Riyaziyyat, Dördbucaqlılar və çoxbucaqlılar

Çoxbucaqlı və onun diaqonalları: saymadan necə tapmaq olar

Qabarıq çoxbucaqlının diaqonallarını saymadan, düsturla tapmağı, tərs məsələdə isə diaqonallardan tərəflərin sayına qayıtmağı öyrənəcəksən.

Oxumaq 3 dəqiqə çəkir

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta masanın üstündə damalı dəftər vərəqi, karandaş və xətkeş.

Kağızda bir qabarıq beşbucaqlı çək. Sonra hər təpəni qonşusu olmayan təpələrlə birləşdir. Ortada ulduza bənzər bir fiqur yaranacaq. Onu çəkən beş parçanın hər biri beşbucaqlının diaqonalıdır.

Eyni işi altıbucaqlıda görsən, artıq 9 parça alınacaq və şəkil qarışmağa başlayacaq. Yüzbucaqlıda isə 4850 diaqonal var. Bu ədədi bir sətirlik düsturla, xətt çəkmədən də tapmaq olur.

Niyə lazımdır

İmtahanda səkkizbucaqlının, doqquzbucaqlının diaqonallarını çəkib saymaq həm vaxt aparır, həm də bir parçanı iki dəfə saymaq çox asandır. Düstur bu işi bir neçə saniyəyə endirir. Yoxlama üçün də yaxşıdır: tərs məsələdə tapdığın $n$ -i düsturda yerinə qoy və diaqonalların sayı tutursa, cavab düzdür.

Düsturun arxasındakı fikir sadədir: bir təpədən hara parça çəkmək olar, hara olmaz, sonra isə eyni parçanı iki dəfə saymamaq. Bu cür sayma sonra kombinatorika məsələlərində də tez-tez qarşına çıxacaq.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda adətən verilmiş çoxbucaqlının diaqonallarının sayını tapmaq istənilir, məsələn, dördbucaqlı, beşbucaqlı və ya daha çox tərəfi olan fiqur üçün. Tərs məsələ də gələ bilər: diaqonalların sayı məlumdur, tərəflərin sayını tapmaq lazımdır. Bəzən daxili və xarici bucaq arasındakı əlaqədən də istifadə edilir.

Qayda

Bir-birinə ardıcıl bağlanmış, qonşu olanları bir düz xətt üzərində yatmayan, özünü kəsməyən və qapalı olan sınıq xətt çoxbucaqlı əmələ gətirir. Parçalar tərəflər, onların ortaq ucları təpələrdir. $n$ tərəfi olan çoxbucaqlının $n$ təpəsi də var və ona $n$ -bucaqlı deyilir.
Diaqonal qonşu olmayan iki təpəni birləşdirən parçadır.
Qabarıq çoxbucaqlı özünün istənilən tərəfindən keçən düz xəttin bir tərəfində yerləşir. Çökük çoxbucaqlı üçün belə olmur.
Qabarıq $n$ -bucaqlının bir təpəsindən $n-3$ diaqonal çıxır, çünki təpənin özünü və iki qonşusunu çıxmaq lazımdır. Bütün diaqonalların sayı $\dfrac{n\times(n-3)}{2}$ olur: hər diaqonal iki ucundan sayıldığı üçün 2-yə bölünür.
Qabarıq çoxbucaqlının bir təpəsindəki daxili və xarici bucaqların cəmi $180^\circ$ -dir.
Tərəfləri də, bucaqları da bərabər olan çoxbucaqlı düzgün çoxbucaqlı adlanır.

Tapşırıqlarda işlənən düstur

Öyrənilməli düstur

d=\frac{n\times(n-3)}{2}

Qabarıq altıbucaqlı: bir təpədən çıxan üç diaqonal çəkilib.

$n$ qabarıq çoxbucaqlının tərəflərinin sayıdır, $d$ isə bütün diaqonalların sayı. Düzbucaqlı dördbucaqlı olduğu üçün $n=4$ götürülür.

Tərəfləri artır, diaqonallara bax

Sürgü ilə qabarıq çoxbucaqlının tərəflərinin sayını, yəni $n$ -i dəyiş. Bir təpədən çıxan və bütün diaqonalların sayı dərhal yenilənir.

Nümunələr

Qabarıq doqquzbucaqlının neçə diaqonalı var?

Həllə bax

n=9

üçün bir təpədən

9-3=6

diaqonal çıxır. Hamısı:

\dfrac{9\times 6}{2}=27

Qabarıq çoxbucaqlının 20 diaqonalı var. Neçə tərəfi var?

Həllə bax

$\dfrac{n\times(n-3)}{2}=20$ olduğundan $n\times(n-3)=40$ . Fərqi 3 olan iki ədədin hasili 40 edir: $8\times 5$ . Deməli, $n=8$ , yəni səkkizbucaqlıdır. Yoxlama: $\dfrac{8\times 5}{2}=20$ .

Qabarıq çoxbucaqlının bir təpəsində daxili bucaq $112^\circ$ -dir. Həmin təpədəki xarici bucağı tap.

Həllə bax

Daxili və xarici bucaq qonşudur, cəmləri $180^\circ$ edir: $180^\circ-112^\circ=68^\circ$ .

Hansı qabarıq çoxbucaqlının diaqonallarının sayı onun tərəflərinin sayına bərabərdir?

Həllə bax

Diaqonalların sayını tərəflərin sayına bərabər yaz: $\dfrac{n\times(n-3)}{2}=n$ .
$n$ müsbət ədəddir, ona görə hər iki tərəfi $n$ -ə bölmək olar: $\dfrac{n-3}{2}=1$ .
Buradan $n-3=2$ , yəni $n=5$ .
Yoxlama: $\dfrac{5\times 2}{2}=5$ , beşbucaqlının da 5 tərəfi var.

Beşbucaqlı: onun 5 tərəfi və 5 diaqonalı var.

Tipik səhv

Beşbucaqlı üçün $n\times(n-3)=5\times 2=10$ diaqonal.

Beşbucaqlı üçün $\dfrac{n\times(n-3)}{2}=\dfrac{5\times 2}{2}=5$ diaqonal.

Çoxları düsturda 2-yə bölməyi unudur. Bölmə ona görə lazımdır ki, $AC$ diaqonalı həm $A$ təpəsindən, həm $C$ təpəsindən sayılır, amma yenə də bir parçadır.

Başqa səhv bir təpədən $n-3$ yox, $n-1$ diaqonal çəkməkdir. Təpənin özünü və iki qonşusunu çıxmağı unutma, çünki qonşu təpələr tərəflə birləşir.

Özünü yoxla

Bütün diaqonalların sayını taparkən $n\times(n-3)$ hasilini niyə $2$ -yə bölürsən?

Qabarıq çoxbucaqlının bir təpəsindən $8$ diaqonal çıxır. Bu çoxbucaqlının bütün diaqonallarının sayını tap.

Qabarıq çoxbucaqlının $54$ diaqonalı var. Onun tərəflərinin sayını tap.

Bu mövzudan tapşırıqlar həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Çoxbucaqlılar», səh. 118