Riyaziyyat, Həndəsə

Dördbucaqlılar və çoxbucaqlılar: bucaqlar, tərəflər, radiuslar

Bucaqlardan çoxbucaqlının tərəflərinin sayını tapmağı, kvadrat və düzgün altıbucaqlıda radiusları hesablamağı öyrənəcəksən.

Oxu vaxtı: 3 dəq

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: ağ altıbucaqlı plitələrlə örtülmüş hamam döşəməsi.

Hamamın və ya mətbəxin döşəməsinə bax: plitələr çox vaxt kvadrat olur, bəzən də altıbucaqlı. Düzgün beşbucaqlı plitələrlə isə döşəməni boşluqsuz örtə bilməzsən, nə qədər çalışsan da.

Səbəb bucaqlardadır. Bir nöqtədə görüşən plitələrin bucaqları birlikdə $360^\circ$ etməlidir. Kvadratın bucağı $90^\circ$ -dir. Dörd kvadrat bir nöqtə ətrafında tam bucaq yaradır. Düzgün altıbucaqlının bucağı $120^\circ$ -dir, üçü kifayət edir. Düzgün beşbucaqlının bucağı isə $108^\circ$ -dir: üçü $324^\circ$ edir, dördü $432^\circ$ . Ya boşluq qalır, ya da plitələr üst-üstə düşür.

Arı pətəyinin altıbucaqlı gözləri də bu hesaba uyğun gəlir. Bu bucaqları hesablamaq üçün bir neçə sadə düstur kifayətdir. Aşağıda onları görəcəksən.

Niyə lazımdır

Bucaq düsturları çoxbucaqlı haqqında çox şey deyir. Qabarıq çoxbucaqlının daxili bucaqlarının cəmindən tərəflərinin sayını tapa bilərsən. Düzgün çoxbucaqlıda isə bir daxili və ya xarici bucağın ölçüsü də bunun üçün kifayətdir. Plitə və naxış seçimi, parket düzümü, hətta futbol topunun tikişləri də eyni bucaq hesabına əsaslanır.

İmtahanda bu tapşırıqlar qısadır, amma bir səhv işarə bütün cavabı pozur. Düsturları və hansı radiusun hara getdiyini dəqiq bilsən, bu suallar ən sürətli qazandığın ballar arasında olacaq.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Bu mövzuda bucaqların cəminə, fərqinə və ya nisbətinə əsasən çoxbucaqlının neçə tərəfi olduğunu müəyyən edirsən. Kvadrat üçün iki çevrənin radiuslarını müqayisə edir, düzgün altıbucaqlıda isə perimetr, tərəf və daxilə çəkilmiş çevrənin radiusu arasında əlaqədən istifadə edirsən. Şərtdə təpələrin sayı soruşularsa, tərəflərin sayını tapmaq kifayətdir.

Qayda

Düzgün çoxbucaqlı həm tərəfləri, həm də daxili bucaqları öz aralarında bərabər olan çoxbucaqlıdır. Tərəflərin sayını $n$ , bir tərəfin uzunluğunu $a$ , perimetri $P$ ilə göstərsən, $P=n\times a$ və $a=\frac Pn$ olar.
Bucaqların cəmi üçün qabarıq çoxbucaqlıda bu əlaqələri yadda saxla: daxili bucaqların cəmi $180^\circ\times(n-2)$ , hər təpədən birini götürdükdə xarici bucaqların cəmi $360^\circ$ olur. Cəmlərin fərqi veriləndə birinci ifadədən ikincini çıxarıb tənlik qur.
Qonşu bucaqlar üçün $\alpha+\beta=180^\circ$ yaz; burada $\alpha$ daxili, $\beta$ ona qonşu xarici bucaqdır. Düzgün çoxbucaqlıda $\beta=\frac{360^\circ}{n}$ , deməli, $n=\frac{360^\circ}{\beta}$ . Nisbət verilirsə, bucaqları eyni dəyişənin misilləri ilə göstər; fərq verilirsə, kiçik bucağa fərqi əlavə et.
Çevrənin radiusu üçün işarələri ayır: xaricə çəkilmiş çevrədə $R$ mərkəzdən təpəyə qədər məsafədir. Daxilə çəkilmiş çevrədə $r$ mərkəzdən tərəfə endirilən perpendikulyarın uzunluğudur; çevrə tərəflərə toxunur.
Kvadrat üçün $R=\frac{a\sqrt2}{2}$ və $r=\frac a2$ . Birinci radius diaqonalın yarısıdır, ikinci isə tərəfin yarısıdır. Buna görə $\frac Rr=\sqrt2$ alınır və nisbət kvadratın ölçüsündən asılı olmur.
Düzgün altıbucaqlı mərkəzdən təpələrə çəkilən parçalarla altı bərabərtərəfli üçbucağa ayrılır. Burada $R=a$ , həmin üçbucağın hündürlüyü isə $r=\frac{a\sqrt3}{2}$ olur. Radius məlumdursa, tərəfi $a=\frac{2r}{\sqrt3}$ ilə hesabla.

