Riyaziyyat, Həndəsə

Koordinatlar və simmetriya: məsafə, orta nöqtə və simmetrik nöqtə

Nöqtələrin koordinatlarından məsafəni, orta nöqtəni, simmetrik nöqtəni və çevrənin radiusunu tapmağı öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta masanın üstündə açıq qalmış dama-dama dəftər, onun üstündə karandaş və şəffaf xətkeş.

Şahmat taxtasında hər xananın iki hissədən ibarət adı var: hərf sütunu, rəqəm isə sıranı göstərir. Biri «e4» deyəndə hər iki oyunçu həmin xananı dərhal tapır. Nə şəkil lazımdır, nə də izah.

Riyaziyyat dəftərinin dama-dama vərəqi də belə bir torun kiçik parçasıdır. Koordinat müstəvisi bu toru hər tərəfə sonsuz uzadır, hərfin yerinə isə ədəd qoyur. Hər nöqtəyə iki ədəd düşür: absis və ordinat.

Bu iki ədədi bilirsənsə, qələmi kənara qoya bilərsən. İki nöqtənin arası nə qədərdir, ortası haradadır, oxdakı «güzgüdə» əksi hara düşür? Bu hesablamalarda toplama, çıxma, kvadrata yüksəltmə, ikiyə bölmə və kvadrat kök almadan istifadə edirsən.

Niyə lazımdır

Koordinatlar həndəsəni hesaba çevirir. Fiqur çəkmək, xətkeşlə ölçmək lazım deyil: nöqtələrin ədədləri sənə hər şeyi deyir. Kompüter oyunlarında da iki obyektin arasındakı məsafə çox vaxt elə buradakı düsturla hesablanır.

İmtahanda bu tapşırıqlar qısadır və tez həll olunur, amma bir işarə səhvi bütün cavabı pozur. Qaydaları bilsən və kənarda kiçik bir eskiz çəksən, cavabının doğru olub-olmadığını bir baxışda yoxlaya bilərsən.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Koordinatlarla verilən nöqtələrə əsasən parçanın uzunluğunu, orta nöqtəsini və ya məchul koordinatı tapırsan. Simmetriya ilə bağlı sualda nöqtənin yeni yerini müəyyənləşdirirsən. Kvadratın üç təpəsindən dördüncüsünü tapmaq, diametrin uclarına görə çevrənin radiusunu hesablamaq da tələb olunur. Əvvəl şərtdə hansı həndəsi əlaqənin verildiyini seç, sonra uyğun qaydanı tətbiq et.

Qayda

Koordinatlar: $A(x;y)$ yazılışında birinci ədəd absis, ikinci ədəd ordinatdır. Üfüqi parçada ucların ordinatları, şaquli parçada isə absisləri eynidir.
Orta nöqtə: $A(x_1;y_1)$ və $B(x_2;y_2)$ üçün orta nöqtəni $M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right)$ şəklində yaz. Hər koordinatı ayrıca hesabla. Orta nöqtə başlanğıcla üst-üstə düşürsə, absislərin cəmi də, ordinatların cəmi də sıfırdır.
Mərkəzi simmetriya: iki nöqtə bir mərkəzə görə simmetrikdirsə, onları birləşdirən parça həmin mərkəzdə yarıya bölünür. Buna görə orta nöqtə düsturu ilə məchul koordinatları tapa bilərsən.
Ox simmetriyası: $Ox$ üçün $(x;y)\mapsto(x;-y)$ , $Oy$ üçün $(x;y)\mapsto(-x;y)$ qaydası işləyir. Koordinat başlanğıcına görə simmetriyada isə hər iki işarə dəyişir: $(x;y)\mapsto(-x;-y)$ .
Məsafə: $A(x_1;y_1)$ ilə $B(x_2;y_2)$ arasındakı uzunluq $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ olur. Əvvəl uyğun koordinatların fərqlərini hesabla, sonra kvadratlarını toplayıb kvadrat kök al.
Radius: $AB$ diametr olduqda $r=\frac{AB}{2}$ düsturundan istifadə et. Burada $r$ radiusdur; əvvəl məsafə düsturu ilə diametrin uzunluğunu tapırsan.
Kvadratın təpəsi: tərəflər oxlara paraleldirsə, çatışmayan təpənin koordinatlarını qonşu təpələrə görə müəyyənləşdir. Üfüqi tərəfdə ordinatı, şaquli tərəfdə absisi saxla. Bunun üçün təpələrin ardıcıllığına diqqət yetir.

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

x_M=\frac{x_1+x_2}{2},\qquad y_M=\frac{y_1+y_2}{2}

2 tapşırıqda işlənib

$M(x_M;y_M)$ , ucları $(x_1;y_1)$ və $(x_2;y_2)$ olan parçanın orta nöqtəsidir. Nöqtəyə nəzərən simmetriyada mərkəz iki uyğun nöqtəni birləşdirən parçanı yarıya böldüyündən, verilmiş mərkəzin koordinatlarını düsturda işlət.

$M(x_M;y_M)$ orta nöqtəni, $(x_1;y_1)$ və $(x_2;y_2)$ isə parçanın uclarını göstərir. Orta nöqtə koordinat başlanğıcıdırsa, düsturda $x_M=0$ və $y_M=0$ yazıb məchulları hesabla.

