Riyaziyyat, Çevrə və dairə

Çevrənin və qövsün uzunluğu: radiusdan qövsə qədər

Radiusdan və ya diametrdən çevrənin uzunluğunu, mərkəzi bucaqdan isə qövsün uzunluğunu tapmağı öyrənəcəksən.

Oxu vaxtı: 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: parkda yolun üstündə dayanmış velosiped, ön təkəri yaxından görünür.

Velosipedin təkəri sürüşmədən diyirlənəndə bir tam dövrdə velosiped təkərin çevrəsinin uzunluğu qədər irəli gedir. Təkərin ölçüsünü bilsən, bir neçə dövrdə nə qədər yol getdiyini kağız üzərində hesablaya bilərsən.

İndi divar saatına bax. Dəqiqə əqrəbi on beş dəqiqədə $90^\circ$ dönür və ucu çevrənin düz dörddə birini cızır. Əqrəb uzun olsa, bucaq eyni qalır, amma ucun getdiyi yol uzanır.

Hər iki halda sual eynidir: bütöv çevrə nə qədərdir, onun bir parçası nə qədərdir? Cavab iki qısa düsturdadır.

Niyə lazımdır

Əyri xətti xətkeşlə ölçmək çətindir, amma radiusu ölçmək asandır. Təkərin, borunun, dairəvi masanın kənarının uzunluğunu radiusdan hesablayırsan. Qövs düsturu da eyni fikrin davamıdır: bucaq tam dövrün hansı payıdırsa, qövs də çevrənin o payıdır.

İmtahanda bu düsturlar başqa həndəsə məsələsinin içində də çıxa bilər, məsələn daxilə çəkilmiş bucaqla birlikdə. Orada əvvəl düzgün bucağı tapmaq, sonra uzunluğu hesablamaq lazım gəlir.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Qövsə aid sualda verilən bucaqdan istifadə edib qövsün dərəcə ölçüsünü müəyyənləşdirmək lazım gələ bilər. Əvvəl səndən dərəcə ölçüsünün, yoxsa uzunluğun istəndiyini ayırd et. Bu mövzunun uzunluq hesablamalarında radius, diametr və mərkəzi bucaq əsas verilənlərdir. Çevrənin bütöv uzunluğunu və ya seçilmiş qövsün uzunluğunu hesablamaq üçün həmin verilənlər arasında əlaqə qurursan.

Qayda

Diametr radiusun iki mislidir: $d=2r$ . Burada $r$ radiusu, $d$ diametri göstərir. Düstura qiymət yazmazdan əvvəl verilən parçanın hansına uyğun olduğunu dəqiqləşdir.
Çevrənin uzunluğu üçün $C=\pi d=2\pi r$ . Bütün çevrələrdə $\frac{C}{d}=\pi$ olur. Təqribi hesablamada $\pi\approx3{,}14$ götürə bilərsən; şərtdə başqa qiymət göstərilibsə, onu işlət. Dəqiq cavabı $\pi$ ilə saxlamaq mümkündür.
Qövs çevrənin bir hissəsidir. Mərkəzi bucağın təpəsi çevrənin mərkəzində yerləşir. Bu bucağın seçilmiş qövsə uyğun dərəcə qiymətini $m$ ilə işarə etsək, $\frac{l}{C}=\frac{m}{360}$ və $l=\frac{m}{360}\times2\pi r$ alınar. Burada $l$ həmin qövsün uzunluğudur.
Daxilə çəkilmiş bucağın təpəsi çevrə üzərindədir, tərəfləri isə vətərlər boyunca yönəlir. Bu bucaq $\alpha$ olarsa, onun söykəndiyi, təpəsini saxlamayan qövsün dərəcə ölçüsü $2\alpha$ olar.
Düz mütənasiblik eyni çevrədə qövsün uzunluğu ilə onun dərəcə ölçüsü arasında var. Məsələn, bu ölçü ikiqat artarsa, uzunluq da ikiqat artar. Müxtəlif radiuslu çevrələrdə isə təkcə bucaqları müqayisə etmək kifayət deyil.
Yarımçevrə üçün $m=180$ , buna görə $l=\frac{C}{2}$ ; çevrənin dörddə birində isə $m=90$ və $l=\frac{C}{4}$ . Nəticəni radiusla eyni uzunluq vahidində yaz: məsələn, radius santimetrlədirsə, qövs də santimetrlə alınır.

