Riyaziyyat, Fırlanma fiqurları, onların səthi və həcmi

Kürənin həcmi: radiusun kubu niyə bu qədər vacibdir

Kürənin həcmini radiusdan və diametrdən tapmağı, həcmdən isə radiusu geri tapmağı öyrənəcəksən.

Oxuma vaxtı: 3 dəq

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta masanın üstündə yan-yana duran böyük və kiçik iki top.

İki top götür. Birinin radiusu o birininkindən iki dəfə böyükdür. Böyük topun içinə nə qədər hava sığar? İki qat yox, düz səkkiz qat.

Səbəbi sadədir: kürənin həcmi radiusun kubundan asılıdır, $2^3=8$ edir. Radius üç dəfə artsa, həcm $27$ dəfə artır. Həcmlərin nisbətini gözlə qiymətləndirmək çətin ola bilər, düstur isə dəqiq cavab verir.

Daha bir gözəl fakt: kürəni elə silindrin içinə qoy ki, silindr onu hər tərəfdən sıxsın. Onda kürənin həcmi silindrin həcminin düz üçdə ikisi olur. Bunu hələ qədim yunan alimi Arximed sübut edib.

Niyə lazımdır

Kürə formalı nə varsa, hamısının həcmi bu düsturla tapılır: top, sferik çən, dondurma qaşığı ilə götürülən top. Diametri ikiyə bölürsən, alınan radiusu kuba yüksəldirsən, nəticəni $\dfrac{4}{3}\pi$ -yə vurursan və bu şeyin içinə nə qədər sığdığını bilirsən.

İmtahanda cavab çox vaxt $\pi$ ilə verilir, ona görə $\pi$ -ni $3,14$ ilə əvəz etməyə tələsmə, sonda $\pi$ vuruğunu saxla. Radiusun kubunu əzbər bilmək ( $27$ , $64$ , $216$ , $729$ ) hesabı xeyli sürətləndirir.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Əsas tapşırıq radiusu verilmiş kürənin həcmini $\pi$ vuruğu ilə hesablamaqdır. Bəzən ölçü diametrlə verilir. Tərs məsələ də gəlir: kürənin həcmi məlumdur, radiusu tapmaq lazımdır. Bundan başqa, yarımkürənin həcmi, kürənin silindr ya da kub ilə birlikdə verildiyi məsələlər və kürənin əridilib başqa fiqura çevrilməsi ilə bağlı tapşırıqlar olur.

Qayda

Radiusu $r$ olan kürənin həcmi $V=\dfrac{4}{3}\pi r^3$ düsturu ilə tapılır, yəni həcm radiusun kubu ilə düz mütənasibdir.
Kürənin səthinin sahəsi $S=4\pi r^2$ olduğundan həcmi bu səthlə də ifadə etmək olar: $V=\dfrac{1}{3}S\times r$ . Hər iki yazılış eyni nəticəni verir.
Böyük dairə kürəni iki bərabər hissəyə — yarımkürələrə ayırır, buna görə yarımkürənin həcmi kürənin həcminin yarısıdır: $V=\dfrac{2}{3}\pi r^3$ .
Diametr $d$ verilibsə, əvvəlcə $r=d:2$ hesablanır.
Həcm məlumdursa, düsturdan $r^3$ ifadə edilir: $r^3=\dfrac{3V}{4\pi}$ , sonra kub kök alınır.
Fiqur əridilib başqa formaya salındıqda maddənin miqdarı dəyişmir, ona görə həcmlər bərabər olur.

Tapşırıqlarda işlənən düstur

Öyrənilməli düstur

V=\frac{4}{3}\pi R^3

$R$ kürənin radiusudur: həcm radiusun üçüncü qüvvətindən asılıdır. Burada $R=3$ sm olduğundan $R^3=27$ qiymətini $\frac{4}{3}\pi$ əmsalına vurmaq kifayətdir.

Radiusu dəyiş, həcmə bax

Sürgünü çək və radius iki dəfə artanda həcmin neçə dəfə artdığına bax.

Nümunələr

Radiusu 6 sm olan kürənin həcmini tap.

Həllə bax

V=\dfrac{4}{3}\pi\times 6^3=\dfrac{4}{3}\pi\times 216=288\pi

(

\text{sm}^3

). Eyni nəticə

V=\dfrac{1}{3}S\times r

ilə də alınır:

S=4\pi\times 36=144\pi

V=\dfrac{1}{3}\times 144\pi\times 6=288\pi

Kürənin həcmi $972\pi\ \text{sm}^3$ -dir. Radiusunu tap.

Həllə bax

$\dfrac{4}{3}\pi r^3=972\pi$ bərabərliyinin hər tərəfini $\pi$ -yə bölək: $\dfrac{4}{3}r^3=972$ . Buradan $r^3=972\times\dfrac{3}{4}=729$ və $r=9$ (sm), çünki $9^3=729$ .

Radiusu 6 sm olan metal kürə əridilib radiusu 4 sm olan silindr formasına salınıb. Silindrin hündürlüyünü tap.

Həllə bax

Kürənin həcmi $288\pi$ olduğundan silindrin həcmi də $288\pi$ -dir: $\pi\times 4^2\times h=288\pi$ . Buradan $16h=288$ və $h=18$ (sm).

Əridilmədə həcm saxlanır
Fiqur	Ölçülər	Həcm
Kürə	$r=6$	$288\pi$
Silindr	$r=4$ , $h=18$	$288\pi$

Yarımkürə formalı qabın diametri

6

sm-dir. Qabın həcmini tap.

Həllə bax

Əvvəlcə radiusu tap: $r=6:2=3$ (sm).
Yarımkürənin həcmi kürənin həcminin yarısıdır: $V=\dfrac{2}{3}\pi r^3$ .
$r^3=3^3=27$ , deməli $V=\dfrac{2}{3}\pi\times 27=18\pi$ ( $\text{sm}^3$ ).

$18\pi\ \text{sm}^3$

Tipik səhv

$V=\dfrac{4}{3}\pi\times 6^2=48\pi$

$V=\dfrac{4}{3}\pi\times 6^3=288\pi$

Şagirdlər kürənin həcmində radiusun kubu əvəzinə kvadratını götürürlər, çünki kvadrat səthin sahəsi $S=4\pi r^2$ düsturunda işlənir. Həcm üçölçülü ölçüdür, buna görə düsturda $r^3$ olmalıdır: $r=6$ üçün düzgün cavab $288\pi$ -dir, $48\pi$ isə səhvdir.

Tez-tez rast gəlinən başqa səhv diametri radius kimi götürməkdir: əvvəlcə diametri ikiyə böl.

Özünü yoxla

Diametri $10$ sm olan kürənin həcmini tap.

Kürənin həcmi $\dfrac{256}{3}\pi\ \text{sm}^3$ -dir. Radiusunu tap.

Radiusu $2$ sm olan yarımkürənin həcmini tap.

Kürənin həcmi üzrə sınaq

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahını oxu.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Kürə və hissələrinin həcmi», səh. 184
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 2-ci hissə, 7.5 «Kürə. Kürə səthinin sahəsi və həcmi», səh. 42