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

R=\frac{a\sqrt{2}}{2},\qquad r=\frac{a}{2}

Kvadratın tərəfi $a$ , xaricinə çəkilən çevrənin radiusu $R$ , daxilinə çəkilən çevrənin radiusu isə $r$ ilə göstərilir. Nisbəti tapmaq üçün radiusların tərəflə ifadələrini bir-birinə böl.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}\alpha+\beta=180^\circ\\[6pt]n=\frac{360^\circ}{\beta}\\[6pt]d=\frac{n\times(n-3)}{2}\end{gathered}

$\alpha$ düzgün çoxbucaqlının daxili bucağı, $\beta$ ona qonşu xarici bucaq, $n$ tərəflərin, $d$ isə bütün diaqonalların sayıdır. Verilmiş fərqlə bucaqların cəmindən əvvəl xarici bucağı, ardınca tərəflərin və diaqonalların sayını müəyyən et.

Öyrənilməli düstur

d=n-3

2 tapşırıqda işlənib

$d$ bir təpədən çəkilən diaqonalların sayını, $n$ isə çoxbucaqlının tərəflərinin sayını bildirir. Seçdiyin təpəni və onun iki qonşusunu diaqonal uclarına daxil etmədiyin üçün tərəflərin sayını diaqonal sayından üç vahid çox götür.

$n$ qabarıq çoxbucaqlının tərəflərinin sayı, $d$ isə seçilmiş bir təpədən çıxan diaqonalların sayıdır. Diaqonal sayına üç əlavə et, çünki həmin təpənin özü və iki qonşusu diaqonalın digər ucu ola bilməz.

Öyrənilməli düstur

\alpha+\beta=180^\circ,\qquad n=\frac{360^\circ}{\beta}

Düzgün çoxbucaqlıda $n$ tərəflərin sayı, $\alpha$ daxili bucaq, $\beta$ isə ona qonşu xarici bucaqdır. Verilmiş fərqlə bucaqların cəmindən istifadə edib $\beta$ -nı tap, sonra tərəflərin sayını hesabla.

Öyrənilməli düstur

D=\frac{n\times(n-3)}{2}

2 tapşırıqda işlənib

Qabarıq çoxbucaqlıda $n$ təpələrin, $D$ isə bütün diaqonalların sayıdır. Qonşu olmayan təpələri birləşdirən parçaları sayarkən hər diaqonal iki ucundan sayıldığı üçün hasili yarıya böl.

Burada $n$ qabarıq çoxbucaqlının təpələrinin, $D$ diaqonallarının sayını bildirir. Hər təpəni qonşusu olmayan təpələrlə birləşdirdikdə eyni diaqonalın təkrar sayılmasını aradan qaldırmaq üçün ümumi hasili ikiyə böl.

Öyrənilməli düstur

a=\frac{P}{6},\qquad r=\frac{a\sqrt{3}}{2}

Düzgün altıbucaqlının perimetri $P$ , tərəfi $a$ , daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu $r$ olsun. Əvvəl perimetrdən tərəfi tap, sonra mərkəzin qonşu təpələrlə yaratdığı bərabərtərəfli üçbucağın hündürlüyünə bərabər olan radiusu hesabla.

Öyrənilməli düstur

d=n-3,\qquad n=d+3

Qabarıq çoxbucaqlıda təpələrin sayı $n$ , seçilmiş bir təpədən çıxan diaqonalların sayı $d$ olsun. Həmin təpənin özü və iki qonşusu diaqonalın digər ucu ola bilmədiyindən təpələrin sayını taparkən bu üç təpəni də nəzərə al.

Öyrənilməli düstur

I=180^\circ\times(n-2),\qquad E=360^\circ

Qabarıq çoxbucaqlıda $n$ tərəflərin sayı, $I$ daxili bucaqların cəmi, $E$ isə hər təpədən bir xarici bucaq götürüldükdə onların cəmidir. Verilən fərqi $I-E$ şəklində ifadə edib $n$ üçün tənlik qur.

