Riyaziyyat, Dördbucaqlılar və çoxbucaqlılar

Çoxbucaqlının bucaqlarının cəmi: daxili və xarici bucaqlar

Çoxbucaqlının daxili və xarici bucaqlarının cəmini tapmağı, düzgün çoxbucaqlının bir bucağından onun tərəflərinin sayını hesablamağı öyrənəcəksən.

Oxu vaxtı: 3 dəq

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: mətbəx döşəməsi aralarında boşluq olmayan altıbucaqlı keramik plitələrlə örtülüb.

Hamamın və ya mətbəxin döşəməsinə bax. Plitələr çox vaxt kvadrat olur, bəzən də altıbucaqlı. Arı şanı da altıbucaqlı gözlərdən qurulur. Bəs niyə heç kim döşəməni düzgün beşbucaqlı plitələrlə boşluqsuz örtə bilmir?

Səbəb bucaqlardadır. Plitələrin bir nöqtədə görüşdüyü yerdə bucaqlar cəmi tam $360^\circ$ olmalıdır. Kvadratın bucağı $90^\circ$ -dir, ona görə dörd kvadrat bir nöqtənin ətrafına dəqiq sığır. Düzgün altıbucaqlının bucağı $120^\circ$ -dir, burada da üçü kifayət edir.

Düzgün beşbucaqlının bucağı isə $108^\circ$ -dir. Üçü yan-yana $324^\circ$ edir və arada boşluq qalır. Dördü $432^\circ$ edir, yəni plitələr üst-üstə minir. Bu ədədlərin hamısını bir qayda verir, indi ona baxacağıq.

Niyə lazımdır

Bu qaydanın əsas faydası belədir: düzgün çoxbucaqlının bir daxili və ya xarici bucağını biləndə onun tərəflərinin sayını tapa bilirsən. Ondan sonra diaqonalların sayı bir addımlıq işdir. Tərəfin uzunluğu da verilibsə, perimetri də hesablayırsan.

Cavabını yoxlamaq da asandır. Tərəflərin sayı mütləq tam ədəd olmalıdır və ən azı 3 olmalıdır. Hesablamanın sonunda $n$ kəsr çıxırsa, haradasa səhv etmisən və geri qayıtmalısan.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Tapşırıqlarda düzgün çoxbucaqlının daxili və xarici bucaqları arasındakı münasibət verilir, məsələn, daxili bucaq xaricidən bir neçə dəfə böyükdür. Bundan sonra tərəflərin sayı, diaqonalların sayı və ya perimetr tapılır. Bəzən bir təpədən çəkilmiş diaqonalların çoxbucaqlını neçə üçbucağa böldüyü barədə də sual olur.

Qayda

Qabarıq $n$ -bucaqlının bir təpəsindən $n-3$ diaqonal çəkilir və çoxbucaqlı $n-2$ üçbucağa bölünür. Hər üçbucağın bucaqları cəmi $180^\circ$ olduğundan daxili bucaqların cəmi $180^\circ\times(n-2)$ edir ( $n\ge 3$ ). Məsələn, beşbucaqlıda cəm $180^\circ\times 3=540^\circ$ -dir.
Hər təpədə daxili və xarici bucaqların cəmi $180^\circ$ -dir. Hər təpədən bir xarici bucaq götürsək, xarici bucaqların cəmi $180^\circ n-180^\circ(n-2)=360^\circ$ alınır. Bu ədəd tərəflərin sayından asılı deyil.
Düzgün $n$ -bucaqlıda bütün daxili bucaqlar bərabərdir, buna görə daxili bucaq $\dfrac{180^\circ(n-2)}{n}$ , xarici bucaq isə $\dfrac{360^\circ}{n}$ olur.

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}\alpha_{xar}=\frac{360^\circ}{n}\\[6pt]d=\frac{n(n-3)}{2}\end{gathered}

Düzgün altıbucaqlı: bir təpədəki xarici bucaq αxar.

