Riyaziyyat, Çevrə və dairə

Dairə sektoru və seqmenti: pizza dilimindən sahə düsturuna

Radius və bucaqla dairə sektorunun, kiçik və böyük seqmentin sahəsini, qövsün uzunluğunu tapmağı öyrənəcəksən.

Oxumaq 3 dəqiqə çəkir

Dəyirmi pizzanı mərkəzdən keçən kəsiklərlə 8 bərabər dilimə bölürsən. Hər dilim iki düz kənarı və bir əyri kənarı olan bir fiqurdur. Riyaziyyatda bu fiqurun adı sektordur, bucağı da $360^\circ:8=45^\circ$ -dir. Deməli, hər dilim pizzanın düz səkkizdə biridir.

İndi başqa cür kəs: bıçağı mərkəzdən uzaqdan, bir düz xətlə keçir və kənardan bir parça ayır. Bu parçanın bir kənarı düz, biri əyridir. Bu da seqmentdir. Seqmentin sahəsini tapmaq üçün sektorla üçbucağın sahələrindən istifadə edirsən: sektordan üçbucağı çıxırsan və ya ona əlavə edirsən. Hansını etmək lazım olduğunu aşağıda görəcəksən.

Niyə lazımdır

Sektor və seqment ayrıca bir mövzu kimi qalmır. Dairəyə çəkilmiş kvadrat, iki dairənin kəsişməsi, "kölgələnmiş hissənin sahəsini tap" tipli şəkillər demək olar həmişə bu hissələrə bölünür. Fiquru sektorlara, üçbucaqlara və seqmentlərə ayırmağı bacaran mürəkkəb şəkli bir neçə sadə hesabla həll edir.

Həyatda da eyni hesab lazım olur: dairəvi bağçanın bir hissəsinə nə qədər çəmən səpmək lazımdır, yelçəkənin qanadının süpürdüyü sahə nə qədərdir. Hamısı bir sualdır: dairənin neçədə biri?

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Bu mövzuda radius və mərkəzi bucaq vasitəsilə sektorun sahəsini, vətərin ayırdığı seqmentlərin sahələrini hesablamaq tələb oluna bilər. Bəzən sahə verilir, radiusu və ya bucağı tapmalı olursan. Qövsün uzunluğu ilə sektorun sahəsi arasındakı əlaqədən istifadə etmək, bir neçə hissədən ibarət sahəni toplamaq və ya sahələrin fərqini hesablamaq da lazım gəlir. Əsas addım verilən hissənin sərhədlərini düzgün müəyyənləşdirməkdir.

Qayda

Sektor iki radiusla bir qövs arasında qalan dairə hissəsidir. Radiusu $r$ , bucağı $m^\circ$ olan sektor üçün $S_{\text{sektor}}=\frac{m}{360}\pi r^2$ . Burada $m$ bucağın dərəcə ilə ədədi qiymətidir. Sektor bütün dairənin $\frac{m}{360}$ hissəsini tutur.
Qövsün uzunluğu $l=\frac{m}{360}\times2\pi r$ düsturu ilə hesablanır. Eyni sektora aid qövs və sahə üçün $\frac{l}{2\pi r}=\frac{S_{\text{sektor}}}{\pi r^2}$ bərabərliyi doğrudur. Uzunluq və sahənin ölçü vahidlərini qarışdırma.
Seqment vətərlə onun ayırdığı qövslərdən biri arasında yerləşir. Bir vətər dairədə iki seqment yaradır. Vətər diametrdirsə, hər seqment yarımdairədir və sahəsi $\frac{\pi r^2}{2}$ olur.
Kiçik seqment üçün qövsün ölçüsü $180^\circ$ -dən azdır: $S_{\text{seqment}}=S_{\text{sektor}}-S_{\triangle AOB}$ . Burada $O$ mərkəz, $A$ və $B$ vətərin uclarıdır. Radiusların yaratdığı üçbucağı sektordan çıxarırsan.
Böyük seqment üçün qövsün ölçüsü $180^\circ$ -dən çoxdur: $S_{\text{seqment}}=S_{\text{sektor}}+S_{\triangle AOB}$ . Bu dəfə düsturdakı sektor böyük qövsə uyğundur. Üçbucaq həmin sektorun xaricində, böyük seqmentin daxilində qalır.

