Riyaziyyat, Birdəyişənli tənliklər və tənliklərin tətbiqi ilə məsələ həlli

Kvadrat tənliklə məsələ həlli: tənliyi qur, artıq kökü at

Mətnli məsələni kvadrat tənliyə çevirməyi, onu həll etməyi və şərtə uyğun kökü seçməyi öyrənəcəksən.

Oxuma vaxtı: 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: boş məktəb zalında düz sıralarla düzülmüş eyni stullar.

Zalda stulları sıra-sıra düzürsən: neçə sıra olacaq, hər sırada neçə stul? Sıraların sayı $x$ -dirsə və hər sırada ondan 3 çox stul varsa, ümumi stul sayı $x(x+3)$ olur. Mötərizəni açanda qarşına $x^2$ çıxır.

Düzbucaqlı formalı otağın, bağçanın və ya döşəmənin sahəsi onun uzunluğu ilə eninin hasilidir. Bir tərəf $x$ , digəri ondan 3 böyük, yəni $x+3$ olarsa, verilmiş $S$ sahəsinə görə $x(x+3)=S$ kvadrat tənliyini qurursan.

Maraqlısı da budur: tənlik çox vaxt iki kök verir, real dünya isə çox vaxt yalnız birini qəbul edir. Mənfi sayda sıra və ya mənfi en olmur. Bu səhifə həm tənliyi qurmağı, həm də artıq kökü atmağı öyrədir.

Niyə lazımdır

Sahə, sıra və yer sayı, iki dəfə artan qiymət: bunların hamısında iki kəmiyyət bir-birinə vurulur, ona görə kvadrat tənlik tez-tez qarşına çıxır. Tənliyi qurmağı bacarsan, həndəsə və hərəkət məsələləri də yüngülləşir.

Testdə tənliyin kökünü tapmaq hələ cavab demək deyil: soruşulan perimetr və ya ikinci tərəf ola bilər. Son addımda tələsməsən, bütün işin boşa getməz.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda mətnli məsələ kvadrat tənliyə gətirilir. Sıraların və yerlərin sayı, hasili və ya sahəsi verilmiş kəmiyyətlər, kvadrat formalı sahələr və onların perimetri boyunca çəkilən borular belə məsələlərə aiddir. Axtarılan kəmiyyət sonda ölçüdür (uzunluq, say, perimetr), ona görə tənliyi həll etməklə iş qurtarmır, kökləri məsələnin şərti ilə müqayisə etmək də lazımdır.

Qayda

Axtarılan kəmiyyəti $x$ ilə işarə et, şərtə görə kvadrat tənlik qur və $ax^2+bx+c=0$ şəklinə gətir.
Diskriminant $D=b^2-4ac$ . $D>0$ olduqda iki kök var: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$ ; $D=0$ olduqda bir kök; $D<0$ olduqda həqiqi kök yoxdur.
Viyet teoremi: $x^2+px+q=0$ tənliyində $x_1+x_2=-p$ və $x_1\times x_2=q$ .
Hər kökü məsələnin şərtinə görə yoxla: uzunluq, say və qiymət mənfi ola bilməz. Şərtə uyğun gələn kökləri saxla.

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

ax^2+2kx+c=0 \Rightarrow x_{1,2}=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}{a}

Ortadakı əmsal cüt olduqda $\frac{D}{4}=k^2-ac$ hesablanır. Məsələdə sıraların sayı natural ədəd olmalıdır, ona görə tapılan köklərdən mənfi olanı atılır.

Öyrənilməli düstur

D=b^2-4ac,\quad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}

$ax^2+bx+c=0$ tənliyinin kökləri diskriminant $D$ vasitəsilə tapılır. Tapşırıqda tənlik $x^2-4x-12=0$ şəklinə düşür, $x$ bağçanın tərəfi olduğundan yalnız müsbət kök yararlıdır.

Özün yoxla

Hər məsələdə tənliyi qur, kökləri tap, şərtə uyğun olmayanı at və soruşulan ədədi yaz.

Nümunələr

Düzbucaqlının uzunluğu enindən 3 m çoxdur, sahəsi 54 m²-dir. Ölçülərini tap.

Həllə bax

Eni

x

olsun:

x(x+3)=54

, yəni

x^2+3x-54=0

D=9+216=225

x=\dfrac{-3\pm15}{2}

, buradan

x_1=6

x_2=-9

. En mənfi ola bilməz. Eni 6 m, uzunluğu 9 m. Yoxlama:

6\times9=54

Düzbucaqlının eni x metr, uzunluğu x + 3 metr, sahəsi 54 m²-dir; x(x + 3) = 54.

Malın qiyməti iki dəfə eyni faizlə artdı və 200 manatdan 288 manata çatdı. Hər dəfə neçə faiz artıb?

Həllə bax

Artım $t$ (ondalıq kəsr kimi) olsun: $200(1+t)^2=288$ , $(1+t)^2=1{,}44$ . Buradan $1+t=1{,}2$ və ya $1+t=-1{,}2$ . Qiymət artdığı üçün $t=0{,}2$ , yəni 20%. Yoxlama: $200\times1{,}2=240$ , $240\times1{,}2=288$ .

İki natural ədədin cəmi 9, hasili 20-dir. Ədədləri tap.

Həllə bax

Birinci ədəd $x$ olsun, ikinci $9-x$ : $x(9-x)=20$ , yəni $x^2-9x+20=0$ . Viyet teoremi ilə $x_1+x_2=9$ , $x_1\times x_2=20$ , deməli, kökləri 4 və 5. Hər iki kök uyğundur və eyni cütü verir: ədədlər 4 və 5.

Tipik səhv

$x^2+3x-54=0$ , $x_1=6$ , $x_2=-9$ . Cavab: $6$ və $-9$ .

$x_1=6$ , $x_2=-9$ . En mənfi ola bilməz, ona görə $x=6$ . Cavab: eni 6 m, uzunluğu 9 m.

Tənliyi həll edib hər iki kökü cavab kimi yazmaq səhvdir: uzunluq və ya say kimi kəmiyyətlər üçün bəzi köklər uyğun deyil. Birinci nümunədə $-9$ kökünü en kimi qəbul etmək düzgün deyil.

Düzgün yol: hər kökü məsələnin mənasına görə yoxla, uyğun gələnləri saxla, sonra cavabı $x$ -lə yox, sualda soruşulan kəmiyyətlə yaz.

Özünü sına

Sıraların sayını $x$ ilə işarə et. Hər sıradakı yerlərin sayı sıraların sayının iki mislindən $1$ azdır, cəmi $66$ yer var. Hansı tənliyi qurmalısan?

İki natural ədədin cəmi $13$ , hasili $36$ -dır. Ədədlərdən birini $x$ götürüb $x^2-13x+36=0$ tənliyini alırsan. Hansı kökləri şərtə uyğun hesab etməlisən?

Düzbucaqlının uzunluğu enindən $5$ sm çox, sahəsi $84$ sm²-dir. Perimetrini tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 3.6 «Kvadrat tənliklərin köməyi ilə məsələ həlli», səh. 87