Riyaziyyat, Həndəsə

Üçbucaqlar: bucaqlar, tərəflər, oxşarlıq və hündürlük

Üçbucağın bucaqlarını və üçüncü tərəfini, oxşar üçbucaqlarda uyğun təpələrin sırasını və hündürlüyünü səhvsiz tapmağı öyrənəcəksən.

Oxuma vaxtı: 4 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: tikilən evin damında üçbucaq şəklində birləşdirilmiş taxta tirlər, arxada mavi səma.

Üç çubuğu uclarından bərkitsən, alınan üçbucağın forması dəyişmir: onu əyib başqa formaya sala bilməzsən. Dörd çubuqla eyni işi görsən, kvadrat asanlıqla əyilib romba çevrilir. Damların karkasında, körpülərdə və qaldırıcı kranlarda tirləri üçbucaq şəklində birləşdirmələrinin səbəbi budur.

Amma hər üç çubuqdan üçbucaq alınmır. Uzunluqları $2$ , $3$ və $6$ olan çubuqları götür: iki qısa çubuğu yan-yana qoysan da, uzun çubuğa çatmır, uclar birləşmir. Üçbucağın tərəfləri və bucaqları belə sadə, amma sərt qanunlara tabedir. İmtahan da elə bu qanunları yoxlayır.

Niyə lazımdır

Üçbucaq həndəsənin kərpicidir. Dördbucaqlını diaqonal iki üçbucağa bölür, çevrə məsələlərində radiuslar və vətərlər də üçbucaqlar əmələ gətirir. Bucaqların cəmini, tərəf bərabərsizliyini və oxşarlığı yaxşı bilirsənsə, başqa mövzularda da yolu tez taparsan.

Burada hesablamalar qısadır, amma bir addımda yanılsan, cavab da səhv çıxır. Qaydaları sadə ədədlərlə əvvəlcədən məşq etsən, imtahanda vaxt qazanarsan.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Bu mövzuda sən verilmiş xarici bucaqdan daxili bucağa keçərək ən kiçik bucağı seçirsən. Kəsişən parçalarla qurulan üçbucaqlarda konqruyentliyi əsaslandırıb perimetr hesablayırsan. Həmçinin oxşar üçbucaqların təpələrini uyğunlaşdırmaq, üçüncü tərəfin mümkün tam qiymətlərini müəyyənləşdirmək və korbucaqlı üçbucaqda hündürlük tapmaq tələb olunur.

Qayda

Daxili bucaqlar: üçbucaqda $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$ . Burada hər hərf bir daxili bucağın ölçüsüdür. İkisi məlumdursa, onların cəmini $180^\circ$ -dən çıx.
Xarici bucaq: tərəfi bir təpədən uzatdıqda həmin təpədəki daxili bucağa qonşu bucaq alınır. Daxili bucaq $\beta$ , xarici bucaq $\delta$ olarsa, $\beta=180^\circ-\delta$ . Digər iki daxili bucağın cəmi isə $\delta$ qədərdir.
Konqruyentlik: iki üçbucaqda uyğun iki tərəf bərabərdirsə və bu tərəflərin arasındakı bucaqlar da bərabərdirsə, TBT əlaməti ödənir. Onda qalan uyğun tərəflər də bərabərdir. Kəsişən düz xətlərdə qarşılıqlı bucaqların bərabərliyindən istifadə et.
Perimetr: tərəflərin uzunluqları $a$ , $b$ , $c$ olduqda $P=a+b+c$ . Kəsişmə nöqtəsi parçanı yarıya ayırırsa, hesablamaya bütün parçanın deyil, onun yarısının uzunluğunu daxil et.
Oxşarlıq: iki uyğun bucaq bərabər olduqda üçbucaqlar oxşardır. Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuza endirilən hündürlük iki kiçik üçbucaq yaradır; hər ikisi başlanğıc üçbucağa oxşardır. Yazılışda bərabər bucaqlı təpələri eyni sıraya qoy: düz bucağın qarşılığı yenə düz bucaqdır.
Tərəf bərabərsizliyi: iki tərəf $a$ və $b$ , üçüncüsü $x$ olduqda $|a-b|<x<a+b$ . Sərhədlər daxil deyil. Tam qiymət axtaranda yalnız bu aralığın daxilindəki tam ədədləri götür.
Hündürlük: təpədən qarşı tərəfin yerləşdiyi düz xəttə perpendikulyar endir. Oturacaq tərəfin uzantısına da düşə bilər. Alınan düzbucaqlı üçbucaqda $h=c\sin\alpha$ ; burada $c$ hipotenuz, $h$ isə iti $\alpha$ bucağının qarşısındakı katetdir. Xüsusən, $\sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$ .

