Riyaziyyat, Ədədi ardıcıllıqlar. Silsilələr

Ədədi ardıcıllıqlar və silsilələr: hədd, fərq, vuruq və cəm

İstənilən həddi, silsilənin fərqini və ya vuruğunu, hədlərin cəmini və sadə limitləri düsturla tez tapmağı öyrənəcəksən.

Oxumaq 3 dəqiqə çəkir

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta masanın üstündə bir neçə dəfə qatlanmış kağız vərəqi, yanında açıq vərəqlər və keramik daxıl.

Hər həftə daxıla eyni məbləği atsan, yığdığın pul hər dəfə eyni qədər artır. Kağız vərəqini ortadan qatlasan, başqa şey baş verir: qatların sayı hər dəfə iki dəfə çoxalır. Əvvəl 2, sonra 4, 8, 16 qat olur. Yeddinci qatlamadan sonra artıq 128 qat alınır.

Birinci hal ədədi silsilədir: hər addımda eyni ədəd əlavə olunur. İkinci hal həndəsi silsilədir: hər addımda eyni ədədə vurulur. Bir də belə bir maraqlı şey var: $\frac12+\frac14+\frac18+\ldots$ cəmində toplananlar heç vaxt bitmir, amma cəm $1$ -i keçmir. Bunun səbəbini aşağıdakı qaydalar izah edir.

Niyə lazımdır

Otuzuncu həddi tapmaq üçün otuz ədəd yazmaq lazım deyil. Bir düstur onu birbaşa verir. Yüz həddin cəmi də bir sətirlik hesabla tapılır. Hər ay eyni məbləğ qədər artan xərc və ya hər gün eyni sayda artan məşq ədədi silsilə ilə, hər dəfə eyni ədədə vurulan kəmiyyət isə həndəsi silsilə ilə hesablanır.

İmtahanda bu mövzu vaxt qazandırır. Simmetrik hədlər qaydasını bilsən, tənliklər sistemi qurmadan cavaba bir-iki addımda çatırsan. Limit isə 11-ci sinifdə törəməyə keçmək üçün əsas olur.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda verilmiş düsturla müəyyən nömrəli həddi hesablayır, iki ardıcıllığın eyni nömrəli hədlərinin bərabərliyindən həmin nömrəni tapırsan. Ədədi silsilədə hədlərin cəmi və fərqi vasitəsilə naməlum həddi, silsilənin fərqini və başlanğıcdan götürülmüş hədlərin cəmini müəyyənləşdirirsən. Hər gün eyni miqdarda artım olan mətnli məsələlərdə də bu düsturlardan istifadə edirsən.

Qayda

Ardıcıllıq nömrələrə uyğun düzülmüş ədədlərdir: $a_1,a_2,\ldots$ . Burada $n$ həddin nömrəsi, $a_n$ onun qiymətidir; nömrələmə $1$ -dən başlayır. Ardıcıllıq ümumi düsturla və ya başlanğıc hədlər və sonrakıları hesablama qaydası ilə verilə bilər.
Ədədi silsilə üçün qonşu hədlər arasındakı fərq sabitdir: $d=a_{n+1}-a_n$ . Buna görə $a_n=a_1+(n-1)d$ və $a_m-a_k=(m-k)d$ . Müsbət fərq artmanı, mənfi fərq azalmanı, sıfır fərq isə sabitliyi göstərir.
Nömrələrinin cəmi eyni olan hədd cütlərinin cəmləri bərabərdir: $i+j=k+l$ olduqda $a_i+a_j=a_k+a_l$ . Xüsusən, $a_{k-r}+a_{k+r}=2a_k$ ; bütün indekslər natural olmalıdır.
Cəm üçün $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}2=\frac n2[2a_1+(n-1)d]$ . Hədlərin sayı təkdirsə, cəmi orta hədd vasitəsilə tapa bilərsən: $S_{2k-1}=(2k-1)a_k$ .
Həndəsi silsilə sıfırdan fərqli hədlərdən qurulur; hər sonrakı hədd əvvəlki hədlə sabit $q$ ədədinin hasilinə bərabərdir. Deməli, $q=\frac{b_{n+1}}{b_n}$ və $b_n=b_1q^{n-1}$ . Burada $b_k^2=b_{k-1}b_{k+1}$ , $k\ge2$ ; orta hədd mənfi də ola bilər.
Həndəsi silsilədə $q\ne1$ üçün $S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$ , $q=1$ üçün $S_n=nb_1$ . Sonsuz cəm isə yalnız $|q|<1$ olduqda $S=\frac{b_1}{1-q}$ düsturu ilə hesablanır.
Limit hədlərin istənilən dəqiqliklə yaxınlaşıb yaxınlığında qaldığı ədəddir. Məsələn, $a_n=4+\frac3n$ üçün $\lim_{n\to\infty}a_n=4$ . Sonlu limiti olan ardıcıllıq yığılandır. Monoton və məhdud ardıcıllığın sonlu limiti var; təkcə məhdudluq kifayət etmir.
Yığılan ardıcıllıqlarda cəmin, fərqin və hasilin limiti uyğun limitlərlə hesablanır; nisbət üçün məxrəcin limiti sıfır olmamalıdır. Rasional ifadədə surəti və məxrəci $n$ -in ən böyük qüvvətinə bölmək faydalıdır.

