Riyaziyyat, Birdəyişənli tənliklər və tənliklərin tətbiqi ilə məsələ həlli

Viyet teoremi: köklərin cəmi və hasili

Kvadrat tənliyin köklərinin cəmini və hasilini kökləri hesablamadan tapmağı, verilmiş köklərlə tənlik qurmağı öyrənəcəksən.

Oxu vaxtı: 3 dəqiqə

Kiçik bir hiylə yoxla. $(x-2)(x-3)$ hasilində mötərizələri aç: $x^2-3x-2x+6$ , yəni $x^2-5x+6$ alınır. $x^2-5x+6=0$ tənliyinin kökləri $2$ və $3$ -dür, çünki onların hər biri vuruqlardan birini sıfıra çevirir.

İndi əmsallara bax. $2+3=5$ , tənlikdə isə $-5x$ var. $2\times3=6$ , sərbəst hədd də $6$ -dır. Köklər tənliyin içində gizlənməyib, sadəcə cəm və hasil kimi yazılıb.

Bu təsadüf deyil, həqiqi kökləri olan hər çevrilmiş kvadrat tənlikdə belədir. Bu qanunauyğunluğun adı Viyet teoremidir və o, çox vaxt diskriminant hesablamaqdan xeyli tez işləyir.

Niyə lazımdır

Bəzi tapşırıqda köklərin özü yox, onların cəmi və ya hasili soruşulur. Belə halda kökləri tapmaq artıq iş və əlavə səhv şansıdır: əmsallara baxıb cavabı bir sətirdə yazırsan.

Seçmə üsulu da buradan gəlir. Hasili və cəmi məlum olan iki tam ədədi ağılda tapmaq çox vaxt kök düsturundan sürətlidir, tapdığın kökləri isə eyni əlaqələrlə dərhal yoxlaya bilərsən.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda kvadrat tənliyin köklərini ayrıca hesablamadan onların cəmini və ya hasilini müəyyənləşdirmək lazım gəlir. Belə tənlik törəmə ilə bağlı tapşırığın bir addımında və ya loqarifmli tənlikdə əvəzləmədən sonra da yarana bilər. Əsas bacarıq alınmış kvadrat tənliyin əmsallarını düzgün oxumaqdır. Əvəzləmə aparılıbsa, tapdığın nəticənin hansı dəyişənin köklərinə aid olduğunu da izləməlisən.

Qayda

Çevrilmiş tənlik $x^2+px+q=0$ şəklindədir: burada kvadrat həddin əmsalı birdir, $p$ xətti həddin əmsalı, $q$ isə sərbəst həddir.
Viyet teoremi bu tənliyin həqiqi kökləri $x_1$ və $x_2$ olduqda iki əlaqə verir: $x_1+x_2=-p$ və $x_1\times x_2=q$ . Deməli, cəm üçün $p$ əmsalının işarəsini dəyişirsən, hasil üçün isə $q$ əmsalını olduğu kimi götürürsən.
Diskriminant $D=p^2-4q$ üçün $D\geq0$ olmalıdır. $D=0$ halında iki bərabər kök nəzərdə tutulur və həmin əlaqələr qüvvədə qalır. $D<0$ olduqda həqiqi köklər yoxdur.
Kvadrat həddin əmsalı birdən fərqlənirsə, əvvəlcə tənliyin hər iki tərəfini həmin sıfırdan fərqli əmsala böl. Sonra çevrilmiş tənlikdəki $p$ və $q$ qiymətlərini götür.
Tərs teorem belə işləyir: iki həqiqi ədəd üçün $x_1+x_2=-p$ və $x_1\times x_2=q$ ödənirsə, onlar $x^2+px+q=0$ tənliyini ödəyir. Buna görə verilmiş köklərlə tənliyi $x^2-(x_1+x_2)x+x_1\times x_2=0$ şəklində qura bilərsən.

Viyet teoremini tətbiq et

Tənliyə bax, əmsalları oxu və soruşulan ədədi yaz. Kəsr cavabı onluq kəsr kimi yaz.

Nümunələr

3x^2-21x+30=0

tənliyində köklərin cəmini və hasilini tap.

Həllə bax

Üçə böləndə $x^2-7x+10=0$ alınır. Burada $D=49-40=9>0$ , yəni iki həqiqi kök var. $p=-7$ , $q=10$ olduğundan cəm $7$ , hasil $10$ olur. Ayrı-ayrı kökləri hesablamaq lazım deyil.

Kökləri $-2$ və $9$ olan çevrilmiş kvadrat tənlik qur.

Həllə bax

Bu ədədlərin cəmi $7$ , hasili $-18$ olduğuna görə tərs teoremdən $x^2-7x-18=0$ alırsan. Yoxlama üçün sol tərəfi $(x+2)(x-9)$ şəklində yaz: verilmiş ədədlərin hər biri vuruqlardan birini sıfıra çevirir.

$x^2+9x+14=0$ tənliyini seçmə üsulu ilə həll et.

Həllə bax

Axtardığın iki ədədin hasili $14$ , cəmi $-9$ olmalıdır. Hasil müsbət, cəm mənfi olduğundan hər ikisi mənfidir. $-2$ və $-7$ hər iki şərti ödəyir; deməli, tərs teoremə əsasən köklər bunlardır.

x^4-5x^2+4=0

tənliyinin bütün həqiqi köklərinin cəmini tap.

Həllə bax

$t=x^2$ əvəzləməsi apar: $t^2-5t+4=0$ alınır. Burada $D=25-16=9>0$ .
Viyet teoreminə görə $t_1+t_2=5$ , $t_1\times t_2=4$ . Bu şərtləri $t_1=1$ və $t_2=4$ ödəyir.
Diqqət: $5$ ədədi $t$ -nin köklərinin cəmidir, $x$ -in yox. Əvəzləməyə qayıt: $x^2=1$ və $x^2=4$ .
Buradan $x=-1$ , $x=1$ , $x=-2$ , $x=2$ . Onların cəmi $0$ -dır.

$0$

Tipik səhv

$x^2-5x+6=0$ olduğundan $x_1+x_2=-5$ .

$x^2-5x+6=0$ tənliyində $p=-5$ , deməli $x_1+x_2=-p=5$ , $x_1\times x_2=6$ .

Cəmi birbaşa $p$ ilə eyniləşdirmə: düsturda mənfi işarə var. Həmçinin, seçdiyin ədədlərin yalnız hasilini yoxlamaq kifayət etmir, cəm də uyğun gəlməlidir: $(-2)\times(-3)=6$ olsa da, cəmləri $-5$ -dir, ona görə bu tənliyin kökləri deyil.

Əvəzləmədən alınan tənlikdə Viyet əlaqələri yeni dəyişənə aiddir. İlkin dəyişən barədə cavab verməzdən əvvəl əvəzləməyə qayıt.

Özünü yoxla

$2x^2+14x+20=0$ tənliyinin köklərinin cəmini və hasilini tap.

Kökləri $-4$ və $7$ olan çevrilmiş kvadrat tənliyi seç.

$x^2-4x+7=0$ tənliyi haqqında doğru fikri seç.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Viyet teoremi üzrə tapşırıqları həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 3.5 «Viyet teoremi», səh. 84