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}\alpha+\beta+\gamma=180^\circ \\[6pt] \beta+\delta=180^\circ\end{gathered}

$\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ üçbucağın daxili bucaqları, $\delta$ isə $\beta$ bucağına qonşu xarici bucaqdır. Əvvəl xarici bucaqdan qonşu daxili bucağı, sonra üçüncü bucağı hesabla və üçünü müqayisə et.

Öyrənilməli düstur

h^2=m\times n

Düzbucaqlı üçbucaqda $h$ hipotenuza çəkilən hündürlük, $m$ və $n$ onun hipotenuzda ayırdığı parçaların uzunluqlarıdır. Bu münasibətlə çatışmayan parçanı tap, sonra Pifaqor teoremi ilə katetləri hesablayıb üç tərəfin uzunluqlarını topla.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}|a-b|<c<a+b\\[6pt]P=a+b+c\end{gathered}

$a$ , $b$ , $c$ üçbucağın tərəflərinin uzunluqları, $P$ isə perimetridir. Üçüncü tərəfin sərhədlərindən perimetrin sərhədlərini tap, bərabərlik mümkün olmadığından aralıqdakı ən kiçik və ən böyük tam ədədləri seç.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}h^2=m\times n \\[6pt] S=\frac{(m+n)\times h}{2}\end{gathered}

Düzbucaqlı üçbucaqda $m$ və $n$ hipotenuzun hündürlüklə ayrılan hissələrinin uzunluqları, $h$ həmin hündürlük, $S$ isə sahədir. Əvvəl hündürlüyü tap, sonra hipotenuzun uzunluğunu və bu hündürlüyü sahə düsturunda istifadə et.

Öyrənilməli düstur

|a-b|<c<a+b

3 tapşırıqda

$a$ , $b$ , $c$ müsbət tərəf uzunluqlarıdır, üçbucaq qurmaq üçün $c$ digər iki uzunluğun fərqinin modulundan böyük, cəmindən kiçik olmalıdır. Bu şərtlə uyğun çubuq cütlərini müəyyən et və onların sayını bütün eyniimkanlı cütlərin sayına böl.

$a$ , $b$ , $c$ üçbucağın tərəf uzunluqlarıdır, $c$ digər iki uzunluğun fərqinin modulundan böyük, cəmindən kiçik olmalıdır. Alınan açıq aralıqda yerləşən ən böyük tam ədədi seç, sərhəd qiymətlərini götürmə.

$a$ , $b$ verilən tərəflərin, $c$ isə üçüncü tərəfin uzunluğudur. Bu bərabərsizliklə mümkün natural uzunluqları seç, sonra Pifaqor teoremi və bərabəryanlılıq şərti ilə uyğun kartları ayır, ilk kart çıxarıldıqdan sonra kartların sayının azaldığını nəzərə al.

Öyrənilməli düstur

r=\frac{S}{p},\qquad p=\frac{a+b+c}{2}

$a$ , $b$ , $c$ tərəf uzunluqları, $S$ sahə, $p$ yarımperimetr, $r$ isə üçbucağın daxilinə çəkilən çevrənin radiusudur. Oturacağa çəkilən hündürlüyün bərabəryanlı üçbucaqda oturacağı yarıya böldüyündən istifadə edib sahəni hesabla, sonra yarımperimetrə böl.

Öyrənilməli düstur

h=c\times\sin\alpha,\qquad \sin45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}

Düzbucaqlı üçbucaqda $c$ hipotenuz, $\alpha$ iti bucaq, $h$ isə onun qarşısındakı katetdir. Hündürlüyün oturacağını tərəfin uzantısında götür, kor bucağa qonşu iti bucağı hesabla və sinusdan istifadə edərək hündürlüyü tap.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\\[6pt]\delta=180^\circ-\alpha\end{gathered}

$\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ üçbucağın daxili bucaqları, $\delta$ isə $\alpha$ bucağına qonşu xarici bucaqdır. Daxili bucaqları hesablayıb müqayisə et: onlardan böyüyünə qonşu xarici bucaq daha kiçik olur.

Öyrənilməli qayda

Oturacağa paralel kəsik yuxarıda ilkin üçbucağa oxşar üçbucaq ayırır, buna görə kiçik hündürlüyün böyük hündürlüyə nisbəti kəsiyin oturacağa nisbəti qədərdir. Bərabəryanlı üçbucaqda oturacağı yarıya bölən hündürlüyü Pifaqor teoremi ilə hesabla, oxşarlıqdan kiçik hündürlüyü tap və məsafə üçün hündürlüklərin fərqini götür.

Öyrənilməli qayda

İki üçbucaqda uyğun tərəflərdən iki cütü və həmin tərəflər arasındakı bucaqlar bərabərdirsə, üçbucaqlar konqruyentdir (TBT). Kəsişmə nöqtəsindəki qarşılıqlı bucaqların bərabərliyindən istifadə edib uyğun üçüncü tərəflərin də bərabər olduğunu müəyyən et və perimetri hesabla.

