Riyaziyyat, Ədədi ardıcıllıqlar. Silsilələr

Silsilələrdə n-ci hədd və cəm düsturları: hesabla və yoxla

Ədədi və həndəsi silsilənin istənilən həddini və ilk hədlərin cəmini düsturla tapmağı öyrənəcəksən.

Oxumaq 3 dəqiqə çəkir

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta masanın üstündə bir neçə dəfə qatlanmış ağ vərəq və yanında açıq boş vərəq.

Divar təqviminə bax. Eyni həftə gününə düşən tarixlər həmişə 7-7 artır. Ayın birinci cüməsi 3-ü olsa, sonrakı cümələr 10-u, 17-si, 24-ü olur. Ay 31 gündürsə, beşinci cümə neçəsinə düşür? 3-ə 7-ni dörd dəfə əlavə et: 31. Beş dəfə yox, dörd dəfə, çünki birinci cümə artıq yerindədir.

İndi bir vərəq götür və ortadan qatla: 2 qat olur. Yenə qatla: 4 qat, sonra 8 qat. Burada hər addımda toplamırsan, ikiyə vurursan.

Birinci nümunə ədədi silsilədir, ikincisi həndəsi silsilə. Bu mövzu hər ikisinin istənilən həddini və ilk hədlərin cəmini bir sətirdə tapmağı göstərir, hədləri bir-bir yazmadan.

Niyə lazımdır

Hədləri bir-bir yazmaq beşinci hədd üçün işləyir, qırxıncı hədd üçün isə həm uzun çəkir, həm də harada isə səhv salmaq asandır. Düstur səni birbaşa cavaba aparır. Pul yığımı, sıralardakı yerlər kimi məsələlərdə əvvəlcə silsiləni görürsən, sonra düsturu tətbiq edirsən.

İmtahanda vaxt az olur, ona görə düsturu yaddan yox, mənasından bilmək faydalıdır: hər addımda nə edilir və neçə addım var. Bunu bilən adam düsturu unutsa da onu yenidən qura bilər.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda iki hədd verilib silsilənin fərqini və ya vuruğunu tapmaq, sonra uzaq bir həddi hesablamaq tələb olunur. Ədədi silsilədə ilk bir neçə həddin cəmi, həndəsi silsilədə isə ilk dörd-beş həddin cəmi soruşulur. Bəzən cəmi verib hədlərin sayını tapmaq lazım gəlir. Məsələlərin bir hissəsi gündəlik hadisə (pul yığımı, sıralardakı yerlər) şəklində verilir, onların hədləri düzülüş qaydasına görə silsilə əmələ gətirir.

Qayda

Ədədi silsilədə hər addımda silsilə fərqi əlavə olunur, həndəsi silsilədə isə hər addımda vuruğa vurulur. Birinci hədd ilə $n$ -ci hədd arasında $n-1$ addım var, düsturlardakı $n-1$ buradan gəlir.

Ədədi silsilə ( $d$ silsilə fərqidir): $a_n=a_1+(n-1)d$ .
İlk $n$ həddin cəmi: $S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\times n}{2}$ və ya $S_n=\dfrac{(2a_1+(n-1)d)\times n}{2}$ .
İki hədd verilibsə: $d=\dfrac{a_m-a_k}{m-k}$ .
Həndəsi silsilə ( $q$ vuruqdur): $b_n=b_1\times q^{\,n-1}$ .
İlk $n$ həddin cəmi ( $q\neq 1$ ): $S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}=\dfrac{b_1(1-q^n)}{1-q}$ .

Tapşırıqlarda istifadə olunan düsturlar

Öyrənilməli düstur

S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\times n

$a_1$ silsilənin birinci həddi, $d$ fərqi, $n$ həddlərin sayıdır. Burada $a_1=120$ , $d=80$ və $S_n=4800$ qoyulub $n$ üçün kvadrat tənlik həll edilir.

Öyrənilməli düstur

a_n=a_m+(n-m)d,\quad d=\frac{a_n-a_m}{n-m}

$a_n$ və $a_m$ silsilənin iki həddi, $d$ silsilə fərqidir. Burada $n=28$ və $m=13$ götürülür; hədlər azaldığı üçün $d$ mənfi alınır.