Öyrənilməli düstur

r=\frac{a\sqrt{3}}{2}

$a$ düzgün altıbucaqlının tərəfinin uzunluğu, $r$ isə onun daxilində tərəflərə toxunan çevrənin radiusudur. Verilmiş radiusu düsturda yerinə yazaraq tərəfi hesabla.

Öyrənilməli düstur

S=\frac{a+b}{2}\times h

$a$ və $b$ trapesiyanın oturacaqlarının uzunluqları, $h$ hündürlüyü, $S$ isə sahəsidir. Bərabəryanlı trapesiyada kiçik oturacağın uclarından böyük oturacağa perpendikulyarlar endir, kənarda qalan bərabər parçaları oturacaqlar fərqinin yarısı kimi tap və Pifaqor teoremi ilə hündürlüyü hesablayıb sahə düsturunda istifadə et.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}\alpha+\beta=180^\circ\\[6pt]n=\frac{360^\circ}{\beta}\end{gathered}

$\alpha$ düzgün çoxbucaqlının daxili bucağını, $\beta$ ona qonşu xarici bucağı, $n$ isə təpələrin sayını göstərir. Verilən nisbət və bucaqların cəmi vasitəsilə əvvəl $\beta$ bucağını, sonra $n$ sayını tap.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}D=180^\circ\times(n-2)\\[6pt]X=360^\circ\end{gathered}

$n$ tərəflərin sayını, $D$ daxili bucaqların cəmini, $X$ isə hər təpədən birini götürdüyün xarici bucaqların cəmini göstərir. Verilən misli nəzərə alaraq bu iki cəm arasında tənlik qur və tərəflərin sayını hesabla.

Öyrənilməli düstur

c^2=a^2+b^2

Pifaqor teoremində $a$ və $b$ düzbucaqlı üçbucağın katetlərinin, $c$ isə hipotenuzunun uzunluqlarıdır. Kvadratın bərabər tərəfləri və düz bucağından istifadə edərək $KTN$ üçbucağının katetlərini müəyyən et, sonra $TN$ hipotenuzunu hesabla.

Öyrənilməli qayda

Paraleloqramda eyni tərəfin uclarındakı daxili bucaqlar birlikdə $180^\circ$ təşkil edir. Diaqonalın ayırdığı hissələri toplayıb bütöv bucağı müəyyən et, sonra qonşu bucağı hesabla.

Öyrənilməli qayda

Bərabəryanlı trapesiyada diaqonallar bərabərdir və böyük oturacaqla eyni ölçülü bucaqlar əmələ gətirir. Diaqonallar perpendikulyardırsa, bu bucaqlar $45^\circ$ olur; hündürlük çəkərək alınan düzbucaqlı üçbucaqda katetlərin bərabərliyindən istifadə et.

Öyrənilməli qayda

Trapesiyanın paralel oturacaqları ilə bir diaqonalın əmələ gətirdiyi daxili çarpaz bucaqlar bərabərdir. Diaqonalın tənbölən olduğunu nəzərə alıb üçbucaqda bərabər bucaqların qarşısındakı tərəfləri müəyyən et, sonra hündürlüklərin ayırdığı düzbucaqlı üçbucaqlardan istifadə edərək perimetr üçün tənlik qur.

Öyrənilməli qayda

Paraleloqramda bucağın tənböləni qarşı tərəfi kəsəndə ayırdığı üçbucaq bərabəryanlı olur: paralel tərəflərlə yaranan çarpaz bucaqların bərabərliyi bunu göstərir. Bu xassə ilə bölünən tərəfin bir hissəsini, verilmiş nisbətlə qalan hissəsini tap və qonşu tərəflərin cəmini ikiqat götür.

Öyrənilməli qayda

İki bucağı uyğun olaraq bərabər olan üçbucaqlar oxşardır və uyğun hündürlükləri uyğun tərəfləri ilə eyni nisbətdədir. Trapesiyada oturacaqların diaqonallarla yaratdığı üçbucaqlara bu qaydanı tətbiq et, kəsişmə nöqtəsindən oturacaqlara məsafələri tapıb topla və alınan hündürlüklə sahəni hesabla.

Öyrənilməli qayda

Paraleloqramda qarşı təpələrdə yerləşən bucaqların ölçüləri eynidir. Şəkildə $\alpha$ və $\gamma$ belə bucaqlar olduğundan onların cəmini iki bərabər hissəyə ayır.