$n$ düzgün çoxbucaqlının tərəflərinin sayı, $d$ isə diaqonalların sayıdır. Əvvəl $360^\circ$ -ni xarici bucağa bölməklə $n$ -i tapırsan, sonra $d$ -ni hesablayırsan.

Öyrənilməli düstur

k=n-2,\quad P=n\times a

Qabarıq altıbucaqlı: bir təpədən çıxan diaqonallar onu üçbucaqlara bölür, tərəfi a.

Qabarıq $n$ -bucaqlının bir təpəsindən çıxan diaqonallar onu $k=n-2$ üçbucağa bölür. Tərəflərin sayını tapandan sonra düzgün çoxbucaqlının perimetri $a$ tərəfinin $n$ dəfə təkrarlanmasıdır.

Tərəflərin sayını dəyiş, bucaqlara bax

Sürgünü çək və $n$ -i seç. Daxili bucaqların cəmi, düzgün çoxbucaqlının bir bucağı və diaqonalların sayı dərhal yenidən hesablanır.

Nümunələr

Qabarıq çoxbucaqlının daxili bucaqlarının cəmi

2160^\circ

-dir. Neçə tərəfi var?

Həllə bax

$180^\circ(n-2)=2160^\circ$ olduğundan $n-2=12$ , yəni $n=14$ .

Düzgün çoxbucaqlının daxili bucağı $156^\circ$ -dir. Tərəflərinin sayını tap.

Həllə bax

Xarici bucaq $180^\circ-156^\circ=24^\circ$ . Onda $n=\dfrac{360^\circ}{24^\circ}=15$ . Yoxlama: $\dfrac{180^\circ\times 13}{15}=156^\circ$ .

Düzgün çoxbucaqlının daxili bucağı xarici bucağından 5 dəfə böyükdür. Tərəflərinin sayı neçədir?

Həllə bax

Xarici bucağı $x$ götürək, daxili bucaq $5x$ olur. $x+5x=180^\circ$ , buradan $x=30^\circ$ . Tərəflərin sayı $n=\dfrac{360^\circ}{30^\circ}=12$ . Diaqonalların sayı da soruşulsa: $\dfrac{12\times 9}{2}=54$ .

Tipik səhv

Səkkizbucaqlının xarici bucaqlarının cəmi: $180^\circ\times(8-2)=1080^\circ$ .

Xarici bucaqların cəmi $360^\circ$ -dir. $1080^\circ$ isə daxili bucaqların cəmidir.

Çox vaxt xarici bucaqların cəmini daxili bucaqların cəmi ilə qarışdırırlar. Xarici bucaqların cəmi $360^\circ$ -dir və $n$ artanda dəyişmir. Daxili bucaqların cəmi isə $n$ -dən asılıdır.

Digər səhv $\dfrac{180^\circ(n-2)}{n}$ düsturunu istənilən qabarıq çoxbucaqlının bir bucağına tətbiq etməkdir. Bu düstur yalnız bütün bucaqları bərabər olan çoxbucaqlı, məsələn, düzgün çoxbucaqlı üçün doğrudur. Bucaqları müxtəlif olan çoxbucaqlıda bu düstur ayrıca bucağı vermir. Bucaqların cəmini isə yenə $180^\circ(n-2)$ düsturu verir.

Özünü yoxla

Qabarıq çoxbucaqlının bir təpəsindən bütün mümkün diaqonalları çəkəndə $6$ diaqonal alınır. Bu çoxbucaqlının daxili bucaqlarının cəmini tap.

Qabarıq yeddibucaqlının daxili bucaqları bir-birindən fərqlidir. Hər təpədən bir xarici bucaq götürsən, onların cəmi neçə dərəcə olar?

Düzgün çoxbucaqlının bir daxili bucağı $144^\circ$ , tərəfinin uzunluğu isə $3$ sm-dir. Perimetrini tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Qabarıq çoxbucaqlının daxili və xarici bucaqlarının cəmi», səh. 120