Riyaziyyat, Çevrə və dairə

Çevrə və dairə: qövs, vətər, toxunan və kəsən

Qövsün uzunluğunu, sektorun sahəsini, vətəri, toxunanı və kəsəni hesablamağı, çevrədəki bucaqları tapmağı öyrənəcəksən.

Oxumaq 4 dəqiqə çəkir

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta masanın üstündə dəyirmi pizza.

Pizzanı səkkiz bərabər dilimə bölürsən. Hər dilimin iti ucu mərkəzdədir və o ucdakı bucaq $360^\circ:8=45^\circ$ olur. Dilimin qırağındakı qabıq isə bütöv çevrənin səkkizdə biridir.

Yəni dilim əslində sektordur, qabıq isə qövsdür. Pizzanın radiusunu bilsən, bir dilimin qabığının uzunluğunu da, dilimin sahəsini də kağız-qələmlə tapa bilərsən. Xətkeşlə ölçmək lazım deyil.

Çevrədə bundan da maraqlı şeylər var: vətərlər, toxunanlar, kəsənlər. Görünüşləri qarışıq olsa da, hamısı bir neçə sadə qaydaya tabedir.

Niyə lazımdır

Çevrə gündəlik həyatda hər yerdədir. Saatın dəqiqə əqrəbinin ucu bir saatda bütöv çevrə cızır, iyirmi dəqiqədə isə onun üçdə birini. Təkər yerdə sürüşmədən diyirlənəndə bir tam dövrdə öz çevrəsinin uzunluğu qədər yol gedir. Bunları hesablamaq üçün qövs və çevrə düsturları kifayətdir.

İmtahanda çevrə tapşırığı çox vaxt bir neçə addımdan ibarət zəncir olur: bir qayda bucağı verir, digəri uzunluğu. Hansı qaydanın harada işə düşdüyünü tez görsən, həm vaxt qazanırsan, həm də səhv etmək ehtimalın azalır.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda toxunanın və kəsənin uzunluğunu hesablayır, vətərlərlə radius arasında əlaqə qurur, həndəsi bərabərlikləri isbat edirsən. İki toxunanın yaratdığı bərabər parçaları və tənböləni tanımaq, diametr vasitəsilə düz bucaq almaq, oxşarlıqdan və Pifaqor teoremindən istifadə etmək lazım gəlir. Bəzi tapşırıqlarda nöqtələrin eyni düz xəttə aidliyini və ya xətlərin perpendikulyarlığını əsaslandırırsan.

Qayda

Çevrə mərkəzdən eyni $r$ məsafəsindəki nöqtələrdən ibarətdir; dairə onun daxilini də əhatə edir. Vətər çevrədəki iki nöqtəni birləşdirir. Mərkəzdən keçən vətər diametrdir: $d=2r$ . Çevrənin uzunluğu $L=2\pi r$ , dairənin sahəsi $S=\pi r^2$ olur.
Mərkəzi bucaq üçün təpə mərkəzdədir; onun ölçüsü uyğun qövsün dərəcə ölçüsüdür. Tam çevrə $360^\circ$ , yarımçevrə $180^\circ$ təşkil edir. Kiçik qövs $\alpha$ olarsa, böyük qövs $360^\circ-\alpha$ olar.
Qövsün uzunluğu $l=\frac{\alpha}{360^\circ}\times2\pi r$ , həmin qövsə uyğun sektorun sahəsi $S_{\text{sektor}}=\frac{\alpha}{360^\circ}\times\pi r^2$ düsturu ilə hesablanır.
Daxilə çəkilmiş bucağın təpəsi çevrədədir; ölçüsü təpəni saxlamayan, tərəflər arasındakı qövsün yarısıdır. Eyni qövsə söykənən belə bucaqlar bərabərdir; diametrə söykənən bucaq $90^\circ$ olur.
Vətər üçün mərkəzdən endirilən perpendikulyar onu yarılayır. Uzunluq $a$ , mərkəzdən məsafə $h$ olduqda $(a/2)^2+h^2=r^2$ . Eyni çevrədə bərabər vətərlərin mərkəzdən məsafələri və uyğun kiçik qövsləri bərabərdir; bu hökmlərin tərsi də doğrudur.
Toxunan çevrə ilə bir, kəsən isə iki ortaq nöqtəyə malikdir. Toxunma radiusu toxunanla $90^\circ$ yaradır. Xarici $P$ nöqtəsindən $A,B$ nöqtələrinə çəkilən toxunan parçalar üçün $PA=PB$ ; $PO$ həm $\angle APB$ -ni, həm də kiçik $\angle AOB$ -ni yarılayır və $AB$ -nin orta perpendikulyarıdır.
Toxunanla vətər arasındakı bucaq uyğun qövsün yarısıdır. Daxildə kəsişən vətərlərdə bucaq onun və qarşılıqlı bucağın ayırdığı qövslərin cəminin yarısıdır. Xaricdə iki kəsən, toxunanla kəsən və ya iki toxunan arasındakı bucaq uyğun böyük və kiçik qövs ölçüləri fərqinin yarısıdır.
Parçaların hasili: daxildə $E$ -də kəsişən $AB,CD$ vətərləri üçün $EA\times EB=EC\times ED$ . Xaricdəki $P$ -dən kəsənlərdə nöqtələrin sırası $P,A,B$ və $P,C,D$ olarsa, $PA\times PB=PC\times PD$ . $PT$ toxunan olduqda $PT^2=PA\times PB$ .