Tapşırıqlarda istifadə olunan düsturlar

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\\[6pt]a_r+a_s=a_1+a_n\quad(r+s=n+1)\end{gathered}

Ədədi silsilədə $S_n$ başlanğıcdakı $n$ həddin cəmidir; $a_1$ birinci, $a_n$ isə $n$ -ci həddir. Günlərin nömrələri cəmini müqayisə edərək verilmiş iki gündəki ümumi detal sayını $a_1+a_n$ yerinə yaz.

Öyrənilməli düstur

S_k=\frac{k(u_1+u_k)}{2}

$S_k$ ədədi silsilənin başlanğıcdan götürülmüş $k$ həddinin cəmidir, $u_1$ və $u_k$ bu hissənin kənar hədləridir. Əvvəl $u_k=v_k$ tənliyinin natural kökünü seç, sonra tapdığın nömrəyə və kənar hədlərə görə cəmi hesabla.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}a_j=a_1+(j-1)d\\[6pt]S_n=\frac{n}{2}\bigl(2a_1+(n-1)d\bigr)\end{gathered}

Ədədi silsilədə $a_1$ başlanğıc hədd, $d$ sabit fərq, $S_n$ isə başlanğıcdakı $n$ həddin cəmidir. Verilən münasibətlərdə hədləri $a_1$ və $d$ vasitəsilə yazıb bu iki kəmiyyəti müəyyən et, sonra cəm düsturuna keç.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}a_m=\frac{a_{m-r}+a_{m+r}}{2}\quad(1\le r<m)\\[6pt]a_j-a_k=(j-k)d\end{gathered}

Ədədi silsilədə ortadakı hədd simmetrik yerləşən iki həddin ədədi ortasıdır, $d$ isə silsilənin sabit fərqidir. Verilmiş cəmdən orta həddi, hədlərin fərqindən $d$ -ni tap və axtarılan nömrəyə qədər keçidi hesabla.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}u_m=\frac{u_{m-r}+u_{m+r}}{2}\quad(1\le r<m)\\[6pt]d=u_{j+1}-u_j\\[6pt]S_{2m-1}=(2m-1)u_m\end{gathered}

Ədədi silsilənin başlanğıcdan götürülmüş tək sayda həddinin cəmi orta hədlə hədlərin sayının hasilidir; burada $d$ sabit fərqdir. Simmetrik hədlərin cəmi ilə aradakı həddi müəyyən et, verilmiş qonşu həddən fərqi tap və cəmlənən hissənin orta həddinə keç.

Öyrənilməli düstur

S_n=\frac{n}{2}\bigl(2a_1+(n-1)d\bigr)

Burada $a_1$ ədədi silsilənin başlanğıc həddi, $d$ sabit fərqi, $S_n$ isə başlanğıcdakı $n$ həddin cəmidir. Cəmi $d$ ilə ifadə edib verilmiş aralığa yerləşdir; natural hədlərin fərqi tam ədəd olduğundan alınmış aralıqdakı tam qiyməti seç.

Öyrənilməli düstur

\lim_{n\to\infty}\frac{an+b}{cn+d}=\frac{a}{c}\quad(c\ne0)

Burada $a,b,c,d$ sabit ədədlərdir və məxrəcin $n$ qarşısındakı əmsalı sıfır deyil. Surətlə məxrəci $n$ -ə böldükdə sabitlərin $n$ -ə nisbətləri sıfıra yaxınlaşır, beləliklə limit baş əmsalların nisbəti olur.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}b_n=b_1+(n-1)d\\[6pt]d=\frac{b_k-b_1}{k-1}\quad(k>1)\end{gathered}

Ədədi silsilədə $b_1$ başlanğıc hədd, $d$ sabit fərq, $n$ isə axtarılan həddin nömrəsidir. Məlum iki həddən fərqi hesabla, sonra $b_n$ yerinə tələb olunan qiyməti yazıb $n$ üçün tənliyi həll et.

