Riyaziyyat, Ədədi ardıcıllıqlar. Silsilələr

Sonsuz azalan həndəsi silsilənin cəmi: sonsuz toplamanın sonlu cavabı

Vuruğun şərtini yoxlayıb sonsuz azalan həndəsi silsilənin bütün hədlərinin cəmini bir düsturla tapmağı öyrənəcəksən.

Oxuma vaxtı: 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta masanın üstündə getdikcə kiçilən parçalara bölünmüş şokolad.

Bir şokolad götür. Yarısını ye. Sonra qalan hissənin yarısını ye. Sonra yenə qalanın yarısını. Bunu fikrən istədiyin qədər davam etdir: nə qədər çox addım atsan da, bir şokoladdan artıq yeyə bilməyəcəksən.

Yediyin parçalar $\dfrac12$ , $\dfrac14$ , $\dfrac18$ , … şəklindədir. Toplananların sayı sonsuzdur, amma cəm $1$ -i keçmir və addım-addım $1$ -ə yaxınlaşır. Sonsuz sayda ədəd toplanır, cavab isə adi bir ədəd çıxır.

Bu, sonsuz azalan həndəsi silsilədir. Burada belə cəmi bir kəsrlə tapmağı öyrənəcəksən. Bonus olaraq $0{,}(7)$ kimi dövri kəsrin niyə adi kəsrə bərabər olduğunu da görəcəksən.

Niyə lazımdır

Düstur sonsuz prosesi bir sətrə sığışdırır. Hər addımda eyni dəfə kiçilən nə varsa, onun hamısı birlikdə nə qədər edir: bunu hədləri bir-bir toplamadan tapırsan. Bir dəfə yaxşı başa düşsən, dövri kəsrlər də sirr olmaqdan çıxır.

İmtahanda bu mövzu qısa tapşırıqdır və işin çoxu vuruğu düzgün tapmaqdır. $q$ düz çıxsa, cavab iki sətirdə hazırdır. İşarəni ya da şərti unutsan, bütün həll boşa gedir.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda sonsuz azalan həndəsi silsilənin cəmini hesablamaq və ya cəm verildikdə birinci həddi, vuruğu, ikinci həddi tapmaq tələb olunur. Dövri onluq kəsrin adi kəsrə çevrilməsi də bu düsturla həll edilir. Bəzən silsilənin bütün hədlərinin cəmi kimi sözlə verilən məsələ qarşına çıxır, belə halda əvvəlcə vuruğun şərti ödədiyini yoxlamaq lazımdır. Cavabın kəsr çıxması normaldır, çünki cəm çox vaxt tam ədəd olmur.

Qayda

Həndəsi silsilənin vuruğu $q$ üçün $|q|<1$ olduqda, silsilə sonsuz azalan adlanır. Başqa sözlə, $-1<q<1$ və $q\neq 0$ olmalıdır. Belə silsilənin hədləri sıfra yaxınlaşır.
Belə silsilənin bütün hədlərinin cəmi: $S=\dfrac{b_1}{1-q}$ .
Düstur ilk $n$ həddin cəm düsturundan alınır: $|q|<1$ olduqda $q^n$ sıfra yaxınlaşır və $S_n=\dfrac{b_1(1-q^n)}{1-q}$ ifadəsi $\dfrac{b_1}{1-q}$ ədədinə yaxınlaşır.
$q$ mənfi də ola bilər: $-1<q<0$ olduqda hədlərin işarələri növbələşir, amma cəm yenə eyni düsturla tapılır. Məsələn, $b_1=1$ , $q=-\dfrac12$ olduqda $S=\dfrac{1}{1{,}5}=\dfrac23$ .

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}S=\frac{b_1}{1-q},\ |q|<1\\[6pt] b_2=b_1q\end{gathered}

$b_1$ birinci hədd, $q$ məxrəcdir, $S$ isə bütün hədlərin cəmidir. Əvvəlcə $q$ -nu cəm düsturundan tap, sonra onu $b_1$ -ə vur.

Cəm necə yaxınlaşır?

Birinci həddi ( $b_1$ ) və vuruğu ( $q$ ) dəyiş. İlk $5$ və ilk $20$ həddin cəminin bütün hədlərin cəminə necə yaxınlaşdığına bax. $q$ mənfi olanda da yoxla.

Nümunələr

6;\,-3;\,1{,}5;\,\dots

sonsuz azalan həndəsi silsilənin cəmini tap.

Həllə bax

$q=\dfrac{-3}{6}=-\dfrac12$ , $|q|<1$ olduğundan $S=\dfrac{6}{1-\left(-\frac12\right)}=\dfrac{6}{1{,}5}=4$ .

Sonsuz azalan həndəsi silsilədə $b_1=15$ , cəm $S=20$ olarsa, $b_2$ -ni tap.

Həllə bax

$20=\dfrac{15}{1-q}$ olduğundan $1-q=\dfrac34$ və $q=\dfrac14$ . Onda $b_2=15\times\dfrac14=3{,}75$ . Yoxlama: $q=\dfrac14$ üçün $|q|<1$ və $\dfrac{15}{1-\frac14}=\dfrac{15}{0{,}75}=20$ .

$0{,}(7)$ dövri onluq kəsrini adi kəsrə çevir.

Həllə bax

$0{,}7+0{,}07+0{,}007+\dots$ cəmində $b_1=0{,}7$ , $q=0{,}1$ olur. $S=\dfrac{0{,}7}{1-0{,}1}=\dfrac{0{,}7}{0{,}9}=\dfrac79$ . Yoxlama: $7:9=0{,}777\dots$ olur.

Tipik səhv

$3;\,6;\,12;\,\dots$ üçün $q=2$ , deməli $S=\dfrac{3}{1-2}=-3$ .

$q=2$ , amma $|q|=2>1$ : hədlər böyüyür, düstur tətbiq olunmur və cəm sonlu ədəd olmur.

Şagirdlər düsturu vuruğun şərtini yoxlamadan tətbiq edirlər. Müsbət hədləri toplayıb mənfi cavab almaq da nəyinsə səhv getdiyini göstərir.

Şərti $q<1$ kimi oxumaq da səhvdir: $q=-3$ üçün $q<1$ doğrudur, amma $|q|=3>1$ olduğundan düstur yaramır. Düzgün yoxlama $|q|<1$ şərtidir: əvvəlcə vuruğu tap, mütləq qiymətini $1$ ilə müqayisə et, bundan sonra düsturdan istifadə et.

Özünü yoxla

Vuruğun hansı qiymətində həndəsi silsilə sonsuz azalan olur?

Birinci həddi $b_1=10$ , vuruğu $q=-\dfrac14$ olan sonsuz azalan həndəsi silsilənin bütün hədlərinin cəmini tap.

Sonsuz azalan həndəsi silsilədə $b_1=14$ və bütün hədlərin cəmi $S=35$ olarsa, vuruğu tap.

Bu mövzunu sınaqda yoxla

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahını oxu.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Sonsuz azalan həndəsi silsilənin cəmi», səh. 214