Öyrənilməli düstur

a_n=a_k+(n-k)d,\qquad d=\frac{a_n-a_k}{n-k}

$d$ silsilənin fərqidir. İki həddi verilmiş silsilədə əvvəlcə $d$ -ni tap, sonra axtarılan həddə ən yaxın məlum həddə fərqi lazım sayda əlavə et.

Öyrənilməli düstur

S_n=\frac{b_1\,(q^n-1)}{q-1}\quad(q\ne 1)

$b_1$ birinci hədd, $q$ vuruq, $n$ isə toplanan hədlərin sayıdır. Burada $q=\frac{b_3}{b_2}$ və $b_1=\frac{b_2}{q}$ tapılır, sonra $n=4$ üçün cəm hesablanır.

Özün hesabla

Hər sualda əvvəlcə neçə addım olduğunu düşün, sonra düsturu yaz.

Nümunələr

Ədədi silsilədə

a_3=11

və

a_8=31

olarsa, ilk on həddin cəmini tap.

Həllə bax

$d=\dfrac{31-11}{8-3}=4$ , $a_1=11-2\times4=3$ , $a_{10}=3+9\times4=39$ . Onda $S_{10}=\dfrac{(3+39)\times10}{2}=210$ . Yoxlama: $a_8=3+7\times4=31$ .

Həndəsi silsilədə $b_1=2$ , $q=3$ olarsa, $b_5$ və $S_5$ -i tap.

Həllə bax

$b_5=2\times3^4=162$ . Cəm: $S_5=\dfrac{2(3^5-1)}{3-1}=243-1=242$ . Yoxlama: $2+6+18+54+162=242$ .

Birinci həddən beşinciyə dörd addım
Hədd	Vurma sayı	Qiymət
$b_1$	$0$	$2$
$b_2$	$1$	$6$
$b_3$	$2$	$18$
$b_4$	$3$	$54$
$b_5$	$4$	$162$

$3;\,5;\,7;\,\dots$ silsiləsinin ilk neçə həddinin cəmi $120$ -dir?

Həllə bax

$a_1=3$ , $d=2$ , buna görə $\dfrac{(6+2(n-1))\times n}{2}=120$ , yəni $n^2+2n-120=0$ . Kökləri $10$ və $-12$ -dir. Hədlərin sayı natural ədəd olduğundan mənfi kök uyğun deyil və $n=10$ . Yoxlama: $3+5+\dots+21=\dfrac{(3+21)\times10}{2}=120$ .

Tipik səhv

$b_1=2$ , $q=3$ olduqda $b_5=2\times3^5=486$

$b_n=b_1\times q^{\,n-1}$ , deməli $b_5=2\times3^4=162$

Şagirdlər üstü $n$ götürür, amma birinci hədd vuruğa vurulmur (üst $0$ ), ikinci hədd üçün üst $1$ olur. Ədədi silsilədə də eyni qayda keçərlidir: $a_1=3$ , $d=4$ olduqda $a_{10}=3+9\times4=39$ , $3+10\times4=43$ isə yanlışdır, çünki fərq $n$ dəfə yox, $n-1$ dəfə əlavə olunur.

Düsturu yazandan sonra $n=1$ üçün yoxla: nəticə $b_1$ (və ya $a_1$ ) çıxmalıdır.

Özünü yoxla

Həndəsi silsilədə $b_1=5$ , $q=2$ . $b_4$ -ü tap.

Ədədi silsilədə $a_1=14$ , $d=-2$ . İlk $6$ həddin cəmini tap.

Həndəsi silsilədə $b_2=12$ , $b_3=36$ . İlk $4$ həddin cəmini tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını işlə

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Ədədi silsilənin n-ci həddinin düsturu», səh. 195
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Ədədi silsilənin ilk n həddinin cəmi düsturu», səh. 201
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Həndəsi silsilənin n-ci həddinin düsturu», səh. 207
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Həndəsi silsilənin ilk n həddinin cəmi düsturu», səh. 211