Riyaziyyat, Ədədi ardıcıllıqlar. Silsilələr

Ədədi və həndəsi silsilənin xassələri: ortadakı hədd nə deyir

Ardıcıl hədlərdən biri məchul olanda onu bircə bərabərliklə tapmağı və silsilənin növünə görə düzgün xassəni seçməyi öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta masanın üstündə bir neçə dəfə qatlanmış ağ vərəq, yanında qat izləri görünən açıq vərəq və karandaş.

Bir çox küçənin bir tərəfindəki evlər yalnız tək nömrələrlə nömrələnir: $3$ , $5$ , $7$ … Burada $5$ ədədi qonşu nömrələrin yarımcəminə bərabərdir: $\dfrac{3+7}{2}=5$ . Bu təsadüf deyil, çünki hər addımda eyni ədəd əlavə olunur.

İndi bir vərəqi ardıcıl üç dəfə yarıya qatla. Qatlamazdan əvvəl təbəqələrin sayı $1$ , birinci qatlamadan sonra $2$ , ikincidən sonra $4$ , üçüncüdən sonra isə $8$ olur. Burada orta qiymət işləmir: $\dfrac{2+8}{2}=5$ alınır, $4$ yox. Bunun əvəzinə başqa bir bərabərlik ödənir: $4^2=2\times8$ .

Deməli, ardıcıllığın necə qurulduğu ortadakı həddi necə tapacağını da müəyyən edir. Bu səhifə məhz bu fərq haqqındadır.

Niyə lazımdır

Bu xassələr sayəsində silsilənin bütün düsturunu yazmadan məchul həddi tapırsan. Üç ədəddən birinin yerində $x$ olsa belə, bircə tənlik kifayət edir. Nömrələrinin cəmi eyni olan hədləri isə heç birini ayrıca hesablamadan cütləşdirmək olar.

İmtahanda bu, vaxt deməkdir. $a_1$ ilə $d$ -ni və ya $b_1$ ilə $q$ -nü tapıb hər həddi açmaq uzun yoldur. Xassə ilə iki sətirdə həll edirsən. Qalan vaxtı yoxlamaya sərf et.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda ədədi və həndəsi silsilənin xassələrindən istifadə etməklə məchul həddi tapmaq tələb olunur. Üç ədədin ardıcıl hədd olması şərti ilə $x$ -in tapılması, nömrələrinin cəmi eyni olan hədlərin cəmi və ya hasili ilə bağlı hesablamalar, həmçinin ilk hədlərin cəminin bu xassə vasitəsilə tapılması tapşırıqları gəlir. Cavab seçimlərində tez-tez yanlış qayda tətbiq edildikdə alınan ədəd də olur, ona görə hansı silsilə verildiyini diqqətlə oxu.

Qayda

Ədədi silsilə: $a_{n+1}=a_n+d$ , burada $d$ silsilə fərqidir.
Birincidən (sonlu silsilədə sonuncudan da) başqa hər hədd qonşu hədlərin yarımcəminə bərabərdir: $a_n=\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ . Tərsi də doğrudur.
$m+k=n+p$ olarsa, $a_m+a_k=a_n+a_p$ . Yəni nömrələrin cəmi eyni olan hədlərin cəmləri bərabərdir.
Həndəsi silsilə: $b_1\neq 0$ , $b_{n+1}=b_n\times q$ , burada $q\neq 0$ silsilənin vuruğudur.
Birincidən (sonlu silsilədə sonuncudan da) başqa hər həddin kvadratı qonşu hədlərin hasilinə bərabərdir: $b_n^2=b_{n-1}\times b_{n+1}$ .
$n+m=k+l$ olarsa, $b_n\times b_m=b_k\times b_l$ . Yəni nömrələrin cəmi eyni olan hədlərin hasilləri bərabərdir.

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}

Ədədi silsilədə ortadakı hədd qonşu iki həddin yarımcəminə bərabərdir. Burada ortadakı hədd $|3-y|$ -dir; onu qonşuların yarımcəmi ilə bərabərləşdirib modullu tənliyi həll et.

Öyrənilməli düstur

b_n^2=b_{n-1}\times b_{n+1}

$b_{n-1}$ , $b_n$ və $b_{n+1}$ həndəsi silsilənin ardıcıl hədləridir: ortadakı həddin kvadratı iki qonşusunun hasilinə bərabərdir. Tapşırıqda bu bərabərlikdən $x$ üçün xətti tənlik alınır.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}a_m+a_n=a_k+a_l\ (m+n=k+l)\\[6pt] S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\times n\end{gathered}

Nömrələrinin cəmi eyni olan hədlərin cəmləri bərabərdir; $S_n$ ilk $n$ həddin cəmidir. Burada $3+8=1+10$ olduğundan $a_1+a_{10}=30$ və $S_{10}$ bu cəmin yarısının $10$ -a vurulması ilə tapılır.

Özün yoxla

Hər sualda əvvəlcə silsilənin növünə bax, sonra xassəni seç və cavabı yaz.

Nümunələr

x+1

2x+3

4x-1

ədədi silsilənin ardıcıl hədləridir.

x

-i tap.

Həllə bax

Ortadakı hədd qonşuların yarımcəmidir: $2x+3=\dfrac{(x+1)+(4x-1)}{2}$ , yəni $4x+6=5x$ və $x=6$ . Hədlər $7$ , $15$ , $23$ olur, fərq $8$ -dir.

$x$ , $x+12$ , $x+60$ ədədləri həndəsi silsilənin ardıcıl hədləridir. $x$ -i tap.

Həllə bax

$(x+12)^2=x(x+60)$ yazılır: $x^2+24x+144=x^2+60x$ , buradan $x=4$ . Hədlər $4$ , $16$ , $64$ olur, vuruq $4$ -dür. Yoxlama: $16^2=256=4\times64$ .

İki nümunədə ardıcıl hədlər
Silsilə	Hədlər	Keçid
Ədədi	$7;\,15;\,23$	$+8$
Həndəsi	$4;\,16;\,64$	$\times4$

Həndəsi silsilədə $b_2\times b_9=40$ olarsa, $b_4\times b_7$ hasilini tap.

Həllə bax

$2+9=4+7=11$ olduğundan $b_4\times b_7=b_2\times b_9=40$ .

Tipik səhv

$5$ , $x$ , $45$ həndəsi silsilənin ardıcıl hədləridir, onda $x=\dfrac{5+45}{2}=25$ .

Həndəsi silsilənin xassəsi ilə: $x^2=5\times45=225$ , buradan $x=15$ və ya $x=-15$ .

Şagirdlər həndəsi silsilə verilən məsələdə ədədi silsilənin qaydasını tətbiq edir, yəni ortadakı həddi yarımcəm kimi tapırlar. Halbuki iki cavabın ikisi də uyğundur: $5$ , $15$ , $45$ silsiləsində vuruq $3$ , $5$ , $-15$ , $45$ silsiləsində isə $-3$ -dür.

Əvvəlcə silsilənin növünü müəyyən et, sonra uyğun xassəni seç.

Özünü sına

$-7$ , $x$ , $11$ ədədi silsilənin ardıcıl hədləridir. $x$ -i tap.

$-3$ , $6$ , $x$ həndəsi silsilənin ardıcıl hədləridir. $x$ -i tap.

Ədədi silsilədə $a_3+a_6=22$ olarsa, ilk $8$ həddin cəmini, $S_8$ -i tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Ədədi silsilə», səh. 194
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Ədədi silsilənin xassələri», səh. 199
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Həndəsi silsilə», səh. 205
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Həndəsi silsilənin xassələri», səh. 210