Riyaziyyat, Dördbucaqlılar və çoxbucaqlılar

Düzgün çoxbucaqlıya çəkilmiş çevrələr: R və r necə tapılır

Düzgün üçbucaq, kvadrat və altıbucaqlıda tərəfi bilib xaricə və daxilə çəkilmiş çevrələrin radiusunu tapacaqsan, radiusu bilib tərəfi də.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta iş masasının üstündə altıbucaqlı polad qayka və onun yanında açar.

Əlinə altıbucaqlı bir qayka götür. Altı yan üzü var və yuxarıdan baxanda düzgün altıbucaqlıdır. Açarın ağzı onun iki paralel yan üzünə oturur. Ona görə də açarın ölçüsü qarşı yan üzlər arasındakı məsafədir.

İndi qaykanı fırlat. Künclər üzlərdən bir az çölə çıxır və daha böyük çevrə cızır. Deməli, eyni altıbucaqlının iki çevrəsi var: biri künclərdən keçir, o biri üzlərə toxunur. Bu səhifə həmin iki çevrənin radiusunu tərəflə necə bağlamağı göstərir.

Niyə lazımdır

Bu düsturlarla bir ölçüdən o birinə keçirsən. Perimetr verilibsə, tərəfi, sonra da radiusu və diaqonalı tapırsan. Daxilə çəkilmiş çevrə verilibsə, tərsinə gedib tərəfi alırsan. Hamısı bir düzbucaqlı üçbucağa söykənir, ona görə də düsturu unutsan belə, yenidən çıxara bilərsən.

İmtahanda bu, bir neçə sətirlik hesabdır. Kvadratın diaqonalı, altıbucaqlının böyük diaqonalı, düzgün üçbucaqda $R=2r$ kimi yoxlamalar vaxtını xeyli qısaldır.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Əsasən düzgün altıbucaqlı gəlir: perimetr və ya tərəf verilir, diaqonalın uzunluğu və ya çevrənin radiusu tapılmalıdır. Kvadrat və düzgün üçbucaq da işlənir, məsələn, daxilə çəkilmiş çevrənin radiusuna görə tərəf axtarılır. Bu tapşırıqlarda xaricə və daxilə çəkilmiş çevrənin radiusu ilə tərəf arasındakı düsturlar lazım olur.

Qayda

Hər düzgün çoxbucaqlının həm xaricinə, həm daxilinə çevrə çəkmək olar və bu çevrələrin mərkəzi $O$ ortaqdır. Mərkəz bucaqların tənbölənlərinin kəsişmə nöqtəsidir və bütün təpələrdən eyni məsafədə yerləşir.
$R$ xaricə çəkilmiş çevrənin radiusudur (mərkəzdən təpəyə qədər), $r$ daxilə çəkilmiş çevrənin radiusudur (mərkəzdən tərəfə qədər), $a$ isə tərəfdir.
Mərkəzi bucaq $\dfrac{360^\circ}{n}$ -dir. Tərəfin ortası $H$ olsa, $AOH$ düzbucaqlı üçbucağında $\angle AOH=\dfrac{180^\circ}{n}$ olur. Buradan $R=\dfrac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}$ və $r=\dfrac{a}{2\tan\frac{180^\circ}{n}}$ . Altıbucaqlıda $n=6$ , bucaq $30^\circ$ və $\sin 30^\circ=\dfrac12$ olduğundan $R=a$ alınır.
Düzgün üçbucaq: $R=\dfrac{a\sqrt3}{3}$ , $r=\dfrac{a\sqrt3}{6}$ . Kvadrat: $R=\dfrac{a\sqrt2}{2}$ , $r=\dfrac a2$ . Düzgün altıbucaqlı: $R=a$ , $r=\dfrac{a\sqrt3}{2}$ .

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

R=\frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}},\quad AD=2R

Düzgün altıbucaqlı və xaricinə çəkilmiş çevrə: tərəfi a, çevrənin radiusu R, böyük diaqonal AD.

