Riyaziyyat, Funksiyalar və qrafiklər

Qüvvət funksiyası y = xⁿ: cüt və tək üst nəyi dəyişir

Qrafikə baxmadan $y=x^n$ funksiyasının işarəsini, artıb-azalmasını və qüvvət daxil olan bərabərsizliklərin həllini tapmağı öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta masanın üstündə yan-yana iki dəyirmi pizza, biri o birindən təxminən iki dəfə böyükdür.

İki dəyirmi pizza var: birinin diametri o birinin diametrinin iki mislidir. Böyüyü iki dəfə yox, dörd dəfə çox pizzadır, çünki dairənin sahəsi diametrin kvadratı ilə böyüyür. Diametrlərin nisbətini $x$ , sahələrin nisbətini $y$ desək, $y=x^2$ alınır: $x=2$ olanda $y=2^2=4$ .

İndi $0{,}5$ götür. Kvadratı $0{,}25$ , kubu isə $0{,}125$ olur. Üst artdıqca qüvvətin qiyməti kiçilir. Mənfi ədəddə isə işarə də dəyişir: $(-2)^2=4$ , amma $(-2)^3=-8$ .

Deməli, $x^n$ həmişə eyni cür davranmır. Nəticə iki şeydən asılıdır: üst cütdür, yoxsa tək və $x$ harada yerləşir. Aşağıdakı qaydalar bu iki sualı birdəfəlik həll edir.

Niyə lazımdır

Kvadrat və kub hər yerdə qarşına çıxır: kvadratın sahəsi tərəfin kvadratıdır, kubun həcmi tilin kubudur. Ölçü dəyişəndə nəticənin necə dəyişdiyini bilmək elə $y=x^n$ funksiyasını bilmək deməkdir.

İmtahanda bu qaydalar vaxta qənaət edir. $(-3)^5$ ifadəsinin işarəsini və ya $0{,}7^9$ ilə $0{,}7^4$ ədədlərindən hansının böyük olduğunu hesablamadan, bir baxışla deyə bilirsən. Bərabərsizlikdə isə üstün cüt və ya tək olmasına və bərabərsizliyin işarəsinə baxıb həllin ədəd oxunda hansı aralıqlardan ibarət olduğunu tez görürsən.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Bu mövzuda imtahan əsasən $y=x^n$ funksiyasının qrafikini və xassələrini yoxlayır: verilmiş nöqtənin qrafikə aid olub-olmadığını müəyyən etmək, şəkildəki əyrinin hansı funksiyaya uyğun gəldiyini seçmək, təyin oblastını, qiymətlər çoxluğunu, artma və azalma aralıqlarını tapmaq. Tez-tez qrafiklə üfüqi düz xəttin ortaq nöqtələrinin sayı, qüvvət daxil olan bərabərsizliklərin həlli və eyni ədədin müxtəlif qüvvətlərinin müqayisəsi soruşulur. Çətin tapşırıqlarda bir neçə mülahizədən doğru olanları seçmək, bərabərsizliklər sisteminin tam həllərini saymaq və ya kəsişmə nöqtələrindən qurulan fiqurun sahəsini hesablamaq lazım gəlir.

