Riyaziyyat, Dördbucaqlılar və çoxbucaqlılar

Qabarıq çoxbucaqlı: diaqonalları necə saymalı

Qabarıq çoxbucaqlını çökükdən ayırmağı, diaqonalları düsturla saymağı və diaqonalların sayından tərəflərin sayını tapmağı öyrənəcəksən.

Oxuma vaxtı: 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: yuxarıdan görünən dəyirmi taxta masa və onun ətrafında altı stul.

Təsəvvür et: dəyirmi masanın arxasında altı nəfər oturub. Hər kəs yanındakı iki nəfərdən başqa hamı ilə əl sıxır. Cəmi neçə əl sıxma olacaq? Barmaqla saymağa başlasan, tez çaşarsan.

İnsanları altıbucaqlının təpələri kimi düşün. Yanaşı oturanları tərəflər birləşdirir, qalan hər əl sıxma isə bir diaqonaldır. Cavab 9-dur və onu bir sətirlik düsturla tapmaq olur.

Düzgün beşbucaqlının bütün diaqonallarını çəksən, içində beşguşəli ulduz yaranır. Bu xətləri saymaq çətin deyil, yetər ki, qaydanı biləsən.

Niyə lazımdır

Diaqonal düsturu ən sadə sayma ideyalarından biridir: hər təpədən bir neçə xətt çıxır, sonra təkrar sayılanları atırsan. Eyni üsulla turnirdə oyunların, şəbəkədə bağlantıların sayı da hesablanır.

İmtahanda bu mövzu əslində kvadrat tənlik məşqidir. Tənliyi tez qurub natural kökü seçə bilsən, tapşırıq həll olunur.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Əsas tapşırıq tipi diaqonalların sayı ilə tərəflərin sayı arasındakı əlaqəyə aiddir. Ya diaqonalların sayı verilir və tərəflərin sayı axtarılır, ya da iki çoxbucaqlının tərəfləri və diaqonalları bir-biri ilə müqayisə olunur, məsələn, birində tərəf iki dəfə çoxdur, diaqonal isə bir neçə dəfə. Cavab seçimlərində düzgün ədədi tapmaq üçün tənlik qurulur.

Qayda

Qabarıq çoxbucaqlının hər tərəfi üçün həmin tərəfdən keçən düz xətt fiqurun bütün qalan hissəsini bir tərəfində saxlayır. Çökük çoxbucaqlıda ən azı bir tərəf üçün düz xəttin hər iki tərəfində fiqurun hissələri olur.
Qabarıq çoxbucaqlının daxilindən götürülmüş istənilən iki nöqtəni birləşdirən parça fiqurun daxilində qalır.
$n$ -bucaqlının $n$ tərəfi və $n$ təpəsi var. Qabarıq olduqda onun diaqonallarının sayı $d=\dfrac{n\times(n-3)}{2}$ olur.
Tərs məsələdə $n\times(n-3)=2d$ tənliyi həll edilir. $n$ natural ədəd olmalıdır və $n\ge 3$ .
Qabarıq çoxbucaqlının hər təpəsində daxili və xarici bucaqların cəmi $180^\circ$ -dir.

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

d=\frac{n(n-3)}{2}

Qabarıq altıbucaqlı: bir təpədən çıxan üç diaqonal çəkilib.

2 tapşırıqda

$n$ qabarıq çoxbucaqlının tərəflərinin sayı, $d$ isə diaqonallarının sayıdır. Burada $d=9$ götürülür və alınan tənliyin yalnız natural kökü yararlıdır.

Qabarıq $n$ -bucaqlının hər təpəsindən $n-3$ diaqonal çıxır və hər diaqonal iki dəfə sayıldığından $d$ ədədi yarıya bölünür. Burada kiçik çoxbucaqlının tərəflərinin sayı $n$ , böyüyünün tərəflərinin sayı $2n$ götürülür.

Diaqonalları özün say

Sürgünü hərəkət etdirib tərəflərin sayını dəyiş və diaqonalların necə sürətlə artdığına bax.

Nümunələr

Qabarıq çoxbucaqlının 44 diaqonalı var. Neçə tərəfi var?

Həllə bax

n\times(n-3)=88

. Fərqi 3 olan hansı iki ədədin hasili 88 edir?

11\times 8=88

, deməli,

n=11

. Yoxlama:

\dfrac{11\times 8}{2}=44

Qabarıq çoxbucaqlının diaqonallarının sayı tərəflərinin sayından 2 dəfə çoxdur. Neçə tərəfi var?

Həllə bax

$\dfrac{n\times(n-3)}{2}=2n$ . Hər iki tərəfi $n$ -ə bölürük ( $n>0$ ): $\dfrac{n-3}{2}=2$ , yəni $n-3=4$ və $n=7$ . Yoxlama: yeddibucaqlıda $\dfrac{7\times 4}{2}=14=2\times 7$ .

Qabarıq çoxbucaqlının 10 diaqonalı ola bilərmi?

Həllə bax

$n\times(n-3)=20$ olmalıdır. Lakin $n=5$ üçün $5\times 2=10$ , $n=6$ üçün $6\times 3=18$ , $n=7$ üçün $7\times 4=28$ alınır, 20 isə alınmır. Deməli, belə çoxbucaqlı yoxdur.

Bir qabarıq çoxbucaqlının tərəfləri digərininkindən 2 dəfə çoxdur, diaqonalları isə 7 dəfə çoxdur. Hər birinin neçə tərəfi var?

Həllə bax

Kiçik çoxbucaqlının tərəflərinin sayı $n$ , böyüyünün tərəflərinin sayı $2n$ olsun. Onların diaqonalları: $\dfrac{n\times(n-3)}{2}$ və $\dfrac{2n\times(2n-3)}{2}=n\times(2n-3)$ .
Şərtə görə $n\times(2n-3)=7\times\dfrac{n\times(n-3)}{2}$ . Hər iki tərəfi $n$ -ə bölüb 2-yə vururuq: $2\times(2n-3)=7\times(n-3)$ .
$4n-6=7n-21$ , buradan $3n=15$ və $n=5$ alınır.
Yoxlama: beşbucaqlıda $\dfrac{5\times 2}{2}=5$ diaqonal var, onbucaqlıda $\dfrac{10\times 7}{2}=35$ diaqonal var və $35=7\times 5$ .

Kiçik çoxbucaqlının 5, böyüyünün 10 tərəfi var.

Tipik səhv

$d=65$ olduğu üçün $n\times(n-3)=65$ yazıram.

$n\times(n-3)=2\times 65=130$ , buradan $n=13$ . Yoxlama: $\dfrac{13\times 10}{2}=65$ .

Tənliyi quranda çoxları diaqonalların sayını 2-yə vurmağı unudur və nəticə səhv çıxır.

Digər səhv tapılan $n$ -i yoxlamamaqdır. Tənlikdən alınan ədəd natural olmalıdır, ona görə də onu düstura qoyub diaqonalların sayını yenidən hesabla.

Özünü yoxla

Çoxbucaqlının qabarıq olduğunu hansı əlamətə görə müəyyən edə bilərsən?

Qabarıq çoxbucaqlının bir təpəsindən $5$ diaqonal çıxır. Bu çoxbucaqlının bütün diaqonallarının sayını tap.

Qabarıq çoxbucaqlının $54$ diaqonalı var. Tərəflərinin sayını tap.

Bu mövzunu tapşırıqlarla yoxla

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Çoxbucaqlılar», səh. 118