$a$ düzgün $n$ -bucaqlının tərəfi, $R$ xaricinə çəkilmiş çevrənin radiusudur. Altıbucaqlıda $R=a$ olur və $AD$ böyük diaqonalı həmin çevrənin diametridir.

Tərəfləri artır, radiuslara bax

Tərəflərin sayını $n$ və tərəfin uzunluğunu $a$ dəyiş. Səhifə $R$ və $r$ -i qaydadakı düsturlarla hesablayır.

Nümunələr

Düzgün altıbucaqlının perimetri 48 sm-dir. Ən böyük diaqonalını tap.

Həllə bax

Tərəf

48:6=8

sm,

R=a=8

sm. Böyük diaqonal mərkəzdən keçir və diametrdir:

2R=16

sm. Kiçik diaqonallar isə

a\sqrt3=8\sqrt3

sm-dir.

Kvadratın tərəfi 12 sm-dir. Daxilinə və xaricinə çəkilmiş çevrələrin radiuslarını tap.

Həllə bax

$r=\dfrac{12}{2}=6$ sm, $R=\dfrac{12\sqrt2}{2}=6\sqrt2$ sm. Yoxlama: kvadratın diaqonalı $12\sqrt2=2R$ sm-dir.

Düzgün üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu 4 sm-dir. Tərəfini və $R$ -i tap.

Həllə bax

$r=\dfrac{a\sqrt3}{6}=4$ olduğundan $a=\dfrac{24}{\sqrt3}=8\sqrt3$ sm. Onda $R=\dfrac{8\sqrt3\times\sqrt3}{3}=8$ sm. Yoxlama: üçbucaqda $R=2r$ .

Düzgün altıbucaqlı formalı lövhənin qarşı tərəfləri arasındakı məsafə

10\sqrt3

sm-dir. Lövhənin tərəfini və xaricinə çəkilmiş çevrənin radiusunu tap.

Həllə bax

Qarşı tərəflərin orta nöqtələrini birləşdirən parça mərkəzdən keçir və uzunluğu $2r$ -dir: $2r=10\sqrt3$ , yəni $r=5\sqrt3$ sm.
Altıbucaqlıda $r=\dfrac{a\sqrt3}{2}$ , deməli $\dfrac{a\sqrt3}{2}=5\sqrt3$ və $a=10$ sm.
Altıbucaqlıda $R=a$ , ona görə də $R=10$ sm. Yoxlama: $r<R$ , çünki $5\sqrt3\approx8,66$ .

$a=10$ sm, $R=10$ sm.

Tipik səhv

Kvadratın tərəfi 6 sm-dir, deməli $R=a=6$ sm.

Kvadratda $R=\dfrac{a\sqrt2}{2}=\dfrac{6\sqrt2}{2}=3\sqrt2$ sm. $R=a$ bərabərliyi yalnız düzgün altıbucaqlıda doğrudur.

$R=a$ bərabərliyini istənilən düzgün çoxbucaqlıya aid etmək olmaz. O, düzgün altıbucaqlı üçün doğrudur, çünki mərkəzdən təpələrə qədər olan üçbucaqlar bərabərtərəflidir. Kvadratda isə $R=\dfrac{a\sqrt2}{2}$ olur.

Digər səhv: düsturda $\dfrac{180^\circ}{n}$ əvəzinə bütün mərkəzi bucağı, yəni $\dfrac{360^\circ}{n}$ götürmək. $AOH$ üçbucağındakı bucaq mərkəzi bucağın yarısıdır.

Özünü yoxla

Düzgün onbucaqlının mərkəzi $O$ , bir təpəsi $A$ , həmin təpədən çıxan tərəfin orta nöqtəsi $H$ -dır. $\angle AOH$ neçə dərəcədir?

Kvadratın xaricinə çəkilmiş çevrənin radiusu $5\sqrt2$ sm-dir. Daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusunu tap.

Düzgün altıbucaqlının ən böyük diaqonalı $14$ sm-dir. Daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusunu tap.

Bu mövzunun sınağını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Düzgün çoxbucaqlının daxilinə və xaricinə çəkilmiş çevrələr», səh. 129