Radiusu və bucağı dəyiş

Radiusu və mərkəzi bucağı sürüşdür, diametrin, çevrənin və qövsün uzunluğunun necə dəyişdiyinə bax.

Nümunələr

Diametri

14

sm verilmiş çevrənin uzunluğunu tap. Diametrdən birbaşa istifadə edirik:

C=\pi\times14=14\pi

sm.

\pi\approx3{,}14

götürdükdə

C\approx43{,}96

sm alınır. Burada diametri yenidən ikiyə vurmaq lazım deyil.

Çevrənin radiusu $8$ sm-dir. Mərkəzi bucağı $135^\circ$ olan qövsün uzunluğunu tap. Bütöv çevrə $C=16\pi$ sm, axtarılan hissənin payı isə $\frac{135}{360}=\frac38$ olur. Deməli, $l=\frac38\times16\pi=6\pi$ sm.

Çevrənin uzunluğu $54$ sm-dir. Bu çevrədə uzunluğu $9$ sm olan qövsə uyğun mərkəzi bucağı tap. Qövs bütöv çevrənin $\frac{9}{54}=\frac16$ hissəsini tutur. Buna görə mərkəzi bucaq da tam bucağın altıda biridir: $m=360\times\frac16=60$ . Axtarılan bucaq $60^\circ$ -dir.

Radiusu

9

sm olan çevrəyə daxilə çəkilmiş bucaq

40^\circ

-dir. Bu bucağın söykəndiyi qövsün uzunluğunu tap.

Həllə bax

Daxilə çəkilmiş bucaq qövsün dərəcə ölçüsünün yarısıdır, ona görə qövs $m=2\times40=80$ dərəcədir.
Bütöv çevrə: $C=2\pi\times9=18\pi$ sm.
Qövsün payı: $\frac{80}{360}=\frac29$ .
Qövsün uzunluğu: $l=\frac29\times18\pi=4\pi$ sm.

$l=4\pi$ sm, $\pi\approx3{,}14$ götürsək, təqribən $12{,}56$ sm.

Tipik səhv

Radiusu $6$ sm olan çevrəyə daxilə çəkilmiş bucaq $30^\circ$ -dir, onda qövs: $l=\frac{30}{360}\times12\pi=\pi$ sm.

Qövsün dərəcə ölçüsü $2\times30=60$ olur, ona görə $l=\frac{60}{360}\times12\pi=2\pi$ sm.

Qövs düsturuna verilən istənilən bucağı yazma: istifadə etdiyin bucaq məhz seçilmiş qövsə uyğun mərkəzi bucaq olmalıdır, daxilə çəkilmiş bucaq isə qövsün dərəcə ölçüsünün yarısıdır.

Qövsün dərəcə ölçüsünü onun uzunluğu ilə də qarışdırma: $90^\circ$ bucaq ölçüsüdür, santimetr deyil, eyni dərəcə ölçülü qövslərin uzunluğu isə radiusdan asılıdır.

Özünü yoxla

Çevrənin uzunluğu $18\pi$ sm-dir. Radiusunu tap.

Diametri $24$ sm olan çevrədə $75^\circ$ mərkəzi bucağa uyğun qövsün uzunluğunu tap.

Radiusu $12$ sm olan çevrədə daxilə çəkilmiş bucağın söykəndiyi qövsün uzunluğu $8\pi$ sm-dir. Bu bucağı tap.

Bu mövzudan daha çox tapşırıq

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Qövsün uzunluğu», səh. 30
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 2-ci hissə, 7.4 «Qövsün uzunluğu. Sektorun sahəsi», səh. 38
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 2-ci hissə, 8.3 «Çevrənin uzunluğu. Dairənin sahəsi», səh. 86