Riyaziyyat, Fırlanma fiqurları, onların səthi və həcmi

Silindr və konusun səthinin sahəsi: açılışdan düstura

Silindrin, konusun və kəsik konusun yan və tam səthinin sahəsini tapmağı, doğuranı hündürlükdən ayırmağı öyrənəcəksən.

Oxu vaxtı: 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta stolun üstündə metal banka və onun yanında düz açılmış düzbucaqlı kağız etiket.

Konserv bankasının kağız etiketini ehmallıca qopar və stolun üstünə aç: əlində düzbucaqlı qalacaq. Etiket bankanın yan səthini tam örtsəydi və ucları üst-üstə düşməsəydi, onun bir tərəfi bankanın hündürlüyünə, o biri tərəfi oturacaq çevrəsinin uzunluğuna bərabər olardı. Silindrin yan səthini açanda məhz belə düzbucaqlı alınır.

Konusda iş başqadır. Konusun yan səthini doğuran boyunca kəsib düz açsan, düzbucaqlı yox, dairənin bir hissəsi, yəni sektor alınar. Bu sektorun radiusu konusun doğuranıdır, hündürlüyü yox.

Yəni səthin sahəsini tapmaq üçün fiquru fikrində düz kağıza açmaq kifayətdir. Bütün düsturlar elə bu açılışdan gəlir.

Niyə lazımdır

Bankaya nə qədər etiket kağızı, çadıra nə qədər parça, boruya nə qədər boya gedəcəyini bu düsturlarla hesablayırlar. Usta da, dərzi də əslində eyni sualı verir: açılanda bu səth nə qədər yer tutur?

İmtahanda hesab qısadır, ona görə burada xal qazanmaq asandır. Amma bircə yanlış ölçü hər şeyi dəyişir: hündürlük doğuranın yerinə, ya da diametr radiusun yerinə yazılanda cavab səhv çıxır. Bu səhifədə həmin yerlərə xüsusi diqqət edəcəyik.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Tapşırıqlarda fırlanma fiqurunun səthinin sahəsi iki yolla verilir. Birində ölçülər hazırdır və yan ya da tam səth hesablanır. Digərində vəziyyət məsələ ilə təsvir olunur: düzbucaqlı üçbucağın kateti ətrafında fırlanmasından konus alınır, konus formalı çadıra neçə kvadratmetr parça gedir, silindr formalı val yolda 20 dövr edəndə nə qədər sahəni hamarlayır. Bəzən cavab $\pi$ vuruğu ilə yazılır, bəzən $S:\pi$ ifadəsinin qiyməti istənir.

Qayda

Silindrin radiusu $r$ , hündürlüyü $h$ -dır. Yan səthi açılışda tərəfləri $2\pi r$ və $h$ olan düzbucaqlıdır: $S_{yan}=2\pi rh$ . Tam səth: $S_{tam}=2\pi rh+2\pi r^2=2\pi r(h+r)$ .
Silindrin yan səthinin açılışı
Konusun oturacaq radiusu $r$ , doğuranı $l$ , hündürlüyü $h$ -dır. Doğuran təpə nöqtəsini oturacaq çevrəsinin nöqtəsi ilə birləşdirir və $l^2=r^2+h^2$ bərabərliyi ödənir. Yan səth $S_{yan}=\pi rl$ , tam səth $S_{tam}=\pi rl+\pi r^2=\pi r(l+r)$ .
Kəsik konusun oturacaq radiusları $r$ və $R$ -dir. Doğuranı $l$ olan kəsik konusda $l^2=h^2+(R-r)^2$ , yan səth $S_{yan}=\pi(r+R)l$ , tam səth $S_{tam}=\pi(r+R)l+\pi r^2+\pi R^2$ .
Tapşırıqda yan səthin sahəsi soruşulursa (məsələn, çadırın örtüyü), oturacaqların sahəsi əlavə olunmur, tam səth soruşulduqda isə əlavə olunur.

Yan və tam səth
Fiqur	Yan səth	Əlavə oturacaq sahəsi
Silindr	$2\pi rh$	$2\pi r^2$
Konus	$\pi rl$	$\pi r^2$
Kəsik konus	$\pi(r+R)l$	$\pi r^2+\pi R^2$

Tapşırıqlarda istifadə olunan düsturlar

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}S_{\mathrm{yan}}=\pi Rl\\[6pt] l=\sqrt{R^2+H^2}\end{gathered}

Konus: oturacağın radiusu R, hündürlüyü H, doğuranı l.

$R$ konusun oturacağının radiusu, $H$ hündürlüyü, $l$ isə doğuranıdır. Fırlanmada hipotenuz doğuran olur, ona görə əvvəlcə $l$ -i Pifaqor teoremi ilə tap, sonra yan səthin sahəsini hesabla.

