Riyaziyyat, Dördbucaqlılar və çoxbucaqlılar

Üçbucağın orta xətti: tərəfin yarısı bir parçada

Orta xətti tanıyıb ondan tərəfi, perimetri və trapesiyanın orta xəttini, medianların $2:1$ nisbətində bölünməsindən isə medianın hissələrini tapa biləcəksən.

Oxumaq 3 dəqiqə çəkir

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: masanın üstündə uc tərəfi aşağı qatlanmış kağız üçbucaq və yanında karandaş.

Kağızdan bir itibucaqlı üçbucaq kəs. Sonra üst təpəni aşağı qatla: qatlama xətti alt tərəfə paralel olsun, təpənin ucu isə düz alt tərəfə toxunsun. Kağızı aç və qatlama izinə bax.

Bu iz üçbucağın tam ortasından keçir. Hər iki yan tərəfi yarıdan bölür, uzunluğu da alt tərəfin düz yarısı qədər olur. Xətkeşlə ölç, görəcəksən. Bu parçanın adı var: üçbucağın orta xətti.

Bir qatlama ilə həm paralellik, həm də “yarısı” alındı. Bunun səbəbi aşağıdakı qaydadadır.

Niyə lazımdır

Orta xətt bir uzunluğu bilib başqasını bir addımda tapmağa imkan verir: ya ikiyə vurursan, ya da ikiyə bölürsən. Üstəlik, üçbucaqdan bir orta xətt kəsib ayıranda bir trapesiya qalır. Buna görə bu mövzu trapesiya məsələlərinə körpüdür.

Testdə vaxt azdır. Orta xətti şəkildə tez görən adam uzun hesablamaya girmir, cavabı iki sətirdə yazır.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda trapesiyanın orta xəttini oturacaqlar vasitəsilə hesablamaq, perimetrdən yan tərəfin uzunluğunu tapmaq tələb oluna bilər. Üçbucaqlarla qurulan məsələlərdə medianların kəsişmə nöqtəsinin xassəsindən də istifadə etməli olursan. Buna görə üçbucağın orta xətti ilə yanaşı, trapesiyanın orta xəttini və medianın bölünmə nisbətini də xatırla.

Qayda

Orta xətt iki tərəfin ortalarını birləşdirən parçadır. Məsələn, $M$ nöqtəsi $AB$ tərəfinin, $N$ isə $BC$ tərəfinin ortasıdırsa, $MN$ orta xətdir. Burada $AM=MB$ və $BN=NC$ olur.
Əsas xassə: həmin şərtlərlə $MN\parallel AC$ və $MN=\dfrac{AC}{2}$ . Deməli, orta xətt məlumdursa, uyğun tərəfi $AC=2\times MN$ ilə tapırsan. Burada $MN$ parçasının uzunluğu $AC$ tərəfinin uzunluğunun yarısıdır; $MN$ həmin tərəfi bölmür.
Tərs teorem: $M$ nöqtəsi $AB$ tərəfinin ortasıdırsa və ondan $AC$ tərəfinə paralel çəkilən xətt $BC$ tərəfini $N$ nöqtəsində kəsirsə, $BN=NC$ alınır. Beləliklə, $MN$ də orta xətt olur.
Hər üçbucaqda üç orta xətt çəkmək mümkündür. Onların hər biri ayrı tərəfin yarısına bərabərdir. Üçünü də çəkdikdə dörd konqruyent kiçik üçbucaq alınır.
Trapesiyanın orta xətti yan tərəflərin ortalarını birləşdirir. Oturacaqlara paralel olan bu parçanın uzunluğu $m=\dfrac{a+b}{2}$ ilə hesablanır; $a$ və $b$ oturacaqların uzunluqlarıdır.
Medianların kəsişməsi: üç medianın ortaq nöqtəsi hər medianı təpədən hesabladıqda $2:1$ nisbətində bölür. $CM$ medianında kəsişmə nöqtəsi $G$ olarsa, $CG:GM=2:1$ , yəni $CG=2\times GM$ olur.

