiya "nəticəni bilirəm, nədən alındığını tap" sualına cavab verir. Məsələn, bir vahiddən o birinə keçəndə, ödənilən puldan alınan miqdarı tapanda, keçilən yoldan vaxtı hesablayanda bu suala cavab axtarırsan. Sonra loqarifmi üstlü funksiyanın tərsi kimi öyrənəcəksən, ona görə də bu fikir sənə hələ çox lazım olacaq.

İmtahanda bu mövzu tez xal qazandırır. Düsturu tapmağın addımları qısadır və hər dəfə eynidir. Cavabı yoxlamaq da asandır: $f$ -in içinə $f^{-1}$ -i yaz və $x$ alındığına bax.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Testlərdə ən çox düsturla verilmiş funksiyanın tərsini tapmaq tələb olunur: xətti, kəsr-xətti (məsələn, $\frac{ax+b}{cx+d}$ şəklində) və ya müəyyən aralıqda baxılan kvadratik funksiyanın. Qrafikli tapşırıqlarda bir neçə qrafikdən hansının verilmiş parçada tərsinin olmadığını seçmək, yaxud $f$ -in qrafikinə baxıb tərs funksiyanın bir nöqtədəki qiymətini və ya $g(\dots)=0$ kimi bərabərlikdən naməlum ədədi tapmaq lazım gəlir. Bəzən məsələ praktik məzmunlu olur: iki kəmiyyət arasındakı asılılığı tərsinə çevirmək lazımdır.

Qayda

$f$ funksiyası hər qiymətini təyin oblastının yalnız bir nöqtəsində alırsa, onun tərsi var; tərs funksiya $f^{-1}$ ilə işarə olunur. Hər hansı aralıqda artan və ya azalan funksiyanın orada tərsi var. Hansısa üfüqi düz xətt qrafiki iki nöqtədə kəsirsə, tərs funksiya yoxdur.
$f(a)=b$ olarsa, $f^{-1}(b)=a$ ; həmçinin $f(f^{-1}(x))=x$ və $f^{-1}(f(x))=x$ .
$D(f^{-1})=E(f)$ , $E(f^{-1})=D(f)$ .
Düsturu tapmaq üçün $y=f(x)$ bərabərliyindən $x$ -i $y$ ilə ifadə edir, sonra $x$ ilə $y$ -in yerini dəyişirik.
$f$ və $f^{-1}$ funksiyalarının qrafikləri $y=x$ düz xəttinə nəzərən simmetrikdir: $(a;\,b)$ nöqtəsi birinci qrafikdədirsə, $(b;\,a)$ nöqtəsi ikincidədir.

Tərs funksiyada giriş və çıxış
$f$	$f^{-1}$
$f(a)=b$	$f^{-1}(b)=a$
$D(f)$	$E(f^{-1})$
$E(f)$	$D(f^{-1})$

Geriyə hesabla

Hər dəfə $f$ funksiyası və bir ədəd verilib. $f^{-1}$ -in bu ədəddəki qiymətini tap. İpucu: $f^{-1}(b)=a$ o deməkdir ki, $f(a)=b$ .

Nümunələr

f(x)=5x-2

funksiyasının tərsini tap.

Həllə bax

Həlli: $y=5x-2$ , $x=\frac{y+2}{5}$ , deməli, $f^{-1}(x)=\frac{x+2}{5}$ . Yoxlama: $f\left(\frac{x+2}{5}\right)=x+2-2=x$ .

$f(x)=\sqrt{x-1}+2$ funksiyasının tərsini və onun təyin oblastını tap.

Həllə bax

Həlli: $f$ -in qiymətlər çoxluğu: $[2;\,+\infty)$ . $y-2=\sqrt{x-1}$ , $x=(y-2)^2+1$ ; deməli, $f^{-1}(x)=(x-2)^2+1$ , $x\ge2$ .

$f(x)=x^3+x$ olarsa, $f^{-1}(10)$ qiymətini tap.

Həllə bax

Həlli: $f^{-1}(10)=a$ o deməkdir ki, $f(a)=10$ , yəni $a^3+a=10$ və $a=2$ . Funksiya artan olduğundan başqa kök yoxdur.

f(x)=\frac{x+3}{x-2}

funksiyasının tərsini tap.

Həllə bax

$y=\frac{x+3}{x-2}$ yaz və hər iki tərəfi $x-2$ -yə vur: $y(x-2)=x+3$ .
Mötərizəni aç: $yx-2y=x+3$ . $x$ olan hədləri bir tərəfə keçir: $yx-x=2y+3$ .
$x$ -i mötərizədən çıxar: $x(y-1)=2y+3$ , buradan $x=\frac{2y+3}{y-1}$ .
$x$ ilə $y$ -in yerini dəyiş: $f^{-1}(x)=\frac{2x+3}{x-1}$ , burada $x\ne1$ .
Yoxlama: $f(3)=\frac{6}{1}=6$ , $f^{-1}(6)=\frac{15}{5}=3$ . Funksiya $3$ -ü $6$ -ya aparır, tərsi isə $6$ -nı yenidən $3$ -ə qaytarır.

$f^{-1}(x)=\frac{2x+3}{x-1}$ , $x\ne1$

Tipik səhv

$f(x)=2x+4$ olarsa, $f^{-1}(x)=\frac{1}{2x+4}$ .

$y=2x+4$ , $x=\frac{y-4}{2}$ ; deməli, $f^{-1}(x)=\frac{x-4}{2}$ .

$f^{-1}(x)$ yazılışını $\frac{1}{f(x)}$ kimi başa düşmək ən çox yayılmış səhvdir: burada $-1$ qüvvət göstəricisi deyil, tərs funksiyanın işarəsidir.

Daha üç səhvdən qaç. Kvadratik funksiyada kökün işarəsini mütləq yoxla: $x\le m$ budağında $x=m-\sqrt{\dots}$ , $x\ge m$ budağında isə $x=m+\sqrt{\dots}$ seçilir. Tərs funksiyanın təyin oblastını $f$ -in təyin oblastından köçürmə: o, $f$ -in qiymətlər çoxluğuna bərabərdir. Bir də yalnız artan funksiyanın tərsi olduğunu düşünmə: azalan funksiyanın da tərsi var.

Özünü yoxla

Hansı funksiyanın göstərilən aralıqda tərsi var?

$f(x)=(x-1)^2+4$ , $x\le1$ funksiyasının tərsini və tərsin təyin oblastını seç.

Tərsi olan $f$ funksiyasının qrafiki $(-3;7)$ nöqtəsindən keçir. $f^{-1}$ funksiyasının qrafiki mütləq hansı nöqtədən keçir?

Bu mövzu üzrə sınaq

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahını oxu.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Tərs funksiya», səh. 34