Riyaziyyat, Ədədi ardıcıllıqlar. Silsilələr

Ədədi ardıcıllıq: istənilən həddi necə tapmaq olar

Düsturla və ya rekurrent qayda ilə istənilən həddi tapmağı, bir ədədin ardıcıllığın həddi olub-olmadığını yoxlamağı öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

1, 4, 9, 16, 25… Bu sıranın növbəti ədədini çoxu dərhal deyir: 36. Bəs yüzüncü ədəd hansıdır? Hamısını bir-bir yazmaq olar, amma bu, xeyli vaxt aparar və yolda səhv etmək asandır.

Diqqətlə baxsan, hər ədəd durduğu yerin nömrəsinin kvadratıdır: birinci yerdə $1^2$ , ikincidə $2^2$ , beşincidə $5^2$ . Deməli, yüzüncü yerdə $100^2=10000$ durur. Bir sətirlik qayda uzun bir siyahını əvəz etdi.

Bu mövzu məhz bu barədədir: ədədləri nömrələmək, onların qaydasını yazmaq və lazım olan yerə birbaşa çatmaq.

Niyə lazımdır

Ardıcıllıq sonrakı mövzuların bünövrəsidir: ədədi və həndəsi silsilə də ardıcıllıqdır, sadəcə qaydaları xüsusidir. Burada $a_n$ yazılışına, indeksə və rekurrent düsturlara öyrəşsən, silsilələrin düsturları sənə yad görünməyəcək.

İmtahanda bu tapşırıqlar adətən qısa olur, amma bir diqqətsizlik cavabı korlayır: $n$ yerinə səhv ədəd yazmaq, yaxud kəsr kökü həddin nömrəsi saymaq. Qaydanı bir dəfə yaxşı başa düşsən, bu suallar sənə rahat xal gətirər.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Ardıcıllıq $n$ -ci həddinin düsturu ilə verilir və müəyyən nömrəli həddi, məsələn, beşincini tapmaq tələb olunur. Bundan başqa, rekurrent qaydaya görə ilk bir neçə həddi hesablamaq, yaxud verilmiş ədədin ardıcıllığın həddi olub-olmadığını və hansı nömrəli hədd olduğunu müəyyən etmək tapşırıqları da gələ bilər.

Qayda

Natural ədədlərlə ardıcıl nömrələnmiş ədədlər ədədi ardıcıllıq əmələ gətirir. Ədədlərə ardıcıllığın hədləri deyilir: $a_1$ birinci, $a_2$ ikinci, $a_n$ $n$ -ci həddir. İndeks həddin sıra nömrəsini göstərir.
Ardıcıllıq sonlu (hədləri bitir) və ya sonsuz ola bilər.
$n$ -ci həddin düsturu $a_n=f(n)$ nömrəyə görə istənilən həddi verir: $a_k$ həddini tapmaq üçün düsturda $n$ əvəzinə $k$ yazılır.
Rekurrent üsulda ilk hədd (və ya hədlər) və hər həddi əvvəlkilərlə ifadə edən düstur verilir. Hədlər ardıcıl hesablanır.
$c$ ədədinin ardıcıllığın həddi olub-olmadığını bilmək üçün $a_n=c$ tənliyi həll edilir: ardıcıllığın indeks aralığında natural $n$ kökü tapılarsa, $c$ həddir və $n$ onun nömrəsidir.

Tapşırıqlarda işlənən düstur

Öyrənilməli düstur

a_n=f(n)\ \Rightarrow\ a_k=f(k)

Ümumi həddin düsturunda $n$ yerinə həddin sıra nömrəsi yazılır. Burada beşinci hədd üçün $n=5$ götürülür və $3n-1$ ifadəsi hesablanır.

Özün hesabla

Hər sualda bir ədəd tap və yaz. Səhv etsən, həllin addımlarını görəcəksən.

Nümunələr

a_n=2n^2-5

ardıcıllığının

a_1

və

a_4

hədlərini tap.

Həllə bax

$a_1=2\times1^2-5=-3$ . $a_4=2\times4^2-5=32-5=27$ .

$b_1=2$ , $b_{n+1}=3b_n-1$ ardıcıllığının ikinci, üçüncü və dördüncü hədlərini tap.

Həllə bax

$b_2=3\times2-1=5$ , $b_3=3\times5-1=14$ , $b_4=3\times14-1=41$ .

Rekurrent qayda: $b_{n+1}=3b_n-1$
Hədd	Hesablama	Qiymət
$b_1$	Verilib	$2$
$b_2$	$3\times2-1$	$5$
$b_3$	$3\times5-1$	$14$
$b_4$	$3\times14-1$	$41$

$a_n=n^2+n$ ardıcıllığında 156 və 50 ədədləri həddirmi?

Həllə bax

$n^2+n=156$ üçün $n^2+n-156=0$ , $D=625$ , $n=12$ və ya $n=-13$ . Nömrə natural olmalıdır, ona görə $n=12$ : 156 on ikinci həddir. $n^2+n=50$ üçün $D=201$ tam kvadrat deyil, kökləri natural ədəd deyil. Deməli, 50 hədd deyil.

Tipik səhv

$a_n=2n+1$ , $2n+1=8$ , $n=3,5$ . Deməli, 8 ardıcıllığın həddidir.

$a_n=2n+1$ , $2n+1=8$ , $n=3,5$ . $3,5$ natural ədəd deyil, deməli 8 bu ardıcıllığın həddi deyil.

Şagirdlər tənliyin kökünün natural olub-olmadığına baxmadan ədədi hədd sayırlar. Halbuki $a_n=c$ tənliyinin ardıcıllığın indeks aralığına düşən natural kökü varsa, $c$ həddir. Belə natural kök yoxdursa (məsələn, bütün köklər mənfi və ya kəsrdirsə), ədəd hədd deyil.

Bir də $b_{n+1}$ yazılışını $b_n+1$ ilə qarışdırırlar: indeksdəki $+1$ həddin qiymətinə deyil, onun sıra nömrəsinə aiddir.

Özünü yoxla

$a_n=n^2+2n$ ardıcıllığının üçüncü həddini tap.

$b_1=4$ , $b_{n+1}=2b_n-3$ rekurrent qaydası ilə verilən ardıcıllığın $b_3$ həddini tap.

Sonlu ardıcıllıq $a_n=3n+2$ düsturu ilə verilib, burada $n=1,2,3,4,5$ . $20$ ədədi haqqında düzgün fikri seç.

Bu mövzunu tapşırıqlarla möhkəmləndir

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Ədədi ardıcıllıq», səh. 190