Sürgüləri tərpət, sahələrə bax

Radiusu və mərkəzi bucağı dəyiş: sektorun sahəsi, qövsün uzunluğu və seqmentin sahəsi dərhal yenidən hesablanır.

Nümunələr

Radiusu

10

sm, bucağı

72^\circ

olan sektorun sahəsini tap. Bucağın tam bucağa nisbəti

\frac{72}{360}=\frac15

olduğundan

S=\frac15\times\pi\times10^2=20\pi

sm². Deməli, bu sektor dairənin beşdə birini tutur.

Mərkəzi $O$ , radiusu $8$ sm olan dairədə $\angle AOB=90^\circ$ -dir. $AB$ vətərinə uyğun kiçik seqmentin sahəsini tap. Sektorun sahəsi $\frac{90}{360}\times\pi\times8^2=16\pi$ sm²-dir. $AOB$ düzbucaqlı üçbucağının katetləri radiuslardır, ona görə sahəsi $\frac12\times8\times8=32$ sm²-dir. Axtarılan sahə $(16\pi-32)$ sm² alınır.

Radiusu $4$ sm olan dairədə seqmentin qövsü $270^\circ$ -dir. Onun sahəsini tap. Böyük sektorun sahəsi $\frac{270}{360}\times\pi\times4^2=12\pi$ sm²-dir. Qalan bucaq $90^\circ$ olduğundan radiuslarla vətərin yaratdığı üçbucağın sahəsi $\frac12\times4\times4=8$ sm² olur. Böyük seqmentin sahəsi $(12\pi+8)$ sm²-dir.

Radiusu

6

sm olan sektorun sahəsi

6\pi

sm²-dir. Sektorun bucağını və qövsünün uzunluğunu tap.

Həllə bax

Bütün dairənin sahəsi $\pi\times6^2=36\pi$ sm²-dir.
Sektor dairənin $\frac{6\pi}{36\pi}=\frac16$ hissəsini tutur, deməli, $\frac{m}{360}=\frac16$ .
Buradan $m=60$ , yəni bucaq $60^\circ$ -dir.
Qövs də çevrənin altıda biridir: $l=\frac16\times2\pi\times6=2\pi$ sm.

Bucaq $60^\circ$ , qövsün uzunluğu $2\pi$ sm.

Tipik səhv

Radius $6$ sm, seqmentin qövsü $240^\circ$ : $S=\frac{240}{360}\times\pi\times6^2-\frac12\times6^2\times\sin120^\circ=24\pi-9\sqrt3$ sm².

Qövs $240^\circ$ -dir, yəni $180^\circ$ -dən çoxdur, seqment böyükdür: $S=24\pi+9\sqrt3$ sm². Burada sektor $240^\circ$ -lik böyük qövsə uyğundur, $120^\circ$ isə yalnız üçbucağın bucağıdır.

Seqmentin sahəsini həmişə çıxma ilə hesablamaq səhvdir. Əvvəl seçilən qövsün dərəcə ölçüsünü yoxla: kiçik qövs üçün üçbucağı çıx, böyük qövs üçün əlavə et.

Sektorun düsturunda isə məhz həmin qövsə uyğun bucağı işlət: burada $240^\circ$ , $120^\circ$ yox.

Özünü yoxla

Radiusu $9$ sm olan sektorun qövsünün uzunluğu $6\pi$ sm-dir. Sektorun sahəsini tap.

Kiçik qövsə uyğun sektorun sahəsi $20$ sm², həmin qövsün uclarını mərkəzlə birləşdirən radiusların yaratdığı üçbucağın sahəsi $12$ sm²-dir. Bu qövsə uyğun kiçik seqmentin sahəsini tap.

Radiusu $6$ sm olan dairədə seqmentin qövsü $300^\circ$ -dir. Seqmentin sahəsini tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Dairə sektoru və seqmentin sahəsi», səh. 90
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 7.3 «Dairə seqmenti və onun sahəsi», səh. 64
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 2-ci hissə, 7.4 «Qövsün uzunluğu. Sektorun sahəsi», səh. 38