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

\frac{l^2}{4}+d^2=R^2

$l$ vətərin uzunluğu, $d$ mərkəzdən vətərə məsafə, $R$ radiusdur; mərkəzdən endirilən perpendikulyarın vətəri yarıya ayırması bu Pifaqor əlaqəsini verir. Əlaqəni hər vətərə tətbiq et və onların perpendikulyarlığından istifadə edərək mərkəzdən vətərlərə məsafələrin kvadratları cəmini kəsişmə nöqtəsinə məsafənin kvadratı ilə əlaqələndir.

Öyrənilməli düstur

t^2=a\times b

$t$ xarici nöqtədən toxunma nöqtəsinədək məsafə, $a$ kəsənin xarici hissəsi, $b$ isə həmin xarici nöqtədən uzaq kəsişməyədək məsafədir. Toxunana perpendikulyar vətərin diametr olduğunu müəyyən et, qövslərin nisbətindən bucaqları tap və $t$ ilə $b$ -ni radiusla ifadə edərək düstura yaz.

Öyrənilməli düstur

l=\frac{\alpha}{360}\times 2\pi r

$r$ radiusu, $\alpha$ uyğun mərkəzi bucağın dərəcə ilə qiymətini, $l$ qövsün uzunluğunu göstərir. Vətərlə radiusların bərabərliyindən alınan üçbucağın növünü müəyyən et və onun mərkəzdəki bucağını düsturda işlət.

Öyrənilməli düstur

a=|d-R|,\qquad b=d+R

$d$ nöqtənin mərkəzdən məsafəsi, $R$ radius, $a$ çevrəyə ən yaxın, $b$ isə ən uzaq məsafədir. Verilmiş $a$ üçün $|d-R|=a$ tənliyinin bütün qeyri-mənfi həllərini tap və hər birini $b$ düsturunda işlət.

Öyrənilməli qayda

Xarici nöqtədən çəkilən iki toxunan parçasının uzunluqları eynidir və hər toxunma radiusu öz toxunanına perpendikulyardır. Bu xassələrlə mərkəzi xarici nöqtəyə birləşdirən xəttin toxunma vətərinə perpendikulyarlığını əsaslandır, sonra alınan düzbucaqlı üçbucaqların oxşarlığını və Pifaqor teoremini tətbiq et.

Öyrənilməli qayda

İki toxunanın ortaq xarici nöqtəsindən mərkəzə yönələn şüa onların arasındakı bucağı yarıya bölür; toxunma radiusları uyğun toxunanlara perpendikulyardır. Bu simmetriyadan toxunma vətərinin orta perpendikulyarını müəyyən et və yaranan düzbucaqlı üçbucaqlarda $30^\circ$ qarşısındakı katetin hipotenuzun yarısı olmasını tətbiq et.

Öyrənilməli qayda

Xarici nöqtədən mərkəzə yönələn şüa həmin nöqtədə kəsişən toxunanların arasındakı bucağı yarıya bölür, toxunma radiusu isə toxunana perpendikulyardır. Diametrin uclarındakı toxunanların paralelliyini əsaslandır və üçüncü toxunanla əmələ gələn birtərəfli daxili bucaqların yarılarını üçbucağın bucaqları ilə əlaqələndir.

Öyrənilməli qayda

Çevrənin diametrin uclarından fərqli nöqtəsini bu uclarla birləşdirən iki vətər düz bucaq yaradır. Hər çevrədə bu xassəni tətbiq et, sonra mərkəzlərin diametrləri yarıya böldüyünü nəzərə alaraq üçbucağın iki tərəfinin ortalarını birləşdirən parçanın üçüncü tərəfin yarısı olduğunu işlət.

