Riyaziyyat, Həndəsə

Çevrə və dairə: qövsdən bucağa, toxunandan kəsənə

Bu səhifədən sonra qövsdən bucağı, bucaqdan qövsü və toxunanla kəsənin uzunluqlarını çaşmadan tapacaqsan.

Oxumaq 4 dəqiqə çəkir

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: dəyirmi taxta taxtanın üstünə qoyulmuş ağ vərəq, vərəqin bir küncü taxtanın kənarındadır, yanında karandaş var.

Evdə dəyirmi bir boşqab və ya tort qutusunun dəyirmi qapağı var, amma mərkəzi heç yerdə işarələnməyib. Gözəyarı nöqtə qoysan, çox güman, bir az yan düşəcək. Halbuki bunun üçün bir vərəq kağız bəs edir.

Vərəqin düzbucaqlı küncünü elə qoy ki, künc düz çevrənin üstündə olsun, küncdən çıxan iki kənarın hər biri isə dairənin içindən keçsin. Onda hər kənar çevrəni bir dəfə də kəsəcək. Bu iki nöqtəni birləşdirən parça diametrdir. Sonra vərəqi başqa cür qoy və eyni işi elə təkrarla ki, yeni diametr birincisi ilə üst-üstə düşməsin: iki diametrin kəsişdiyi nöqtə mərkəzdir.

Bu fənd təsadüfən işləmir. Daxilə çəkilmiş bucağın dərəcə ölçüsü təpəsinin yerləşmədiyi qövsün dərəcə ölçüsünün yarısına bərabərdir. Vərəqin küncü belə bir bucaqdır: o $90^\circ$ -dirsə, qarşısındakı qövs $180^\circ$ , yəni yarımçevrədir. Aşağıda bu qaydanı və onunla bağlı başqa qaydaları görəcəksən.

Niyə lazımdır

Çevrədə bucaqlar və qövslər bir-birindən asılıdır. Birini bilirsənsə, o birini hesablaya bilirsən, transportirə ehtiyac qalmır. Toxunan və kəsən düsturu da işə yarayır: ölçülməsi çətin olan parçanı asan ölçülən iki parçadan tapırsan.

İmtahanda bu mövzunun tapşırıqları bir neçə qısa addımdan ibarətdir: əvvəl qövsü tapırsan, sonra bucağı, ya da əksinə. Hesablama asandır. Əsas təhlükə yanlış qövsü və ya yanlış parçanı götürməkdir, buna görə aşağıdakı tipik səhvə xüsusilə diqqət et.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Bu mövzuda bucaqdan qövsün dərəcə ölçüsünü və ya qövsdən bucağı tapırsan. Bərabər vətərlərə uyğun mərkəzi bucaqları müqayisə etmək, diametrin ayırdığı yarımçevrədə qövslərin nisbətindən istifadə etmək də lazım gəlir. Uzunluq məsələsində isə eyni xarici nöqtədən çəkilən toxunan və kəsən parçalar arasındakı əlaqəni tətbiq edirsən.

Qayda

Vətər çevrədə yerləşən iki nöqtəni birləşdirən parçadır. Mərkəzdən keçən vətərə diametr deyilir. Diametr çevrəni iki bərabər qövsə ayırır; hər yarımçevrə $180^\circ$ -dir. Tam çevrənin dərəcə ölçüsü $360^\circ$ -dir.
Mərkəzi bucaq iki radius arasında yaranır, təpəsi mərkəzdə yerləşir. Onun dərəcə ölçüsü həmin bucağın daxilindəki qövsün ölçüsü ilə eynidir. Eyni çevrədə vətərlər bərabərdirsə, onların kiçik qövsləri və bu qövslərə uyğun mərkəzi bucaqlar da bərabər olur.
Təpəsi çevrədə yerləşən, tərəfləri vətərlər boyunca gedən bucaq daxilə çəkilmiş bucaqdır. Hesablama üçün təpənin yerləşmədiyi qövsü seç. Bucağı $\alpha$ , seçdiyin qövsün dərəcə ölçüsünü $\beta$ ilə işarələsən, $\alpha=\frac{\beta}{2}$ və $\beta=2\times\alpha$ alarsan.
Diametrin uclarını birləşdirən qövs yarımçevrə olduğundan ona söykənən daxilə çəkilmiş bucaq $90^\circ$ -dir. Yarımçevrə hissələrə bölünübsə, hissələrin dərəcə ölçülərini toplayanda $180^\circ$ alınmalıdır.
Toxunan çevrəyə bir nöqtədə toxunur, kəsən isə onu iki nöqtədə kəsir. Eyni xarici nöqtədən çəkildikdə $t^2=a\times b$ : burada $t$ toxunma nöqtəsinədək məsafə, $a$ yaxın kəsişmə nöqtəsinədək məsafə, $b$ isə uzaq kəsişmə nöqtəsinədək məsafədir. Kəsənin çevrə daxilindəki hissəsi $b-a$ olur.

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

\beta=2\times\alpha

2 tapşırıqda işlənib

Burada $\alpha$ daxilə çəkilmiş bucağın, $\beta$ isə bucağın təpəsini saxlamayan qövsün dərəcə ölçüsüdür. $PQ$ qövsünü hesablamaq üçün verilmiş bucağın ölçüsünü iki ilə vur.

Burada $\alpha$ daxilə çəkilmiş bucağın, $\beta$ isə bucağın təpəsini saxlamayan qövsün dərəcə ölçüsüdür. $P$ nöqtəsindən keçməyən $QR$ qövsünü tapmaq üçün bucağın ölçüsünü iki ilə vur.