Özün hesabla

Hər sualda cavabı rəqəmlə yaz. Səhv etsən, həll addımlarını göstərəcəyik.

Nümunələr

ABC

üçbucağında

M

və

N

uyğun olaraq

AB

və

BC

tərəflərinin ortalarıdır.

MN=x+2

sm,

AC=3x-1

sm olarsa,

MN

uzunluğunu tap.

Həllə bax

Həll: $AC=2\times MN$ olduğuna görə $3x-1=2(x+2)$ . Buradan $x=5$ , deməli, $MN=7$ sm alınır. Yoxlama: $AC=14$ sm, onun yarısı isə $7$ sm-dir.

Üçbucağın üç orta xəttinin uzunluqları $4$ sm, $5$ sm və $6$ sm-dir. Üçbucağın perimetrini tap.

Həllə bax

Həll: uyğun tərəflər $8$ sm, $10$ sm və $12$ sm-dir. Buna görə $P=8+10+12=30$ sm.

$ABC$ üçbucağında $M$ və $N$ uyğun olaraq $AB$ və $BC$ tərəflərinin ortaları, $G$ isə medianların kəsişmə nöqtəsidir. $AC=16$ sm, $CG=8$ sm-dir. $CM$ medianının və $AMNC$ trapesiyasının orta xəttinin uzunluqlarını tap.

Həllə bax

Həll: $GM=CG:2=4$ sm, buna görə $CM=8+4=12$ sm. Üçbucağın orta xətti $MN=16:2=8$ sm-dir. Trapesiyanın oturacaqları $MN$ və $AC$ olduğundan onun orta xətti $m=\dfrac{8+16}{2}=12$ sm alınır.

Üçbucağın tərəfləri

7

sm,

9

sm və

12

sm-dir. Üç orta xəttin əmələ gətirdiyi üçbucağın perimetrini tap.

Həllə bax

Hər orta xətt bir tərəfin yarısıdır: $7:2=3,5$ sm, $9:2=4,5$ sm, $12:2=6$ sm.
Orta xətlərin əmələ gətirdiyi üçbucağın tərəfləri məhz bu parçalardır.
Perimetr: $3,5+4,5+6=14$ sm.
Yoxlama: böyük üçbucağın perimetri $7+9+12=28$ sm-dir, $14$ isə onun yarısıdır.

$14$ sm

Tipik səhv

Şəkildə $MN\parallel AC$ görünür, deməli $MN=\dfrac{AC}{2}$ .

$M$ nöqtəsi $AB$ tərəfinin ortasıdır və $MN\parallel AC$ verilib. Tərs teoremə görə $BN=NC$ , deməli $MN$ orta xətdir və $MN=\dfrac{AC}{2}$ .

Üçbucağın daxilində gördüyün hər paralel parçanı orta xətt sayma: ən azı bir tərəfin ortasından keçməsi də verilməlidir.

Orta xətti medianla da qarışdırma. Medianın bir ucu təpədə, orta xəttin hər iki ucu isə tərəflərin ortalarındadır.

Özünü yoxla

$ABC$ üçbucağında $M$ nöqtəsi $AB$ , $N$ nöqtəsi isə $BC$ tərəfinin üzərindədir və $MN\parallel AC$ -dir. Hansı əlavə şərt $MN$ parçasının orta xətt olduğunu deməyə kifayət edir?

Üçbucağın $MN$ orta xətti $AC$ tərəfinə paraleldir. $AC$ tərəfi $MN$ parçasından $11$ sm uzundur. $AC$ neçə santimetrdir?

Trapesiyanın orta xətti $14$ sm, oturacaqlarından biri $10$ sm-dir. Digər oturacağın uzunluğunu tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 5.5 «Üçbucağın orta xəttinin və medianlarının xassələri», səh. 122