Öyrənilməli düstur

S=\pi R^2+\pi Rl,\qquad l^2=R^2+h^2

$R$ oturacağın radiusu, $l$ doğuran, $h$ hündürlükdür. Əvvəlcə düzbucaqlı üçbucaqdan $R$ tapılır, sonra oturacağın və yan səthin sahəsi toplanır.

Öyrənilməli düstur

l=\sqrt{h^2+R^2},\quad S_{\text{yan}}=\pi R l

$R$ oturacağın radiusu, $h$ hündürlük, $l$ isə doğurandır. Doğuranı düzbucaqlı üçbucaqdan tap, sonra yan səthin sahəsini hesabla.

Öyrənilməli düstur

S_{yan}=2\pi Rh=\pi dh

Silindr: oturacağın radiusu R, diametri d, hündürlüyü h.

$R$ oturacağın radiusu, $d$ diametri, $h$ isə silindrin hündürlüyüdür. Val bir tam dövr etdikdə bu sahə qədər zolaq hamarlayır, ona görə nəticə dövrlərin sayına vurulur.

Konusu özün qur

Düzbucaqlı üçbucaq $h$ kateti ətrafında fırlananda konus alınır. $r$ və $h$ -ı dəyiş, doğuranın və səthin necə dəyişdiyinə bax.

Nümunələr

Radiusu 4 sm, hündürlüyü 10 sm olan silindrin tam səthinin sahəsini tap.

Həllə bax

S_{yan}=2\pi\times 4\times 10=80\pi

. İki oturacağın sahəsi

2\times\pi\times 4^2=32\pi

. Deməli,

S_{tam}=80\pi+32\pi=112\pi

(sm

^2

Konusun hündürlüyü 15, oturacağının radiusu 8-dir. Tam səthinin sahəsini tap.

Həllə bax

Əvvəlcə doğuranı tapaq: $l=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17$ . Onda $S_{yan}=\pi\times 8\times 17=136\pi$ , oturacağın sahəsi $\pi\times 8^2=64\pi$ və $S_{tam}=136\pi+64\pi=200\pi$ .

Kəsik konusun oturacaq radiusları 3 və 7, hündürlüyü 3-dür. Yan səthinin sahəsini tap.

Həllə bax

Doğuran: $l=\sqrt{3^2+(7-3)^2}=\sqrt{25}=5$ . Onda $S_{yan}=\pi\times(3+7)\times 5=50\pi$ .

Konus formalı çadırın oturacağının diametri 6 m, hündürlüyü 4 m-dir. Çadırın örtüyünə (döşəməsiz) neçə kvadratmetr parça gedir?

Həllə bax

Diametr verilib, düsturda isə radius işləyir: $r=6:2=3$ m.
Doğuranı tapırıq: $l=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$ m.
Örtük çadırın yan səthidir, döşəmə sayılmır: $S_{yan}=\pi\times 3\times 5=15\pi$ (m $^2$ ).

$15\pi$ m $^2$ , təxminən 47,1 m $^2$

Tipik səhv

$r=6$ , $h=8$ olan konus üçün: $S_{yan}=\pi\times 6\times 8=48\pi$

Əvvəlcə doğuran: $l=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$ . Onda $S_{yan}=\pi\times 6\times 10=60\pi$

Konusun yan səthini hesablayanda şagirdlər $\pi rl$ düsturunda doğuranın yerinə hündürlüyü yazırlar. Düzgün yol belədir: əvvəlcə doğuranı $l=\sqrt{r^2+h^2}$ ilə tap, sonra düsturda ondan istifadə et. Bu misalda $l=10$ götürülür, 8 yox.

Ölçü diametrlə verilibsə, düsturlara keçməzdən əvvəl onu ikiyə böl, çünki düsturlarda radius işləyir.

Özünü yoxla

Oturacağının diametri $10$ sm, hündürlüyü $3$ sm olan silindrin tam səthinin sahəsini tap.

Oturacağının radiusu $5$ sm, hündürlüyü $12$ sm olan konusun yan səthinin sahəsini tap.

Kəsik konusun oturacaq radiusları $2$ sm və $5$ sm, doğuranı $4$ sm-dir. Tam səthinin sahəsini tap.

Bu mövzu üzrə sınaq

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Silindrin səthinin sahəsi», səh. 107
Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Konusun səthinin sahəsi», səh. 113
Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Kəsik konus və səthinin sahəsi», səh. 120
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 7.4 «Konusun tam səthinin sahəsi və həcmi», səh. 66
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 2-ci hissə, 8.4 «Düz üçbucaqlı prizmanın və silindrin səthinin sahəsi», səh. 90