Riyaziyyat, Çevrə və dairə

Toxunanlar və kəsənlərin xassələri: düz bucaq və hasillər

Toxunanla radiusun düz bucağını, toxunan parçaların bərabərliyini və toxunan, kəsən, vətər hasillərini tanıyıb məsələdə məchul parçanı tapa biləcəksən.

Oxu vaxtı: 4 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: alçaq təpədən sakit dənizə və açıq səmanın altındakı üfüq xəttinə baxış.

Dəniz kənarında dayanıb üfüqə bax. Gözündən üfüqə gedən baxış xətti Yer səthinə yalnız bir nöqtədə, elə üfüqün özündə toxunur. Yəni bu xətt Yer kürəsinə çəkilmiş toxunandır, sən isə çevrədən kənardakı nöqtəsən.

İndi gözündən Yerin mərkəzinə doğru düz xətt çəkdiyini təsəvvür et. Bu xətt Yeri iki nöqtədə kəsir: ayağının altında və planetin o biri üzündə. Bu, kəsəndir: xarici hissəsi gözünün hündürlüyü $h$ , bütöv uzunluğu isə $h+2R$ olur. Bu mövzunun bir qaydası deyir ki, $d^2=h\times(h+2R)$ .

Gözün sudan 5 m hündürdədirsə, Yerin radiusunu təxminən 6400 km götür: $d^2\approx0,005\times12800=64$ , yəni üfüq təxminən 8 km uzaqdadır (atmosferin işığı bir az əyməsini nəzərə almasaq). Bir çevrə, bir toxunan və bir kəsən bu hesabı bir sətrə endirir.

Niyə lazımdır

Şəkildə toxunan görəndə əlində dərhal üç alət olur: toxunma nöqtəsində düz bucaq, eyni nöqtədən çəkilmiş bərabər toxunan parçalar və hasil bərabərliyi. Hansını seçəcəyini bilsən, uzun hesablamanın yerinə bir-iki sətir yazırsan.

Bu qaydalar sonrakı mövzularda da qarşına çıxır: çevrəyə xaricdən çəkilmiş çoxbucaqlılarda, oxşar üçbucaqlarda və Pifaqor teoremi ilə bağlı məsələlərdə. İmtahanda isə əsas iş qaydaları bir-birindən ayırmaqdır: harada vətər parçaları, harada kəsənin bütöv uzunluğu vurulur.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Tapşırıqlarda çevrəyə toxunan və kəsən çəkilir, verilmiş uzunluqlardan çevrənin radiusu, vətərin uzunluğu və ya kiçik qövsün uzunluğu tapılır. Bəzən üçbucağın tərəfləri çevrəyə toxunur, bir bucaq verilir, qövsün dərəcə ölçüsü soruşulur. Həllin açarı adətən toxunanın radiusa perpendikulyar olması, toxunan parçaların bərabərliyi və toxunanla kəsən parçalar arasındakı hasil bərabərliyidir.

Qayda

Toxunan çevrənin toxunma nöqtəsinə çəkilmiş radiusa perpendikulyardır. Tərsinə, çevrənin nöqtəsindən keçib həmin nöqtəyə çəkilmiş radiusa perpendikulyar olan düz xətt toxunandır. Odur ki $OA\perp PA$ olduqda $\triangle OAP$ düzbucaqlıdır və $PO^2=PA^2+OA^2$ .
Bir $P$ nöqtəsindən çəkilmiş iki toxunanın toxunma nöqtələrinə qədər parçaları bərabərdir: $PA=PB$ . Mərkəz $\angle APB$ bucağının tənböləni üzərindədir. $OAPB$ dördbucaqlısında $A$ və $B$ təpələrindəki bucaqlar düzdür, ona görə $\angle AOB+\angle APB=180^\circ$ .
Toxunan $PT$ və kəsən $PB$ ( $A$ kəsənin çevrə ilə birinci kəsişmə nöqtəsidir) üçün $PT^2=PA\times PB$ . Burada $PA$ kəsənin xarici hissəsi, $PB$ isə kəsən parçanın bütövlükdə uzunluğudur.
Eyni nöqtədən çəkilmiş iki kəsən üçün hər kəsənin xarici hissəsinin bütün kəsən parçaya hasili eynidir: $PA\times PB=PC\times PD$ .
Çevrənin iki vətəri $M$ nöqtəsində kəsişirsə, $AM\times MB=CM\times MD$ .

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

MT^2=MA\times MB

Çevrə xaricindəki M nöqtəsindən çəkilmiş MT toxunanı və A, B nöqtələrində çevrəni kəsən MB kəsəni.

2 tapşırıqda işlənib

$M$ çevrədən xaricdəki nöqtə, $MT$ toxunan parça, $MA$ kəsənin xarici hissəsi, $MB$ isə bütöv kəsən parçadır. Tapşırıqda bu münasibətdən kəsənin uzunluğu tapılır, radius isə sonra Pifaqor teoremi ilə hesablanır.

