Riyaziyyat, Həndəsə

Çoxüzlülərin səthi və həcmi: qutunu örtmək və doldurmaq

Düzbucaqlı paralelepiped və kubun həcmini, tam və yan səthinin sahəsini düzgün düsturla, düzgün vahidlə tapmağı öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 4 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: masanın üstündə açıq boş karton qutu, yanında bükmə kağızı rulonu və qayçı.

Hədiyyəni qutuya qoyub bağlamaq istəyirsən. Burada iki ayrı sual var: qutuya nə qədər şey sığar və onu örtmək üçün nə qədər kağız lazımdır? Birinci sual həcm haqqındadır, ikincisi səthin sahəsi haqqında.

Eyni həcmli qutuların səthlərinin sahəsi fərqli ola bilər. Ölçüləri $1$ , $1$ və $8$ olan uzun qutunun da, tili $2$ olan kubun da həcmi $8$ -dir. Uzun qutunu örtmək üçün $34$ kvadrat vahid kağız gedir, kubu örtmək üçün isə cəmi $24$ . İçinə eyni qədər şey sığır, amma kağız fərqli gedir.

Deməli, qutunu doldurmaq və örtmək üçün ayrı-ayrı düsturlar lazımdır. Gəl hər birini düzgün işlətməyi öyrənək.

Niyə lazımdır

Kitab rəfinin, akvariumun, otağın həcmi, rənglənəcək divarların sahəsi, hədiyyə üçün kağızın miqdarı: bu işlərdə həcm və səth sahəsi hesablamalarından istifadə olunur. Usta da, mühəndis də işində belə hesablamalar aparır.

İmtahanda bu tapşırıqlar adətən qısadır, amma bir yerdə ilişib qalmaq asandır: yan səthin yerinə tam səthi tapırsan, diaqonalı til kimi götürürsən, ya da vahidi səhv yazırsan. Düsturu bilmək azdır, hansı düsturun lazım olduğunu da seçməyi bacarmalısan.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Bu mövzuda sən düzbucaqlı paralelepiped və kubla bağlı hesablamalar aparırsan. Üç ölçü veriləndə cismin həcmini, üç müxtəlif istiqamətdəki üzün sahəsi məlum olanda isə tam səthinin sahəsini tapırsan. Qutunun xaricini örtmək və ya bütün üzlərini boyamaq üçün lazım olan sahə də soruşula bilər. Kubun bir üzündəki diaqonala əsasən əvvəl tili, sonra yan səthin sahəsini hesablamalısan.

Qayda

Həcm cismin fəzada tutduğu yerin ölçüsüdür. Düzbucaqlı paralelepipedin uzunluğunu $a$ , enini $b$ , hündürlüyünü $h$ ilə işarə etsən, $V=a\times b\times h$ olar. Əvvəl uzunluq ölçülərini eyni vahidlə ifadə et. Oturacağın sahəsi məlumdursa, onu hündürlüyə vurmaq kifayətdir.
Tam səthin sahəsi bütün üzlərin sahələri cəmidir. Düzbucaqlı paralelepipeddə alt və üst, ön və arxa, sağ və sol üzlər bərabər sahəli cütlər yaradır. Buna görə $S_{\text{tam}}=2\times(a\times b+a\times h+b\times h)$ düsturundan istifadə et.
Alt, ön və sağ üzlərin sahələri müvafiq olaraq $A$ , $B$ , $C$ ilə verilibsə, $S_{\text{tam}}=2\times(A+B+C)$ yaz. Burada ölçüləri ayrıca tapmağa ehtiyac yoxdur: hər sahəni qarşı üz üçün də nəzərə alırsan.
Kub altı bərabər kvadrat üzdən ibarətdir. Tilin uzunluğu $a$ olduqda bir üzün sahəsi $a^2$ , tam səthin sahəsi $6\times a^2$ olur. Alt və üst üzləri oturacaq seçdikdə dörd yan üz qalır, deməli, $S_{\text{yan}}=4\times a^2$ .
Üz diaqonalı bir kvadrat üzün qarşı təpələrini birləşdirir. Uzunluğunu $d$ ilə göstərsən, Pifaqor teoreminə görə $d^2=a^2+a^2$ , yəni $d=a\sqrt{2}$ alınır. Buradan $a=\frac{d}{\sqrt{2}}$ tapıb uyğun səthin sahəsi düsturuna keç.

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

V=a\times b\times h

$V$ həcm, $a$ uzunluq, $b$ en, $h$ isə hündürlükdür. Düzbucaqlı paralelepipedin verilmiş ölçülərini bu düsturda yerinə yazaraq həcmi hesabla.

