Riyaziyyat, Həndəsə

Sadə həndəsi fiqurlar: bucaqları bir-birindən tapmaq

Qonşu və qarşılıqlı bucaqları, tənböləni və paralel xətlərdəki bucaqları tanıyacaq, bir məlum bucaqdan qalanlarını tapa biləcəksən.

Oxuma vaxtı: 4 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: düz asfalt yol yuxarıdan görünən dəmir yolu xəttini çəpinə kəsir, ətrafda yaşıl tarlalar var.

Saat düz 6-nı göstərəndə əqrəblər bir düz xətt üzrə əks tərəflərə baxır. Bu, açıq bucaqdır: $180^\circ$ . Saat 3-də isə əqrəblər arasındakı bucaq bunun tam yarısıdır, $90^\circ$ . Yəni divardakı saat hər gün sənə bucaq dərsi keçir.

Düz bir yol dəmir yolunu kəsəndə də eyni şey olur. Relslər paralel xətlərdir, yol isə onları kəsən xətdir. Hər relsin yanında yaranan bucaqlar eyni görünür, bu da təsadüf deyil.

Bu mövzunun qaydaları zəncir kimidir: bir bucağı bilirsənsə, qalanlarını bir-birindən tapırsan. Bunun üçün hansı bucaqların bərabər olduğunu, hansılarının isə cəmdə $180^\circ$ verdiyini görməyi öyrənmək lazımdır.

Niyə lazımdır

Bu qaydalar həndəsənin ən çox işlənən alətləridir. Sonra üçbucaq, paraleloqram və çoxbucaqlılara keçəndə onlardan bir çox bucaq məsələsində istifadə edəcəksən.

İmtahanda şəkildə çox vaxt xeyli bucaq olur, verilən isə bir-iki ədəddir. Hansı cütlər bərabərdir, hansılar cəmdə $180^\circ$ verir, bunu tez görsən, cavaba iki-üç sətirdə çatırsan. Uzun hesablamaya ehtiyac qalmır.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Şəkildə nöqtələrin verilmiş xəttə aid olub-olmadığını müəyyənləşdirir, bucaqların ölçülərini və ya cəmini tapırsan. Açıq bucağın bərabər hissələrə ayrılması, tənbölən, qonşu və qarşılıqlı bucaqlar əsasdır. Paralel xətlər olan məsələlərdə isə bucaq münasibətlərindən istifadə edir, bəzən cavabı hərflərlə ifadə edirsən.

Qayda

Nöqtə hərflə adlandırılır, lakin yerini həmin hərfin yanındakı işarə göstərir. Xəttin üzərində olmayan nöqtələri sayarkən hərfin deyil, işarənin mövqeyinə bax.
Bucağın adındakı orta hərf onun təpəsini bildirir: $\angle ABC$ bucağının təpəsi $B$ , tərəfləri $BA$ və $BC$ şüalarıdır.
Açıq bucaq $180^\circ$ ölçüsündədir. Onu boşluq və üst-üstə düşmə olmadan bölən hissələrin ölçülərini topladıqda $180^\circ$ alınır. Hissələr bərabərdirsə, hər birinin ölçüsü $180^\circ:n$ olar; $n$ hissələrin sayıdır.
Tənbölən təpədən başlayıb bucağın daxilindən keçir, onu eyni ölçülü iki bucağa ayırır. İlkin bucaq $\alpha$ olarsa, hər hissə $\alpha:2$ olar. Ölçüləri bərabər bucaqlara konqruyent bucaqlar deyilir.
Qonşu bucaqlar bir tərəfi bölüşür, qalan tərəfləri əks şüalardır. Buna görə ölçülər arasında $\alpha+\beta=180^\circ$ əlaqəsi var.
Qarşılıqlı bucaqlar iki xətt kəsişəndə bir-birinin qarşısında yaranır. Tərəfləri cüt-cüt əks şüalardır, ölçüləri isə bərabərdir: $\alpha=\beta$ .
Paralel xətlər üçün kəsənin yaratdığı uyğun bucaqlar bərabər alınır. Bu bucaqlar hər iki kəsişmədə eyni mövqeni tutur. Daxili çarpaz bucaqlar da bərabərdir; daxili birtərəfli bucaqları topladıqda $180^\circ$ alınır.
Üçbucaqda daxili bucaqları $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ ilə işarələsən, $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$ yazarsan. Paralel xətlərdən istifadə edərək əvvəl bu bucaqları müəyyənləşdir.
Qırıq xəttlə bağlı bucaq məsələsində onun təpəsindən verilmiş xətlərə paralel köməkçi xətt çəkmək faydalıdır. Sonra yaranan bucaqları uyğunluq və qonşuluq əlaqələri ilə hesabla.

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

x=\frac{180^\circ}{n}

$n$ açıq bucağın bölündüyü bərabər hissələrin sayı, $x$ isə bir hissənin dərəcə ölçüsüdür. Şəkildəki bərabər hissələri say və açıq bucağın ölçüsünü bu saya böl.

Öyrənilməli düstur

d=\frac{a}{2}+b+\frac{c}{2}

$a$ , $b$ , $c$ ardıcıl üç hissənin uzunluqları, $d$ isə birinci və sonuncu hissələrin orta nöqtələri arasındakı məsafədir. Uzunluqları nisbətə uyğun ortaq vuruqla ifadə et və verilən məsafəyə görə tənlik qur.

Öyrənilməli qayda

Nöqtə verilmiş düz xəttə aid ola və ya ondan kənarda yerləşə bilər. Şəkildə hərfin yerinə deyil, nöqtənin özünə bax və xəttə aid olmayanları say.