$M$ çevrədən kənar nöqtədir, $MT$ toxunan, $MB$ kəsən, $MA$ isə kəsənin xarici hissəsidir. Bu tapşırıqda $PA^2=PB\times PC$ yazılır, sonra qövsün uzunluğu tapılır.

Öyrənilməli düstur

\frac{MT}{MB}=\frac{MA}{MT}=\frac{AT}{BT},\quad MT^2=MA\times MB

$M$ çevrədən kənar nöqtə, $MT$ toxunan, $A$ və $B$ ( $A$ yaxın nöqtə) isə kəsənin çevrə ilə kəsişmə nöqtələridir. $MTA$ və $MBT$ üçbucaqları oxşardır; tərəflərin nisbətindən məchul parçanı tapırsan.

Öyrənilməli qayda

Çevrəyə A nöqtəsindən çəkilmiş iki toxunan: OK ⊥ AB və OC ⊥ AC.

Toxunan ilə toxunma nöqtəsinə çəkilən radius həmişə düz bucaq əmələ gətirir: $OK\perp AB$ , $OC\perp AC$ . Sonra mərkəzi bucaq tapılır, qövsün dərəcə ölçüsü isə ona bərabərdir.

Qaydanı seç, parçanı tap

Hər sualda əvvəl hansı qaydanın işə düşdüyünü düşün, sonra cavabı yaz.

Nümunələr

P

nöqtəsindən

O

mərkəzli çevrəyə

PA

toxunanı çəkilib,

PA=12

sm, çevrənin radiusu 5 sm-dir.

PO

məsafəsini tap.

Həllə bax

$OA\perp PA$ olduğundan $PO^2=12^2+5^2=144+25=169$ , deməli, $PO=13$ sm.

O mərkəzli çevrədə OA = 5 sm radiusu PA = 12 sm toxunanına perpendikulyardır. OAP düzbucaqlı üçbucağında PO = 13 sm.

$P$ nöqtəsindən çevrəyə $PT=10$ sm uzunluqlu toxunan və çevrəni $A$ və $B$ nöqtələrində kəsən çəkilib ( $A$ nöqtəsi $P$ ilə $B$ arasındadır), $PA=4$ sm. $AB$ vətərini tap.

Həllə bax

$PT^2=PA\times PB$ olduğundan $100=4\times PB$ və $PB=25$ sm. Onda $AB=PB-PA=25-4=21$ sm.

Kəsənin xarici hissəsi və bütöv uzunluğu
Parça	Mənası	Uzunluq
$PA$	Xarici hissə	$4$ sm
$AB$	Vətər	$21$ sm
$PB$	Bütün kəsən	$25$ sm

$P$ nöqtəsindən çəkilmiş $PA$ və $PB$ toxunanları $50^\circ$ bucaq əmələ gətirir. Kiçik $AB$ qövsünün dərəcə ölçüsünü tap.

Həllə bax

$\angle AOB=180^\circ-50^\circ=130^\circ$ . Mərkəzi bucağın dərəcə ölçüsü onun söykəndiyi qövsün dərəcə ölçüsünə bərabər olduğundan qövsün dərəcə ölçüsü $130^\circ$ təşkil edir. Yoxlama: $\triangle OAP$ üçbucağında $\angle APO=25^\circ$ , $\angle AOP=65^\circ$ , cəmi $90^\circ$ edir və $2\times65^\circ=130^\circ$ .

Tipik səhv

$PT^2=PA\times AB$ , yəni $10^2=4\times21$

$PT^2=PA\times PB$ , yəni $10^2=4\times(4+21)=4\times25=100$

Şagirdlər toxunanın kvadratını xarici hissə ilə çevrənin daxilindəki vətərin hasilinə bərabər yazırlar. 2-ci nümunədə bu, $10^2=4\times21$ verərdi, halbuki $100\ne84$ .

Düzgün yol: ikinci vuruğa kəsənin bütün uzunluğunu, yəni xarici hissə ilə vətərin cəmini ( $4+21=25$ ) götür və $PT^2=PA\times PB$ yaz.

Özünü yoxla

$P$ nöqtəsindən çevrəyə $PA$ və $PB$ toxunanları çəkilib; $A$ və $B$ toxunma nöqtələridir. $PAB$ üçbucağının perimetri $26$ sm, $AB=10$ sm-dir. $PA$ uzunluğunu tap.

$P$ nöqtəsindən çevrəyə $PT$ toxunanı və çevrəni əvvəl $A$ , sonra $B$ nöqtəsində kəsən çəkilib. $PA=5$ sm, $AB=11$ sm olduqda hansı bərabərliyi yazmalısan?

Çevrənin $AB$ və $CD$ vətərləri daxildəki $M$ nöqtəsində kəsişir. $AM=3$ sm, $MB=8$ sm və $CM=4$ sm-dir. Bütöv $CD$ vətərinin uzunluğunu tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Çevrəyə toxunan», səh. 39
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Çevrədə vətər və kəsənlərin parçalarının mütənasibliyi», səh. 46