Öyrənilməli qayda

Ardıcıllıq düsturundakı $n$ həddin sıra nömrəsini bildirir. İstənilən həddi hesablamaq üçün düsturdakı bütün $n$ -lərin yerinə həmin nömrəni yaz, surət və məxrəcin işarələrini nəzərə al.

Silsiləni özün qur

Birinci həddi, fərqi və həddin nömrəsini dəyiş. Səhifə $n$ -ci həddi və ilk $n$ həddin cəmini dərhal hesablayacaq.

Nümunələr

u_n=\frac{5n-1}{7-2n}

olduqda

u_4

-ü tap. Düsturda hər

n

yerinə

4

yaz:

u_4=\frac{20-1}{7-8}=-19

. Həddin nömrəsi müsbət olsa da, qiyməti mənfi ola bilər.

Ədədi silsilədə $a_2+a_8=36$ , $a_6-a_3=12$ verilib. $a_9$ və $S_9$ nədir? Əvvəlcə $3d=12$ bərabərliyindən $d=4$ tapırsan. Simmetriyadan $2a_5=36$ , yəni $a_5=18$ . Beləliklə, $a_9=18+4\times4=34$ , $S_9=9\times18=162$ .

$12,4,\frac43,\ldots$ həndəsi silsiləsində $S_3$ və sonsuz cəmi tap. Burada $q=\frac13$ , ona görə $S_3=12+4+\frac43=\frac{52}3$ . Vuruğun modulu birdən kiçik olduğundan $S=\frac{12}{1-1/3}=18$ .

Ədədi silsilədə

a_1=7

d=3

verilib.

52

ədədi bu silsilənin neçənci həddidir?

60

ədədi bu silsilənin həddi ola bilərmi?

Həllə bax

$a_n=a_1+(n-1)d$ düsturuna qiymətləri yaz: $7+(n-1)\times3=52$ .
Buradan $(n-1)\times3=45$ , yəni $n-1=15$ və $n=16$ alınır.
$60$ üçün də eyni tənliyi qur: $7+(n-1)\times3=60$ , onda $(n-1)\times3=53$ .
$n-1=\frac{53}3$ natural ədəd deyil. Deməli, $60$ bu silsilənin həddi deyil.

$52$ silsilənin $16$ -cı həddidir, $60$ isə onun həddi deyil.

Tipik səhv

$a_1=3$ , $d=4$ olduqda $a_{10}=3+10\times4=43$

$a_{10}=3+(10-1)\times4=3+9\times4=39$

Birinci həddən onuncu həddə qədər $10$ yox, $9$ keçid var. Birinci həddən sonrakı keçidlərin sayı $n-1$ olduğuna görə düsturlarda bunu $n$ ilə əvəz etmə.

Həddin qiymətini onun nömrəsi ilə də qarışdırma: nömrə axtarırsansa, tənliyin yalnız natural köklərini götür. Sonsuz cəm düsturundan əvvəl isə $|q|<1$ şərtini yoxla.

Özünü yoxla

Ədədi silsilədə $a_3=11$ və $a_7=-1$ verilib. Silsilənin fərqini tap.

Ədədi silsilədə $a_4=9$ olarsa, ilk yeddi həddin cəmini tap.

Həndəsi silsilənin sonsuz cəmini $S=\frac{b_1}{1-q}$ düsturu ilə hesablamaq üçün $q$ aşağıdakılardan hansı ola bilər?

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Ədədi ardıcıllığın limiti», səh. 96
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Ədədi ardıcıllıq», səh. 190
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Ədədi silsilə», səh. 194
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Ədədi silsilənin n-ci həddinin düsturu», səh. 195
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Ədədi silsilənin xassələri», səh. 199
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Ədədi silsilənin ilk n həddinin cəmi düsturu», səh. 201
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Həndəsi silsilə», səh. 205
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Həndəsi silsilənin n-ci həddinin düsturu», səh. 207
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Həndəsi silsilənin xassələri», səh. 210
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Həndəsi silsilənin ilk n həddinin cəmi düsturu», səh. 211
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Sonsuz azalan həndəsi silsilənin cəmi», səh. 214