Riyaziyyat, Çevrə və dairə

Daxilə çəkilmiş bucaq: niyə qövsün yarısıdır

Daxilə çəkilmiş bucağı qövsdən, mərkəzi bucaqdan və ya qövslərin nisbətindən tapmağı öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: emalatxana masasında dəyirmi taxta lövhə, küncü lövhənin kənarına toxunan ağ vərəq və yanında karandaş.

Əlində dəyirmi taxta lövhə var və onun mərkəzini tapmaq lazımdır. Xətkeşlə gözəyarı ölçmək çətindir. Amma adi vərəqin küncü kifayətdir.

Vərəqin düzbucaqlı küncünü elə qoy ki, künc düz lövhənin kənarındakı çevrənin üstündə olsun, vərəqin hər iki kənarı isə lövhənin üstündən keçib çevrəni bir də kəssin. Bu iki kəsişmə nöqtəsini birləşdirən xətt həmişə diametrdir. Vərəqi başqa yerə qoyub birincidən fərqli ikinci diametri də çək: iki diametrin kəsişdiyi nöqtə mərkəzdir.

Bu hiylə təsadüf deyil. Onun arxasında bir qayda dayanır: daxilə çəkilmiş bucaq həmişə öz qövsünün yarısı qədərdir, yəni tərəfləri arasında qalan qövs neçə dərəcədirsə, bucaq onun yarısıdır. Bu qaydanı bilsən, çevrəli şəkillərdə bucaqlar tapmacadan adi hesaba çevrilir.

Niyə lazımdır

Çevrəli məsələlərdə bucaqlar çox vaxt birbaşa verilmir, onları qövslərdən və başqa bucaqlardan çıxarmaq lazım gəlir. Daxilə çəkilmiş bucaq bu zəncirin əsas halqasıdır: bir bucaqdan qövsə, qövsdən başqa bucağa keçirsən.

İmtahanda bu qayda tez-tez üçbucağın bucaqlarının cəmi, bərabəryanlı üçbucaq və xarici bucaqla birlikdə işlənir. Ona görə qaydanı avtomatik tanımaq sənə həm vaxt, həm də səhvsiz cavab qazandırır.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Şəkildə daxilə çəkilmiş bucaq, mərkəzi bucaq, diametr və ya çevrə daxilinə çəkilmiş üçbucaq verilir, istənilən bucaq tapılır. Qövslər çox vaxt nisbətlə verilir, məsələn, $2:3:7$ , və üçbucağın bucaqları soruşulur. Vətərlərin kəsişdiyi şəkillərdə eyni qövsə söykənən bucaqlar və üçbucağın xarici bucağı birlikdə işlədilir.

Qayda

Təpəsi çevrə üzərində olan və tərəfləri çevrəni kəsən bucağa daxilə çəkilmiş bucaq deyilir. O, tərəfləri arasında qalan və təpəni daxil etməyən qövsə söykənir.
Daxilə çəkilmiş bucaq söykəndiyi qövsün yarısına bərabərdir: $\angle ABC=\frac12\times m^\circ$ , burada $m^\circ$ həmin qövsün dərəcə ölçüsüdür. Eyni qövsə söykənən mərkəzi bucaq (təpəsi çevrənin mərkəzində olan bucaq) qövsün özünə bərabərdir, yəni daxilə çəkilmiş bucaqdan iki dəfə böyükdür.
Eyni qövsə söykənən daxilə çəkilmiş bucaqlar bərabərdir.
Diametrə söykənən daxilə çəkilmiş bucaq düzdür: $90^\circ$ .
Qövs $180^\circ$ -dən böyükdürsə, ona söykənən daxilə çəkilmiş bucaq $90^\circ$ -dən böyük, yəni geniş bucaq olur.
Bütün çevrə $360^\circ$ olduğundan qövslərin cəmi $360^\circ$ edir.

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

\angle BAC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BC}

Çevrəyə daxilə çəkilmiş BAC bucağı və onun söykəndiyi BC qövsü.

$\overset{\frown}{BC}$ bucağın söykəndiyi qövsdür. Daxilə çəkilmiş bucaq bu qövsün yarısına bərabərdir, ona görə eyni qövsə söykənən bütün daxilə çəkilmiş bucaqlar bir-birinə bərabərdir.

Öyrənilməli düstur

\angle BAC=\frac{1}{2}\,\overset{\frown}{BC}

Daxilə çəkilmiş bucaq söykəndiyi qövsün yarısına bərabərdir; buradan eyni qövsə söykənən bucaqlar bərabərdir, diametrə söykənən bucaq isə $90^\circ$ -dir. Tapşırıqda əvvəlcə düz bucaqdan istifadə olunur, sonra eyni qövsə söykənən bucaqlar müqayisə edilir.

Öyrənilməli düstur

\angle ACB=\frac12\,\angle AOB

Çevrədə eyni AB qövsünə söykənən daxilə çəkilmiş ACB bucağı və mərkəzi AOB bucağı.

Eyni qövsə söykənən daxilə çəkilmiş bucaq mərkəzi bucağın yarısına bərabərdir. Sonra radiusların bərabərliyindən bərabəryanlı üçbucağın oturacaq bucağını tap.

Öyrənilməli düstur

\varphi=\frac{\beta}{2},\quad \beta_1+\beta_2+\beta_3=360^\circ

Çevrəyə daxilə çəkilmiş φ bucağı və onun söykəndiyi β qövsü.