Öyrənilməli düstur

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Burada $(a;b)$ mərkəz, $r>0$ radius, $(x;y)$ isə çevrə üzərindəki nöqtədir. Tənliklə mərkəzi və radiusu müəyyən et, nöqtənin koordinatlarını yerinə yazaraq çevrəyə aidliyini yoxla və çevrəyə daxilən çəkilmiş düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzunun diametr olduğunu nəzərə al.

Öyrənilməli düstur

AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2},\qquad r=\frac{AB}{2}

$A(x_1;y_1)$ və $B(x_2;y_2)$ diametrin ucları, $r$ isə çevrənin radiusudur. Əvvəl $AB$ məsafəsini tap, sonra onu yarıya böl.

Öyrənilməli qayda

Kvadratın tərəfləri koordinat oxlarına paraleldirsə, üfüqi tərəfin uclarında ordinatlar, şaquli tərəfin uclarında isə absislər eynidir. Çatışmayan təpəni tapmaq üçün onun qonşu təpələri ilə hansı koordinatlarının eyni olmasını müəyyən et.

Öyrənilməli qayda

$Ox$ oxuna nəzərən simmetrik nöqtələrdə absislər eyni qalır, ordinatlar isə bir-birinin əksi olur. Verilmiş nöqtənin ikinci koordinatının işarəsini dəyişərək simmetrik nöqtəni müəyyən et.

Öyrənilməli qayda

Mərkəzi simmetriyada mərkəz uyğun nöqtələri birləşdirən parçanın ortasıdır. Mərkəz koordinat başlanğıcı olduqda hər iki koordinat öz əksinə çevrilir, bu xassə ilə məchulları tapıb tələb olunan fərqi hesabla.

Özün yoxla

Hər sualda bir ədəd tap və yaz. Sonra həllə bax.

Nümunələr

A(2;5)

nöqtəsinə

S(4;1)

mərkəzinə görə simmetrik olan

B(x;y)

nöqtəsini tap.

Həllə bax

Həlli: $S$ parçanı yarıya bölür: $\frac{2+x}{2}=4$ , $\frac{5+y}{2}=1$ . Beləliklə, $x=6$ , $y=-3$ , yəni $B(6;-3)$ alınır.

Kvadratın təpələri ardıcıllıqla $A(-2;3)$ , $B(2;3)$ , $C(2;-1)$ və $D$ kimi verilib. $D$ nöqtəsini tap.

Həllə bax

Həlli: $AD$ şaquli olduğundan $D$ üçün absis $-2$ olur. $CD$ üfüqidir, buna görə ordinat $-1$ olur. Deməli, $D(-2;-1)$ alırsan.

Çevrədə diametrin ucları $E(-1;2)$ və $F(7;8)$ nöqtələridir. Radiusu tap.

Həllə bax

Həlli: $EF=\sqrt{(7-(-1))^2+(8-2)^2}=\sqrt{64+36}=10$ . Diametri yarıya böl: $r=10:2=5$ vahid.

A(1;3)

və

B(x;7)

nöqtələri arasındakı məsafə

5

-ə bərabərdir,

x>1

x

-i tap.

Həllə bax

Məsafə düsturunu yaz: $AB^2=(x-1)^2+(7-3)^2=(x-1)^2+16$ .
$AB=5$ olduğundan $(x-1)^2+16=25$ , yəni $(x-1)^2=9$ .
Buradan $x-1=3$ və ya $x-1=-3$ alınır, yəni $x=4$ və ya $x=-2$ .
Şərtə görə $x>1$ , deməli, $x=4$ olur. Yoxla: $\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$ .

$x=4$ , yəni $B(4;7)$

Tipik səhv

$(3;-2)$ nöqtəsinə $Ox$ oxuna görə simmetrik nöqtə: $(-3;-2)$

$(3;-2)$ nöqtəsinə $Ox$ oxuna görə simmetrik nöqtə: $(3;2)$ . Absis qalır, ordinatın işarəsi dəyişir.

$Ox$ oxuna görə simmetriyada absisin işarəsini dəyişmək səhvdir: bu halda ordinat dəyişir. $Ox$ oxunun üzərində olmayan nöqtə oxun bir tərəfindən o biri tərəfinə keçir, yəni yuxarı və ya aşağı hərəkət edir, sağa-sola getmir. Oxun üzərindəki nöqtə isə yerində qalır.

Mənfi koordinatı çıxanda onu mötərizədə yaz ki, işarəni itirməyəsən: $7-(-1)=8$ olur, $6$ yox. Diametrin uzunluğunu tapdıqdan sonra sualın radiusu istəyib-istəmədiyini də yoxla.

Özünü sına

$P(-6;9)$ nöqtəsinə $Ox$ oxuna görə simmetrik olan nöqtəni tap.

$A(-7;4)$ və $B(3;-8)$ nöqtələri $S$ mərkəzinə görə simmetrikdir. $S$ nöqtəsinin koordinatlarını tap.

Çevrənin diametrinin ucları $C(-5;-4)$ və $D(5;20)$ nöqtələridir. Çevrənin radiusunu tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahını oxu.

Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «İki nöqtə arasındakı məsafə düsturu», səh. 77
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Çevrənin tənliyi», səh. 82
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 4.4 «Parçanın orta nöqtəsi. İki nöqtə arasındakı məsafə», səh. 110