Öyrənilməli qayda

Toxunma nöqtəsini çevrənin mərkəzi ilə birləşdirən radius toxunanla düz bucaq əmələ gətirir. Alınan düzbucaqlı üçbucaqda verilmiş iti bucaqdan mərkəzə məsafəni hesabla, sonra uzaq kəsişmə nöqtəsinə çatmaq üçün radiusu əlavə et.

Radiusu və bucağı dəyiş

Radiusu və mərkəzi bucağı sürüşdür, çevrənin, qövsün və sektorun ölçüləri dərhal yenidən hesablanacaq.

Nümunələr

Radius

8

sm, qövs

135^\circ

-dir. Uzunluğu tap:

l=\frac{135}{360}\times16\pi=6\pi

sm.

Radius $10$ sm, vətərin mərkəzdən məsafəsi $6$ sm-dir. Vətəri tap: yarısı $\sqrt{10^2-6^2}=8$ sm, bütövü $16$ sm-dir.

Xarici nöqtədən kəsənin xarici hissəsi $4$ sm, daxili hissəsi $5$ sm-dir. Toxunanı tap: bütöv kəsən $4+5=9$ sm; $t^2=4\times9=36$ , deməli, $t=6$ sm.

Xarici

P

nöqtəsindən çəkilən iki kəsən çevrədən

110^\circ

və

30^\circ

-lik qövslər ayırır.

P

təpəli bucağı tap.

Həllə bax

Təpə çevrədən kənardadır, deməli, böyük və kiçik qövslərin fərqi götürülür.
$\angle P=\frac{110^\circ-30^\circ}{2}=\frac{80^\circ}{2}=40^\circ$ .
Müqayisə üçün: təpə çevrənin daxilində olsaydı və vətərlər eyni ölçülü qövslər ayırsaydı, qövslər toplanardı: $\frac{110^\circ+30^\circ}{2}=70^\circ$ .

$40^\circ$

Tipik səhv

Kəsənin xarici hissəsi $2$ , daxili hissəsi $6$ -dır: $PT^2=2\times6=12$ .

Bütöv kəsən $2+6=8$ -dir: $PT^2=2\times8=16$ , deməli, $PT=4$ .

Kəsən düsturunda xarici hissəni yalnız daxili hissəyə vurma: ikinci vuruq $P$ -dən uzaq kəsişmə nöqtəsinə qədər olan bütöv parçadır.

Bucaqda da belə bir tələ var: bucağı hesablamazdan əvvəl təpənin yerini müəyyənləşdir, çünki daxildə qövslər toplanır, xaricdə isə fərq götürülür. İsbatda şəkildən təxmin etmə, hər bərabərliyin səbəbini göstər.

Özünü yoxla

Daxilə çəkilmiş bucağın söykəndiyi, təpəsini saxlamayan qövs $146^\circ$ -dir. Bucağın ölçüsünü tap.

Radiusu $13$ sm olan çevrədə vətərin uzunluğu $24$ sm-dir. Mərkəzdən bu vətərə qədər məsafəni tap.

Eyni xarici nöqtədən çevrəyə çəkilən toxunan parçası $12$ sm, kəsənin xarici hissəsi $8$ sm-dir. Kəsənin çevrənin daxilində qalan hissəsini tap.

Bu mövzunun sınağını yaz

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahını oxu.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Mərkəzi bucaq. Çevrə qövsü», səh. 28
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Qövsün uzunluğu», səh. 30
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Vətərin xassələri», səh. 31
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Çevrə daxilinə çəkilmiş bucaq», səh. 36
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Çevrəyə toxunan», səh. 39
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Çevrəyə çəkilmiş toxunanlar və kəsənlər arasındakı bucaqlar», səh. 42
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Çevrədə vətər və kəsənlərin parçalarının mütənasibliyi», səh. 46
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 1-ci hissə, 2.5 «Çevrədə metrik münasibətlər», səh. 57
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 2-ci hissə, 7.1 «Çevrə», səh. 25
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 2-ci hissə, 7.2 «Mərkəzi bucaq. Daxilə çəkilmiş bucaq», səh. 29
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 2-ci hissə, 7.3 «Vətərlər, kəsən və toxunanlar arasındakı bucaqlar», səh. 33
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 2-ci hissə, 7.4 «Qövsün uzunluğu. Sektorun sahəsi», səh. 38