$\varphi$ daxilə çəkilmiş bucaq, $\beta$ isə onun söykəndiyi qövsün dərəcə ölçüsüdür. Nisbətdən qövslər tapılır, ən böyük bucaq ən böyük qövsə söykənir.

Öyrənilməli düstur

\varphi=\frac{\alpha}{2}

Çevrəyə daxilə çəkilmiş φ bucağı və onun söykəndiyi α qövsü.

$\varphi$ daxilə çəkilmiş bucaq, $\alpha$ isə eyni qövsün dərəcə ölçüsüdür. Burada $115^\circ$ bucağa uyğun qövsü tap, tamamlayıcı qövs mərkəzi bucağı verir.

Öyrənilməli düstur

\angle ABD=\angle ACD=\frac{1}{2}\smile AD

Çevrədə eyni AD qövsünə söykənən daxilə çəkilmiş ABD və ACD bucaqları.

Eyni qövsə söykənən daxilə çəkilmiş bucaqlar bərabərdir və hər biri qövsün dərəcə ölçüsünün yarısına bərabərdir. Sonra üçbucağın xarici bucağı ona qonşu olmayan iki daxili bucağın cəminə bərabər götürülür.

Özün hesabla

Hər sualda bucağı dərəcə ilə tap və yalnız ədədi yaz.

Nümunələr

O

mərkəzli çevrədə

\angle ACB=38^\circ

\angle OAB

bucağını tap.

Həllə bax

$\angle AOB=2\times38^\circ=76^\circ$ . $OA=OB$ (radiuslar) olduğundan $\triangle AOB$ bərabəryanlıdır: $\angle OAB=(180^\circ-76^\circ):2=52^\circ$ . Yoxlama: $52^\circ+52^\circ+76^\circ=180^\circ$ .

Eyni AB qövsünə söykənən ACB daxilə çəkilmiş bucağı 38°, AOB mərkəzi bucağı 76°-dir.

$A$ , $B$ , $C$ nöqtələri çevrəni $5:6:7$ nisbətində qövslərə bölür. $\triangle ABC$ üçbucağının bucaqlarını tap.

Həllə bax

Bir hissə $360^\circ:18=20^\circ$ , qövslər $100^\circ$ , $120^\circ$ , $140^\circ$ . Hər bucaq qarşısındakı qövsün yarısıdır: $50^\circ$ , $60^\circ$ , $70^\circ$ . Cəmi $50^\circ+60^\circ+70^\circ=180^\circ$ .

$AB$ diametrdir, $C$ nöqtəsi çevrə üzərindədir, $\angle ABC=28^\circ$ . $\angle BAC$ bucağını tap.

Həllə bax

$\angle ACB=90^\circ$ olduğundan $\angle BAC=90^\circ-28^\circ=62^\circ$ .

A

B

C

D

nöqtələri çevrə üzərində bu ardıcıllıqla yerləşir.

AC

və

BD

vətərləri

P

nöqtəsində kəsişir.

\angle CBD=40^\circ

\angle BCA=35^\circ

\angle APB

bucağını tap.

Həllə bax

$\angle CAD$ və $\angle CBD$ eyni $CD$ qövsünə söykənir, deməli $\angle CAD=40^\circ$ .
$\angle BDA$ və $\angle BCA$ eyni $AB$ qövsünə söykənir, deməli $\angle BDA=35^\circ$ .
$\angle APB$ bucağı $\triangle APD$ üçbucağının xarici bucağıdır, ona görə ona qonşu olmayan iki daxili bucağın cəminə bərabərdir: $\angle APB=40^\circ+35^\circ=75^\circ$ .
Yoxlama: $\angle APD=180^\circ-40^\circ-35^\circ=105^\circ$ , $\angle APB=180^\circ-105^\circ=75^\circ$ .

$\angle APB=75^\circ$

Tipik səhv

Qövs $100^\circ$ -dir, deməli onun qarşısındakı daxilə çəkilmiş bucaq da $100^\circ$ -dir.

Qövs $100^\circ$ -dir, ona söykənən daxilə çəkilmiş bucaq $\frac12\times100^\circ=50^\circ$ , mərkəzi bucaq isə $100^\circ$ -dir.

Şagirdlər daxilə çəkilmiş bucağı qövsün özünə bərabər götürürlər, amma qövsə bərabər olan mərkəzi bucaqdır; daxilə çəkilmiş bucaq qövsün yarısıdır. 2-ci nümunədə də $100^\circ$ -lik qövsün qarşısındakı bucaq $100^\circ$ yox, $50^\circ$ -dir.

Hər dəfə bucağın təpəsinə baxıb soruş: təpə çevrə üzərindədirsə, qövsü ikiyə böl, təpə mərkəzdədirsə, qövslə eyni götür.

Özünü yoxla

$\angle ABC$ və $\angle ADC$ eyni qövsə söykənən daxilə çəkilmiş bucaqlardır. $\angle ABC=46^\circ$ olarsa, $\angle ADC$ bucağını tap.

Eyni qövsə söykənən mərkəzi bucaq daxilə çəkilmiş bucaqdan $58^\circ$ böyükdür. Daxilə çəkilmiş bucağı tap.

$A$ , $B$ , $C$ çevrə üzərində müxtəlif nöqtələrdir. Ucları $A$ və $C$ olan, $B$ nöqtəsini daxil edən qövs $232^\circ$ -dir. $\angle ABC$ bucağını tap.

Bu mövzu üzrə sınaq

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Çevrə daxilinə çəkilmiş bucaq», səh. 36
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 2-ci hissə, 7.2 «Mərkəzi bucaq. Daxilə çəkilmiş bucaq», səh. 29