Öyrənilməli düstur

\alpha=\frac{\beta}{2}

2 tapşırıqda işlənib

Burada $\alpha$ daxilə çəkilmiş bucağın, $\beta$ isə bucağın təpəsini saxlamayan qövsün dərəcə ölçüsüdür. $Q$ böyük qövsdə yerləşdiyi üçün düsturda kiçik $PR$ qövsünün ölçüsünü işlət.

Burada $\alpha$ daxilə çəkilmiş bucağın, $\beta$ onun söykəndiyi qövsün dərəcə ölçüsüdür. Diametrin ayırdığı yarımçevrə $180^\circ$ olduğundan verilmiş nisbətlə $LM$ qövsünün ölçüsünü tap, sonra bu düsturla bucağı hesabla.

Öyrənilməli düstur

t^2=a\times b

Eyni xarici nöqtədən çəkilmiş toxunan və kəsən üçün $t$ toxunan parçanın, $a$ kəsənin xarici hissəsinin, $b$ isə həmin nöqtədən uzaq kəsişmə nöqtəsinədək parçanın uzunluğudur. Axtarılan $b$ uzunluğunu tapmaq üçün $t$ uzunluğunun kvadratını $a$ uzunluğuna böl.

Öyrənilməli qayda

Daxilə çəkilmiş bucağın tərəfləri diametrin uclarından keçirsə, həmin bucaq $90^\circ$ olur və diametr alınan üçbucağın hipotenuzudur. Pifaqor teoremi ilə diametrin $d$ uzunluğunu tap, sonra çevrənin $C$ uzunluğunu $C=\pi d$ düsturu ilə hesabla.

Öyrənilməli qayda

Bir çevrədə uzunluqları eyni olan vətərlər bərabər kiçik qövslər ayırır və bu qövslərə uyğun mərkəzi bucaqlar bərabər olur. $KL$ və $KM$ vətərlərindən istifadə edərək $P$ təpəli bucaqları müqayisə et.

Öyrənilməli qayda

İki daxilə çəkilmiş bucağın söykəndiyi qövs eynidirsə, bu bucaqların ölçüləri də bərabərdir. $LM$ qövsündən istifadə edərək $KLP$ üçbucağının $K$ təpəsindəki bucağı müəyyən et, sonra $P$ təpəsindəki xarici bucağı ona qonşu olmayan iki daxili bucağın cəmi ilə hesabla.

Özün hesabla

Hər sualda cavabı rəqəmlə yaz. Bucaqlar dərəcə ilə, uzunluqlar santimetrlə.

Nümunələr

Mərkəzi

O

olan çevrədə

AB=CD

\angle AOB=96^\circ

-dir.

E

böyük

CD

qövsündədirsə,

\angle CED

neçə dərəcədir?

Həllə bax

Həlli: Vətərlərin bərabərliyindən kiçik $CD$ qövsü də $96^\circ$ olur. $E$ bu qövsdə deyil, ona görə $\angle CED=96^\circ:2=48^\circ$ .

$AB$ diametrdir, $C$ yarımçevrəni $AC:CB=2:3$ nisbətində qövslərə bölür. $\angle CAB$ -ni tap.

Həllə bax

Həlli: Qövslərin ölçülərini $2x$ və $3x$ götür: $5x=180^\circ$ , $x=36^\circ$ . Bucağın qarşısındakı $CB$ qövsü $108^\circ$ olduğundan $\angle CAB=54^\circ$ .

Xarici nöqtədən çəkilmiş toxunan parça $12$ sm, kəsənin xarici hissəsi $8$ sm-dir. Kəsənin tam uzunluğunu tap.

Həllə bax

Həlli: $12^2=8\times b$ , buradan $b=18$ sm. Daxili hissə soruşulsaydı, $18-8=10$ sm tapardın.

Tipik səhv

$E$ təpəsi $100^\circ$ -lik kiçik $AB$ qövsündədir, amma yazılır: $\angle AEB=100^\circ:2=50^\circ$ . Toxunanla bağlı məsələdə isə: $t^2=a\times(b-a)$ .

$E$ kiçik qövsdə olduğu üçün təpənin yerləşmədiyi böyük qövsü götür: $360^\circ-100^\circ=260^\circ$ , $\angle AEB=260^\circ:2=130^\circ$ . Toxunan üçün: $t^2=a\times b$ , burada $b$ başlanğıc nöqtəsindən uzaq kəsişməyədək bütün məsafədir.

Daxilə çəkilmiş bucaq üçün həmişə kiçik qövsü götürmə: əsas şərt təpənin həmin qövsdə olmamasıdır. Əvvəl təpəni müəyyən et, sonra uyğun qövsü seç.

Toxunanla bağlı düsturda xarici hissəni daxili hissəyə vurmaq səhvdir. İkinci vuruq başlanğıc nöqtəsindən uzaq kəsişməyədək bütün məsafə olmalıdır.

Özünü yoxla

$C$ və $D$ nöqtələri $A$ və $B$ uclarının ayırdığı iki müxtəlif qövsün üzərindədir və bu uclarla üst-üstə düşmür. $\angle ACB=64^\circ$ olarsa, $\angle ADB$ -ni tap.

Mərkəzi $O$ olan çevrədə $AB$ diametrdir. $C$ nöqtəsi yarımçevrə üzərindədir və kiçik $AC$ qövsü $76^\circ$ -dir. $\angle BOC$ -ni tap.

Xarici nöqtədən çevrəyə toxunan və kəsən çəkilib. Kəsənin xarici hissəsi $9$ sm, çevrə daxilindəki hissəsi $7$ sm-dir. Toxunan parçanın uzunluğunu tap.

Bu mövzunun sınağını keç

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahını oxu.

Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Vətərin xassələri», səh. 31
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Çevrə daxilinə çəkilmiş bucaq», səh. 36
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Çevrədə vətər və kəsənlərin parçalarının mütənasibliyi», səh. 46