Riyaziyyat, Birdəyişənli tənliklər və tənliklərin tətbiqi ilə məsələ həlli

Rasional tənliklə məsələ həlli: sürət, iş və çay məsələləri

Mətn məsələsindən kəsrli tənlik qurmağı, onu həll etməyi və artıq kökü atmağı öyrənəcəksən.

Oxumaq 4 dəqiqə çəkir

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: iki kranın eyni anda su tökdüyü, yarıya qədər dolmuş ağ vanna.

Vannanı iki kran doldurur. Hər kran onu tək açıq olanda bir saata doldurur. İkisi birlikdə açılsa, neçə saata dolar? Ağlına iki saat gəlirsə, dayan: iki kran birlikdə daha tez doldurur, yəni yarım saata.

Bu cür suallarda naməlum çox vaxt kəsrin məxrəcinə düşür. Vaxtı tapmaq üçün yolu sürətə bölürsən, bir saatda görülən hissəni tapmaq üçün isə 1-i vaxta bölürsən. Kəsrli tənlik də elə buradan çıxır.

Yaxşı xəbər də var: boru, qayıq, velosipedçi, hamısı eyni qəlibə düşür. Bu qəlibi bir dəfə tutsan, qalan məsələlər də eyni yolla həll olunur.

Niyə lazımdır

Belə məsələdə hesablamağın özü çətin deyil, çətini düzgün tənliyi qurmaqdır. Kim nə qədər vaxt sərf edir, kim nə qədər tez çatır: bunları mətndən götürüb tənliyə yazmağı öyrənsən, açıq cavablı tapşırıqda balı itirmirsən. Sonda kökü yoxlamaq da vərdişə çevrilir, bu isə başqa mövzularda da xeyrinə işləyir.

Gündəlik həyatda da işə yarayır: sürəti bir az artırmaq yolda neçə dəqiqə qazandırar, iki nəfər bir işi birlikdə nə qədər tez bitirər, bunları eyni düsturlarla hesablaya bilirsən.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Açıq cavablı mətn məsələsi verilir: iki hərəkət edən cismin sürətləri bir-birindən fərqlənir, yolun uzunluğu və vaxt fərqi bəllidir, naməlum sürəti tapmaq lazımdır. Eyni üsulla iş məsələləri (iki işçi, iki boru) və çay məsələləri (axınla və axına qarşı hərəkət) də həll edilir. Məsələ kəsrli tənliyə, çox vaxt isə kvadrat tənliyə gətirir.

Qayda

Soruşulan kəmiyyəti $x$ ilə işarə et və onun hansı qiymətlər ala biləcəyini yaz (sürət və vaxt müsbətdir).
Hərəkətdə vaxt $t=\dfrac{S}{v}$ düsturu ilə tapılır. Çayda axınla sürət $v+u$ , axına qarşı $v-u$ olur ( $v$ durğun sudakı sürət, $u$ axın sürətidir).
İşdə bütün iş 1 qəbul edilir. İşi $x$ saata görən 1 saatda işin $\dfrac1x$ hissəsini görür, birgə işləyənlərin hissələri toplanır.
Şərtdəki bərabərliyə görə tənlik qurulur, ortaq məxrəcə vurulur və həll edilir.
Tapılan kökləri məsələnin mənasına görə yoxla: mənasına uyğun gəlməyən kök atılır.

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düstur

Öyrənilməli düstur

t=\frac{s}{v}

$s$ məsafə, $v$ sürət, $t$ isə vaxtdır. Hər iki hərəkətin vaxtını $x$ ilə ifadə et, vaxtların fərqini şərtdə verilən 0,5 saata bərabərləşdir və tapılan kökü məsələnin mənasına görə yoxla.

Özün qur, özün həll et

Hər məsələ üçün tənliyi qur, həll et və mənasına uyğun gələn kökü yaz.

Nümunələr

Birinci boru boş hovuzu ikinci borudan 6 saat tez doldurur. İkisi birgə açılanda hovuz 4 saata dolur. Hər boru hovuzu tək neçə saata doldurar?