Öyrənilməli qayda

Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuza endirilən hündürlüyün yaratdığı iki kiçik üçbucaq həm bir-birinə, həm də ilkin üçbucağa oxşardır. Oxşarlığı yazarkən bərabər bucaqlı təpələri eyni sırada göstər, xüsusən düz bucaqların uyğunluğunu yoxla.

Öyrənilməli qayda

Çevrədən kənardakı bir nöqtədən çəkilən iki toxunanın həmin nöqtə ilə toxunma nöqtələri arasındakı parçaları eyni uzunluqdadır. Bu xassəni hər təpəyə tətbiq edərək oturacağı müəyyən et, sonra hündürlüyü tapıb sahəni hesabla.

Öyrənilməli qayda

Üçbucaqda iki daxili tənbölənin ortaq nöqtəsindən üçüncü daxili tənbölən də keçir və hər tənbölən aid olduğu bucağı yarıya bölür. Bu xassələri və daxili bucaqların cəminin $180^\circ$ olmasını hər iki üçbucağa tətbiq edərək axtarılan bucağı hesabla.

Özünü yoxla

Hər sualda bir ədəd tap və yaz. Cavabdan sonra həll addımlarını görəcəksən.

Nümunələr

Üçbucaqda

\angle A=62^\circ

B

təpəsindəki xarici bucaq

143^\circ

-dir. Ən kiçik bucağı tap.

Həllə bax

Həlli: $\angle B=180^\circ-143^\circ=37^\circ$ , $\angle C=180^\circ-62^\circ-37^\circ=81^\circ$ . Ən kiçiyi $B$ bucağıdır.

$AC$ və $BD$ parçalarının ortaq orta nöqtəsi $O$ -dur. $AO=6$ sm, $BO=8$ sm, $AB=10$ sm olduqda $COD$ üçbucağının perimetrini tap.

Həllə bax

Həlli: $AO=CO$ , $BO=DO$ , $\angle AOB=\angle COD$ . TBT ilə üçbucaqlar konqruyentdir, buna görə $CD=10$ sm. Perimetr $6+8+10=24$ sm-dir.

İtibucaqlı $ABC$ üçbucağında $CH$ hündürlüyünün uzunluğu $5\sqrt2$ sm, $\angle A=45^\circ$ -dir. $AC$ tərəfini tap.

Həllə bax

Həlli: $H$ nöqtəsi $AB$ tərəfi üzərindədir. $ACH$ düzbucaqlı üçbucağında $AC$ hipotenuzdur. $CH=AC\sin45^\circ$ olduğundan $AC=\frac{5\sqrt2}{\sqrt2/2}=10$ sm.

Tipik səhv

İki tərəf $3$ və $8$ -dir: $5\le x\le 11$ , deməli üçüncü tərəf $5$ də ola bilər.

$|3-8|<x<3+8$ , yəni $5<x<11$ . Tam qiymətlər: $6$ , $7$ , $8$ , $9$ , $10$ .

Tərəf bərabərsizliyində sərhəd qiymətini götürmə: bərabərlik halında üçbucaq yaranmır, çünki iki tərəf düz xətt boyunca üçüncünün üstünə düşür.

Eyni diqqəti başqa yerlərdə də göstər. Ən kiçik bucaq soruşulanda ilk tapdığın cavabla dayanma, hər üç daxili bucağı müqayisə et. Oxşarlıqda isə hərflərin sırasını şəklin görünüşünə görə seçmə; əvvəl bucaqları tutuşdur.

Özünü sına: üçbucaqlar

Üçbucağın iki daxili bucağı $48^\circ$ və $57^\circ$ -dir. Hər təpədə bir xarici bucaq götürsən, onlardan ən kiçiyi neçə dərəcə olar?

Üçbucağın iki tərəfi $6$ sm və $10$ sm-dir. Üçüncü tərəfin uzunluğu üçün mümkün qiyməti seç.

$ABC$ düzbucaqlı üçbucağında $\angle C=90^\circ$ , $\angle A=35^\circ$ -dir. $CH$ hipotenuza çəkilən hündürlükdür. Təpələrin uyğun sırasını seç: $ABC\sim\;?$

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Üçbucağın daxilinə və xaricinə çəkilmiş çevrələr», səh. 123
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 2.4 «Üçbucaqların oxşarlığının bəzi tətbiqləri», səh. 52
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 4.3 «Düzbucaqlı üçbucaqda metrik münasibətlər», səh. 106
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 4.6 «Düzbucaqlı üçbucaqda bəzi bucaqların triqonometrik nisbətləri», səh. 120
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 2-ci hissə, 7.2 «Üçbucaqların konqruyentlik əlamətləri», səh. 57
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 2-ci hissə, 7.4 «Üçbucağın bucaqlarının cəmi», səh. 68
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 2-ci hissə, 7.5 «Üç tərəfinə görə üçbucağın qurulması», səh. 72