Öyrənilməli qayda

Paralel xətləri bir kəsən kəsdikdə daxili çarpaz bucaqlar bərabər olur, daxili birtərəfli bucaqların ölçüləri isə birlikdə $180^\circ$ təşkil edir. $B$ nöqtəsindən sağa paralel şüa çək, bu şüa ilə $BC$ arasındakı bucağı tap və birtərəfli bucaqların xassəsini tətbiq et.

Öyrənilməli qayda

Tənbölən bucağı ölçüləri eyni olan iki hissəyə ayırır, qonşu bucaqlar isə birlikdə açıq bucaq yaradır. Əvvəl verilmiş bucağı $180^\circ$ -dən çıx, sonra alınan ölçünün yarısını hesabla.

Öyrənilməli qayda

İki paralel xətti bir kəsən kəsdikdə uyğun bucaqlar eyni ölçüdə olur. Bu xassə ilə aşağıdakı bucağı yuxarıdakı üçbucağın bucağı ilə əlaqələndir və üç daxili bucağın birlikdə $180^\circ$ təşkil etdiyini nəzərə al.

Öyrənilməli qayda

Paralel xətləri bir kəsən kəsdikdə daxili çarpaz bucaqlar bərabər olur, qonşu bucaqların ölçüləri isə birlikdə $180^\circ$ təşkil edir. $L$ nöqtəsindən paralel xətt çək, alınan iti bucaqları müəyyənləşdir və onların cəmini açıq bucağın ölçüsündən çıx.

Öyrənilməli qayda

Kəsişən düz xətlərin yaratdığı qarşılıqlı bucaqlar eyni ölçüdədir, açıq bucağı bölən hissələrin ölçüləri isə birlikdə $180^\circ$ təşkil edir. Əvvəl qarşılıqlı bucaq cütlərini tap, sonra verilmiş əlaqədən və açıq bucağın ölçüsündən istifadə et.

Bucağı tap

Hər sualda bir bucaq verilib. Lazım olan qaydanı seç və axtarılan bucağın ölçüsünü dərəcə ilə yaz.

Nümunələr

AOB

açıq bucağının daxilində

OC

şüası çəkilib,

\angle COB=74^\circ

OD

şüası

AOC

bucağının tənbölənidir.

\angle DOC

ölçüsünü tap.

Həllə bax

Həlli: Qonşuluqdan $\angle AOC=180^\circ-74^\circ=106^\circ$ . Tənbölənə görə $\angle DOC=106^\circ:2=53^\circ$ .

Bir nöqtədə kəsişən üç xəttin yaratdığı altı bucaqdan ardıcıl üçü $38^\circ$ , $67^\circ$ və $x$ ölçüsündədir. $x$ bucağına qarşılıqlı bucağı tap.

Həllə bax

Həlli: Ardıcıl üç hissə açıq bucaq təşkil edir: $x=180^\circ-38^\circ-67^\circ=75^\circ$ . Axtarılan qarşılıqlı bucaq da $75^\circ$ ölçüsündədir.

$ABC$ üçbucağında $D$ nöqtəsi $AB$ , $E$ nöqtəsi $AC$ tərəfinin daxilindədir, $DE\parallel BC$ . $\angle A=46^\circ$ , $\angle B=58^\circ$ verilirsə, $\angle AED$ ölçüsünü tap.

Həllə bax

Həlli: Uyğun bucaqlardan $\angle ADE=58^\circ$ . $ADE$ üçbucağında $\angle AED=180^\circ-46^\circ-58^\circ=76^\circ$ .

Tipik səhv

$\angle AOB=40^\circ$ , $\angle BOC$ onun yanındadır, deməli $\angle BOC=180^\circ-40^\circ=140^\circ$ .

Əvvəl yoxla: $OA$ və $OC$ əks şüalardırmı? Yalnız əks şüalardırsa, bucaqlar qonşudur və $\angle BOC=140^\circ$ olur. Əks şüalar deyilsə, cəm $180^\circ$ olmur.

Yan-yana görünən iki bucağın cəmini avtomatik $180^\circ$ götürmə: ortaq olmayan tərəflər əks şüalar olmalıdır.

Eyni yoxlamanı başqa yerlərdə də et. Tənbölən veriləndə əvvəl hansı bucağın bölündüyünü yoxla. Paralellikdən bərabərlik yazmazdan əvvəl bucaqların kəsənə nəzərən mövqelərini müqayisə et.

Özünü yoxla

İki düz xəttin kəsişməsində yaranan qarşılıqlı bucaqların bir cütünün cəmi $154^\circ$ -dir. Bu cütdəki bir bucağın ölçüsünü tap.

$PK$ şüası $\angle MPN$ bucağının tənbölənidir və $\angle MPK=29^\circ$ -dir. $\angle MPN$ bucağının ölçüsünü tap.

İki paralel xətti bir kəsən kəsir. Daxili bucaqlardan biri $62^\circ$ -dir. Ona daxili çarpaz olan bucağın və onunla daxili birtərəfli bucaq cütü yaradan bucağın ölçülərini bu ardıcıllıqla seç.

Bu mövzu üzrə sınaq

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 5.1 «Həndəsənin ilkin anlayışları», səh. 107
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 2-ci hissə, 7.3 «Düz xətlərin paralelliyi», səh. 64
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 2-ci hissə, 6.1 «Konqruyent bucaqlar. Bucağın tənböləni», səh. 37
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 2-ci hissə, 6.2 «Qonşu və qarşılıqlı bucaqlar», səh. 41