Həllə bax

Birinci boru

x

saata, ikinci

x+6

saata doldurur (

x>0

). Birgə 1 saatda:

\dfrac1x+\dfrac1{x+6}=\dfrac14

. Ortaq məxrəcə vuraq:

4(x+6)+4x=x(x+6)

, yəni

x^2-2x-24=0

və

x=6

ya da

x=-4

. Vaxt mənfi ola bilməz, deməli

x=6

. Cavab: 6 saat və 12 saat. Yoxlama:

\dfrac16+\dfrac1{12}=\dfrac14

Hovuzun bir saatda dolan hissəsi
Boru	Vaxt (saat)	1 saatda hissə
Birinci	$x$	$\frac1x$
İkinci	$x+6$	$\frac1{x+6}$
Birgə	$4$	$\frac14$

Velosipedçi 60 km yolu getməlidir. Sürətini 5 km/saat artırsa, yolu 2 saat tez gedər. Onun sürəti nə qədərdir?

Həllə bax

Sürət $x$ km/saat olsun. Vaxtların fərqi: $\dfrac{60}{x}-\dfrac{60}{x+5}=2$ . Hər tərəfi $x(x+5)$ -ə vuraq: $300=2x^2+10x$ , yəni $x^2+5x-150=0$ . Buradan $x=10$ ya da $x=-15$ . Sürət mənfi olmaz, cavab 10 km/saat. Yoxlama: $\dfrac{60}{10}=6$ saat, $\dfrac{60}{15}=4$ saat, fərq 2 saatdır.

Qayıq çayın axını ilə 12 km, axına qarşı 8 km üzdü və cəmi 2 saat sərf etdi. Axın sürəti 2 km/saat olarsa, qayığın durğun sudakı sürəti nədir?

Həllə bax

Durğun sudakı sürət $x$ km/saat olsun. Qayıq axına qarşı gedə bildiyi üçün $x>2$ . Tənlik: $\dfrac{12}{x+2}+\dfrac{8}{x-2}=2$ . Alırıq: $12(x-2)+8(x+2)=2(x^2-4)$ , yəni $2x^2-20x=0$ , $x=0$ ya da $x=10$ . $x=0$ şərtə uyğun deyil. Cavab: 10 km/saat. Yoxlama: $\dfrac{12}{12}+\dfrac88=2$ .

Tipik səhv

$x+(x+6)=4$ , ya da tənliyi düz qurub cavaba hər iki kökü yazmaq: $x=6$ və $x=-4$ saat.

$\dfrac1x+\dfrac1{x+6}=\dfrac14$ , buradan $x=6$ ya da $x=-4$ . Vaxt mənfi olmur, ona görə cavab $x=6$ saatdır.

Ayrı-ayrı vaxtları toplamaq olmaz: hər işçinin və ya borunun 1 saatda gördüyü hissələri toplamaq lazımdır.

Tənliyin hər kökü məsələnin cavabı deyil. Hər kökü məsələnin mənasına görə yoxla: birinci nümunədə $x=-4$ cavab ola bilməz, çünki vaxt mənfi olmur.

Özünü yoxla

Sürəti $x$ km/saat olan avtomobil $72$ km yol gedir. Sürətini $6$ km/saat artıranda yola $1$ saat az vaxt sərf edir. Hansı tənliyi qurarsan?

İki işçi eyni işi ayrı-ayrılıqda $8$ saata və $24$ saata görür. Birlikdə işləsələr, işi neçə saata bitirərlər?

Axın sürəti $3$ km/saat, qayığın durğun sudakı sürəti $x$ km/saatdır. Məsələnin $\dfrac{24}{x+3}+\dfrac6{x-3}=3$ tənliyindən $x=1$ və $x=9$ kökləri alınıb. Hansı kökü cavab kimi qəbul edərsən?

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahını oxu.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Rasional tənliklər. Rasional tənliklərin tətbiqi ilə məsələ həlli», səh. 97
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 5.6 «Rasional tənliklərin köməyi ilə məsələ həlli», səh. 29