Öyrənilməli qayda

Trapesiyada orta xətt hər iki oturacaqla paraleldir, uzunluğu isə oturacaqlar cəminin yarısıdır. Əvvəl orta xəttin naməlum hissəsini tap, sonra paralellik və tənbölənin yaratdığı bərabər bucaqlardan istifadə edərək alınan üçbucaqda iki tərəfin bərabər olduğunu əsaslandır.

Öyrənilməli qayda

Dördbucaqlının bütün tərəfləri daxildəki çevrəyə toxunursa, qarşı tərəflərdən ibarət hər iki cütün uzunluqları eyni cəmi verir. Naməlum tərəfin qarşısında verilmiş tərəflərdən hər birini ayrıca götür, hər halın perimetrini hesabla və müxtəlif nəticələri topla.

Tərəflərin sayını dəyiş, bucaqlara bax

Düzgün çoxbucaqlının tərəflərinin sayını $n$ seç. Bucaqların cəmi, bir daxili və bir xarici bucaq, həm də diaqonalların sayı dərhal yenilənir.

Nümunələr

Düzgün çoxbucaqlıda daxili bucaq qonşu xarici bucağın beş mislidir. Tərəflərin sayını tap.

Həllə bax

Həlli: Xarici bucaq

x

olsun.

5x+x=180^\circ

olduğundan

x=30^\circ

. Beləliklə,

n=360:30=12

Qabarıq çoxbucaqlıda daxili bucaqların cəmi xarici bucaqların cəmindən $900^\circ$ çoxdur. Neçə tərəf var?

Həllə bax

Həlli: $180\times(n-2)-360=900$ , buradan $n-2=7$ və $n=9$ alınır.

Perimetri $42$ sm olan düzgün altıbucaqlının daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusunu tap.

Həllə bax

Həlli: Əvvəl tərəfi hesabla: $a=42:6=7$ sm. Sonra radius düsturunda yerinə yaz: $r=\frac{7\sqrt3}{2}$ sm.

Düzgün çoxbucaqlının daxili bucaqlarının cəmi

1440^\circ

-dir. Onun bir daxili bucağını tap.

Həllə bax

Cəm düsturunu yaz: $180^\circ\times(n-2)=1440^\circ$ .
Hər iki tərəfi $180^\circ$ -yə böl: $n-2=8$ , deməli $n=10$ .
Düzgün çoxbucaqlıda bucaqlar bərabərdir, ona görə cəmi tərəflərin sayına böl: $1440^\circ:10=144^\circ$ .
Yoxla: xarici bucaq $180^\circ-144^\circ=36^\circ$ , $360^\circ:36^\circ=10$ tərəf alınır.

$144^\circ$

Tipik səhv

Daxili bucaq xarici bucağın $4$ mislidir: $4x+x=360^\circ$ , $x=72^\circ$ , $n=360:72=5$ .

Daxili bucaq və ona qonşu xarici bucaq: $4x+x=180^\circ$ , $x=36^\circ$ , $n=360:36=10$ .

Bir daxili bucağı bütün daxili bucaqların cəmi ilə qarışdırma: qonşu bucaqlar üçün $180^\circ$ , bütün xarici bucaqlar üçün $360^\circ$ işlədilir.

Radius məsələsində də parçanın ucuna bax: təpəyə gedən $R$ , tərəfə perpendikulyar gedən $r$ olur; perimetr verilibsə, onu birbaşa radius düsturuna yazma, əvvəl tərəfi tap.

Özünü yoxla

Düzgün çoxbucaqlının bir daxili bucağı ona qonşu xarici bucaqdan $120^\circ$ böyükdür. Tərəflərinin sayını tap.

Kvadratın daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu $5$ sm-dir. Xaricinə çəkilmiş çevrənin radiusunu tap.

Düzgün altıbucaqlının daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu $3\sqrt{3}$ sm-dir. Altıbucaqlının perimetrini tap.

Mövzu üzrə sınağa keç

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Çoxbucaqlılar», səh. 118
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Qabarıq çoxbucaqlının daxili və xarici bucaqlarının cəmi», səh. 120
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Çevrənin daxilinə və xaricinə çəkilmiş dördbucaqlının xassələri», səh. 127
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Düzgün çoxbucaqlının daxilinə və xaricinə çəkilmiş çevrələr», səh. 129
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 5.3 «Paraleloqram», səh. 114
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 5.6 «Trapesiya», səh. 126