Riyaziyyat, Çevrə və dairə

Toxunanlar və kəsənlər arasındakı bucaqlar: qövsdən bucağa

Bucağın təpəsi harada olursa olsun (çevrənin daxilində, üstündə ya kənarında), onu qövslərdən tapmağı öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta masanın üstündə karandaşla çevrə çəkilmiş ağ kağız, yanında pərgar və xətkeş.

Velosipedin təkərini yandan çəkəndə yol təkərə tək bir nöqtədə toxunur. Həndəsədə belə düz xəttə toxunan deyirlər. Çevrəni iki nöqtədə kəsən xətt isə kəsəndir.

İndi kağızda pərgarla bir çevrə çək və çevrədən kənarda, elə həmin kağızın üstündə bir nöqtə qoy. Bu nöqtədən xətkeşlə çevrəyə ancaq toxunub keçən iki düz xətt çək: biri sağdan, biri soldan. Bunlar eyni nöqtədən çıxan iki toxunandır. Nöqtəni mərkəzdən uzaqlaşdırsan, bu iki xətt arasındakı bucaq kiçilir. Yaxınlaşdırsan, böyüyür.

Deməli, bucaq çevrənin nə qədərinin iki xətt arasında qaldığından asılıdır. Bu mövzu həmin əlaqəni dəqiq düstura çevirir: qövsləri bilirsənsə, bucağı da bilirsən.

Niyə lazımdır

Çevrə məsələlərinin çoxunda şəkil qarışıq görünür: bir neçə vətər, bir toxunan və hərflərlə dolu qövslər. Burada isə hamısını üç suala gətirmək olar: təpə harada yerləşir, hansı qövslər bucağın tərəfləri arasında qalır, onları toplamaq lazımdır, yoxsa çıxmaq?

Bu üç suala cavab verməyi öyrənəndən sonra test tapşırığı bir-iki sətirlik hesaba çevrilir. Qalan vaxtı daha uzun məsələlərə sərf edə bilərsən.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Tapşırıqlarda çevrəyə çəkilmiş iki kəsənin, kəsənlə toxunanın və ya iki toxunanın arasındakı bucaq tapılır. Qövslər çox vaxt nisbətlə verilir, məsələn, $3:4:5$ . Bəzən bucaqlar verilir, qövs soruşulur. Paralel vətər və ya toxunan şəklin içində gizlənə bilər, belə halda onların ayırdığı qövslərin bərabərliyindən istifadə olunur.

Qayda

Mərkəzi bucaq qövsə bərabərdir. Daxilə çəkilmiş bucaq söykəndiyi qövsün yarısına bərabərdir.
Toxunanla vətər arasındakı bucağın təpəsi toxunma nöqtəsindədir və o, söykəndiyi qövsün yarısına bərabərdir.
İki vətər və ya kəsən çevrənin daxilində kəsişirsə, bucaq onun və qarşılıqlı bucağın söykəndiyi iki qövsün cəminin yarısına bərabərdir: $\angle 1=\frac12(m^\circ+n^\circ)$ .
Təpə nöqtəsi çevrədən kənardadırsa (iki kəsən, kəsən və toxunan, iki toxunan), bucaq böyük qövslə kiçik qövsün fərqinin yarısına bərabərdir: $\angle K=\frac12(m^\circ-n^\circ)$ . İki toxunan halında böyük və kiçik qövslərin cəmi $360^\circ$ edir.
Paralel kəsənlər və ya vətərlər arasında qalan iki qövs bərabərdir.

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

\varphi=\frac{\alpha-\beta}{2}

Çevrədən kənardakı nöqtədən toxunan və kəsən: aralarındakı φ bucağı α və β qövslərinin fərqinin yarısıdır.

Çevrədən kənardakı nöqtədən çəkilmiş toxunan ilə kəsən arasındakı $\varphi$ bucağında $\alpha$ böyük, $\beta$ isə kiçik qövsün dərəcə ölçüsüdür. Burada bu qövslər $150^\circ$ və $90^\circ$ olduğundan fərqi yarıya bölürük.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}\varphi_{xar}=\frac{\alpha-\beta}{2}\\[6pt] \varphi_{daxil}=\frac{\alpha+\beta}{2}\end{gathered}

İki çevrə: solda çevrədən kənardakı nöqtədə iki kəsənin əmələ gətirdiyi φxar bucağı, sağda çevrə daxilində kəsişən vətərlərin φdaxil bucağı; α və β qövslərin dərəcə ölçüləridir.

$\alpha$ və $\beta$ bucağın tərəfləri arasında qalan qövslərin dərəcə ölçüləridir. Çevrə xaricindəki nöqtədə qövslərin fərqinin, kəsişən vətərlərdə isə cəminin yarısı götürülür.

Öyrənilməli düstur

\varphi=\tfrac12\,\overset{\frown}{AB}

Çevrəyə toxunan və AB vətəri: aralarındakı φ bucağı AB qövsünün yarısına bərabərdir.