Öyrənilməli düstur

S=2\times(S_1+S_2+S_3)

$S$ tam səthin sahəsi, $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ isə bir təpədə birləşən üç üzün sahələridir. Düzbucaqlı paralelepipedin qarşı üzləri bərabər sahəli olduğundan verilən üç sahənin cəmini ikiqat götür.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}d=a\sqrt{2}\\[6pt]S_{\text{yan}}=4a^2\end{gathered}

$a$ kubun tilinin uzunluğu, $d$ bir üzünün diaqonalı, $S_{\text{yan}}$ isə dörd yan üzün sahələri cəmidir. Əvvəl diaqonaldan tili tap, sonra yan səthin sahəsini hesabla.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}S_{\text{tam}}=6a^2,\quad S_{\text{yan}}=4a^2\\[6pt]S_{\text{tam}}-S_{\text{yan}}=2a^2\\[6pt]V=a^3\end{gathered}

$a$ kubun tilinin uzunluğu, $S_{\text{tam}}$ tam səthin sahəsi, $S_{\text{yan}}$ yan səthin sahəsi, $V$ isə həcmdir. Sahələrin fərqi iki oturacağın ümumi sahəsi olduğundan əvvəl tili müəyyən et, sonra onun kubunu hesabla.

Qutunu özün qur

Ölçüləri dəyiş və həcmlə tam səthin necə dəyişdiyinə bax. Həcmi eyni saxlayıb səthi kiçiltməyə çalış.

Nümunələr

Düzbucaqlı paralelepiped formasındakı detalın ölçüləri

4

sm,

6

sm və

10

sm-dir. Həcmini tap.

Həllə bax

Həlli: Üç ölçünün hasilini hesabla: $V=4\times6\times10=240$ sm $^3$ .

Qapalı düzbucaqlı paralelepipedin alt, ön və sağ üzləri müvafiq olaraq $18$ sm $^2$ , $27$ sm $^2$ və $54$ sm $^2$ sahəyə malikdir. Tam səthin sahəsini tap.

Həllə bax

Həlli: Qarşı üzlər də hesablandığından $S_{\text{tam}}=2\times(18+27+54)=198$ sm $^2$ .

Kubun kvadrat üzündə diaqonal $7\sqrt{2}$ sm-dir. Yan səthin sahəsini hesabla.

Həllə bax

Həlli: Til $a=\frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=7$ sm alınır. Dörd yan üz üçün $S_{\text{yan}}=4\times7^2=196$ sm $^2$ .

Kubun tam səthinin sahəsi ilə yan səthinin sahəsi arasındakı fərq

50

^2

-dir. Kubun həcmini tap.

Həllə bax

Tam səth altı üzdür, yan səth isə dörd üz. Fərq iki oturacaqdır: $6\times a^2-4\times a^2=2\times a^2$ .
Deməli, $2\times a^2=50$ , buradan $a^2=25$ və $a=5$ sm.
Kubun üç ölçüsü də tilə bərabərdir, ona görə $V=5\times5\times5=125$ sm $^3$ .

$125$ sm $^3$

Tipik səhv

Kubun üz diaqonalı $7\sqrt{2}$ sm-dir, onda $S_{\text{yan}}=6\times(7\sqrt{2})^2=588$ sm $^3$ .

Əvvəl tili tap: $a=\frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=7$ sm. Sonra yalnız dörd yan üzü say: $S_{\text{yan}}=4\times7^2=196$ sm $^2$ .

Kubun yan səthinin sahəsi soruşulanda altı üzün sahəsini toplama, yalnız dörd yan üzü say. Diaqonalı da tilin yerinə yazma, əvvəl tili hesabla.

Səthin sahəsi ilə həcmin vahidlərini qarışdırmamaq üçün cavabını yoxla: ölçülər santimetrlədirsə, sahə sm $^2$ , həcm isə sm $^3$ ilə yazılır.

Özünü yoxla

Düzbucaqlı paralelepipedin oturacağının sahəsi $15$ sm $^2$ , hündürlüyü $0{,}2$ dm-dir. Həcmini tap.

Düzbucaqlı paralelepipedin tam səthinin sahəsi $94$ sm $^2$ -dir. Alt üzün sahəsi $12$ sm $^2$ , ön üzün sahəsi $20$ sm $^2$ olarsa, sağ üzün sahəsini tap.

Kubun bir üzünün diaqonalı $6$ sm-dir. Yan səthinin sahəsini tap.

Mövzu üzrə sınaqda özünü yoxla

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 2-ci hissə, 7.1 «Kub və kuboidin səthinin sahəsi», səh. 63
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 2-ci hissə, 7.3 «Düz prizmanın həcmi», səh. 71