Qayda

$n$ natural ədəd olduqda $y=x^n$ natural üstlü qüvvət funksiyasıdır. Onun təyin oblastı həmişə $(-\infty;+\infty)$ -dur, qrafiki $(0;0)$ və $(1;1)$ nöqtələrindən keçir.
$n$ cütdürsə, funksiya cütdür və qrafiki ordinat oxuna nəzərən simmetrikdir; $E(y)=[0;+\infty)$ , funksiya $(-\infty;0]$ aralığında azalır, $[0;+\infty)$ aralığında artır, ən kiçik qiyməti $x=0$ olduqda alınan $0$ -dır; qrafik $(-1;1)$ nöqtəsindən keçir.
$n$ təkdirsə, funksiya təkdir və qrafiki koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir; $E(y)=(-\infty;+\infty)$ , funksiya bütün ədəd oxunda artır, ekstremumu yoxdur; qrafik $(-1;-1)$ nöqtəsindən keçir.
$n>m$ olduqda $(0;1)$ aralığında $x^n<x^m$ , $(1;+\infty)$ aralığında isə $x^n>x^m$ olur.
$c>0$ olsun. Cüt $n$ üçün $x^n=c$ tənliyinin iki kökü var: $\pm\sqrt[n]{c}$ , $x^n\le c$ isə $-\sqrt[n]{c}\le x\le\sqrt[n]{c}$ deməkdir. Tək $n$ üçün tənliyin bir kökü var və $x^n<c$ bərabərsizliyi $x<\sqrt[n]{c}$ şərtinə gətirir.

Cütdür, yoxsa tək? Özünü yoxla

Hər sualda düzgün cavabı seç. Hesablamadan, qaydalara əsasən cavab verməyə çalış.

Nümunələr

y=x^7

funksiyasının qrafiki

(-2;b)

nöqtəsindən keçir.

b

-ni tap.

Həllə bax

Həlli: $b=(-2)^7=-128$ , çünki tək üstlü qüvvətdə əsasın işarəsi saxlanır.

$x^6\ge 64$ bərabərsizliyini həll et.

Həllə bax

Həlli: $64=2^6$ . $y=x^6$ funksiyasının qrafiki $y=64$ düz xəttindən $x\le-2$ və $x\ge2$ olduqda yuxarıda və ya onun üzərindədir, deməli cavab $(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)$ -dur.

x⁶ ≥ 64 həlli: x ≤ −2 və ya x ≥ 2. −2 və 2 həllə daxildir və dolu dairələrlə göstərilib. — $x^6\ge64$ : iki şüanın birləşməsi

$0{,}3^4$ və $0{,}3^7$ ədədlərini müqayisə et.

Həllə bax

Həlli: $0<0{,}3<1$ və $7>4$ , ona görə $0{,}3^7<0{,}3^4$ .

x^4<81

bərabərsizliyinin neçə tam həlli var? Tap.

Həllə bax

$81=3^4$ , üst $4$ isə cütdür.
Cüt üstdə həm müsbət, həm də mənfi tərəf nəzərə alınır: $-3<x<3$ .
Bərabərsizlik ciddidir, ona görə $-3$ və $3$ həllə daxil deyil.
Bu aralıqdakı tam ədədlər: $-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2$ .

$5$ tam həll

Tipik səhv

$x^4=625 \Rightarrow x=5$ ; $\quad x^4\le625 \Rightarrow x\le5$

$x^4=625 \Rightarrow x=\pm5$ ; $\quad x^4\le625 \Rightarrow -5\le x\le5$ , yəni $[-5;5]$ parçası

Ən çox yayılmış səhv cüt üstlü tənlik və bərabərsizlikdə mənfi tərəfi unutmaqdır: $(-5)^4=625$ , ona görə təkcə $5$ deyil, $-5$ də kökdür.

Başqa üç səhv də var. “Üst böyüdükcə qüvvət də böyüyür” fikri yalnız $x>1$ olduqda doğrudur, $(0;1)$ aralığında isə vəziyyət əksinədir. Mənfi əsasda əvvəlcə işarəyə bax: cüt qüvvət müsbət, tək qüvvət mənfi olur. Tək üstlü funksiyanı da $(-\infty;0]$ aralığında azalan sayma: o, bütün ədəd oxunda artır.

Mövzu üzrə suallar

$y=x^5$ funksiyası haqqında doğru fikri seç.

$x^4\le256$ bərabərsizliyinin həllini seç.

$0<x<1$ olduqda hansı sıralama doğrudur?

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahını gör.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «y = xⁿ (n ∈ N) qüvvət funksiyaları», səh. 21