$\varphi$ toxunanla vətər arasındakı bucaqdır, $\overset{\frown}{AB}$ isə onun tərəfləri arasında qalan qövsdür. Daxilə çəkilmiş bucaq da öz qövsünün yarısına bərabərdir, ona görə $\angle ABC$ tapılandan sonra $AC$ qövsü onun iki qatıdır.

Təpəyə bax, sonra hesabla

Hər sualda əvvəlcə təpənin harada olduğunu müəyyən et, sonra bucağı və ya qövsü dərəcə ilə yaz.

Nümunələr

AB

və

CD

vətərləri

M

nöqtəsində kəsişir,

AC

qövsü

70^\circ

BD

qövsü

50^\circ

təşkil edir.

\angle AMC

bucağını tap.

Həllə bax

Təpə çevrənin daxilindədir: $\angle AMC=\frac12(70^\circ+50^\circ)=60^\circ$ .

AB və CD vətərləri M-də kəsişir. AC qövsü 70°, BD qövsü 50°; daxildəki AMC bucağı (70° + 50°)/2 = 60°-dir.

$P$ nöqtəsindən çevrəyə iki kəsən çəkilib, bucağın tərəfləri arasında qalan qövslər $150^\circ$ və $40^\circ$ təşkil edir. $\angle P$ bucağını tap.

Həllə bax

Təpə çevrədən kənardadır: $\angle P=\frac12(150^\circ-40^\circ)=55^\circ$ .

Təpənin yerinə görə əməl seçimi
Təpə	Hesab
Daxildə (1-ci nümunə)	$\frac{70^\circ+50^\circ}{2}=60^\circ$
Kənarda (2-ci nümunə)	$\frac{150^\circ-40^\circ}{2}=55^\circ$

$P$ nöqtəsindən çəkilmiş iki toxunan arasındakı bucaq $40^\circ$ -dir. Qövsləri tap.

Həllə bax

Böyük qövs $x$ , kiçik qövs $y$ olsun. $x+y=360^\circ$ və $\frac12(x-y)=40^\circ$ , yəni $x-y=80^\circ$ . Buradan $x=220^\circ$ , $y=140^\circ$ . Yoxlama: $\frac12(220^\circ-140^\circ)=40^\circ$ .

A

B

C

nöqtələri çevrəni

AB:BC:CA=3:4:5

nisbətində üç qövsə bölür (

AB

qövsü

C

nöqtəsini içinə almır). Çevrəyə

A

və

B

nöqtələrində çəkilmiş toxunanlar

P

nöqtəsində kəsişir.

\angle P

bucağını tap.

Həllə bax

Çevrə $360^\circ$ -dir, nisbətdə isə cəmi $3+4+5=12$ hissə var. Bir hissə $360^\circ:12=30^\circ$ edir.
Kiçik $AB$ qövsü $3$ hissədir: $3\times30^\circ=90^\circ$ .
$C$ nöqtəsindən keçən böyük $AB$ qövsü isə $360^\circ-90^\circ=270^\circ$ -dir.
$P$ təpəsi çevrədən kənardadır. Ona görə də böyük qövsdən kiçiyini çıxıb fərqi yarıya bölürük: $\angle P=\frac12(270^\circ-90^\circ)=90^\circ$ .

$\angle P=90^\circ$

Tipik səhv

$\angle P=\frac12(150^\circ+40^\circ)=95^\circ$

$\angle P=\frac12(150^\circ-40^\circ)=55^\circ$

Şagirdlər çevrədən kənardakı bucağı da qövslərin cəminin yarısı kimi hesablayırlar. 2-ci nümunədə belə yazılış $95^\circ$ verir və bu, yanlışdır.

Cəmin yarısı yalnız bucağın təpəsi çevrənin daxilində olanda işləyir. Təpə kənardadırsa, böyük qövsdən kiçik qövsü çıx və fərqi yarıya böl.

Özünü yoxla

Toxunanla vətər arasındakı bucaq $38^\circ$ -dir. Bu bucağın söykəndiyi qövsün dərəcə ölçüsünü tap.

İki vətər çevrənin daxilində kəsişərək $83^\circ$ -lik bucaq əmələ gətirir. Bu bucağın və qarşılıqlı bucağın söykəndiyi iki qövsdən biri $104^\circ$ -dir. Digər qövsün dərəcə ölçüsünü tap.

Çevrədən kənardakı $K$ nöqtəsindən toxunan və kəsən çəkilib. Bucağın tərəfləri arasında qalan böyük qövs $176^\circ$ , kiçik qövs $64^\circ$ -dir. $\angle K$ bucağını tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarında özünü sına

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Çevrəyə çəkilmiş toxunanlar və kəsənlər arasındakı bucaqlar», səh. 42
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 2-ci hissə, 7.3 «Vətərlər, kəsən və toxunanlar arasındakı bucaqlar», səh. 33