Riyaziyyat, Fırlanma fiqurları, onların səthi və həcmi

Fırlanma fiqurlarının həcmi: silindr, konus və kəsik konus

Silindrin, konusun və kəsik konusun həcmini tapmağı, fırlanmadan radiusla hündürlüyü çıxarmağı öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: masanın üstündə yan-yana silindr formalı şüşə stəkan və konus formalı kağız stəkan.

Düzbucaqlı bayrağı dirəyin ətrafında tam bir dövr fırlatdığını təsəvvür et. Bayrağın keçdiyi yer silindrdir. Düzbucaqlı üçbucağı bir katetin ətrafında fırlatsan, konus alınır. Dulusçu çarxında düzəldilən küplərin dəyirmi olmasının səbəbi də budur: gil bir ox ətrafında fırlanır.

İndi kiçik bir sual. Konus formalı stəkanla silindr formalı stəkanın oturacağı da, hündürlüyü də eynidir. Konus olan silindrin neçədə birini tutur? Göz burada asanlıqla aldanır, düzgün cavab isə üçdə birdir. Bunu göz yox, düstur dəqiq göstərir.

Niyə lazımdır

Həcm qabın tutumudur: çənə, bankaya, boruya nə qədər su sığır. Silindrin həcmini bilsən, belə hesabları ölçüb özün apara bilərsən.

İmtahanda bu mövzu tək gəlmir: yanında Pifaqor teoremi, diametrdən radiusa keçid və $\pi$ ilə yazılan cavab olur. Üç düsturu və konusun içindəki bir düzbucaqlı üçbucağı bilsən, tapşırıqların əksəriyyəti açılır.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Tapşırıqlarda silindrin, konusun və kəsik konusun həcmi tapılır. Ölçülər ya birbaşa verilir, ya da fırlanmadan çıxarılır: məsələn, düzbucaqlı üçbucaq bir katetin ətrafında fırlanır və alınan konusun həcmi soruşulur. Belə hallarda hipotenuzla katetdən Pifaqor teoremi ilə ikinci katet tapılır. Silindr formalı qabın tutumunu tapmaq kimi gündəlik məsələlər də olur. Cavab çox vaxt $\pi$ vuruğu ilə yazılır, bəzən də $V:\pi$ ifadəsinin qiyməti istənir.

Qayda

Silindrin həcmi oturacağın sahəsi ilə hündürlüyün hasilinə bərabərdir: $V=S_{oturacaq}\times h=\pi r^2h$ .
Konusun həcmi oturacaq sahəsi ilə hündürlüyün hasilinin üçdə birinə bərabərdir: $V=\dfrac{1}{3}\pi r^2h$ . Deməli, oturacağı və hündürlüyü eyni olan silindrin həcmi konusunkundan 3 dəfə böyükdür.
Eyni radius və hündürlük
Fiqur Həcm
Silindr $\pi r^2h$
Konus $\frac13\pi r^2h$
Kəsik konus konusun təpəsini oturacağa paralel müstəvi ilə kəsib atmaqla alınır, $r$ kiçik, $R$ isə böyük oturacağın radiusudur. Hündürlüyü $h$ olan kəsik konusun həcmi: $V=\dfrac{\pi h}{3}\left(r^2+rR+R^2\right)$ .
Konusda $r$ , hündürlük $h$ və doğuran $l$ düzbucaqlı üçbucaq əmələ gətirir: $l^2=r^2+h^2$ . Bunlardan hər hansı ikisini bilsən, üçüncünü tapa bilərsən.
Həcm kub vahidlərlə yazılır, məsələn, $\text{sm}^3$ .

Eyni radius və hündürlük
Fiqur	Həcm
Silindr	$\pi r^2h$
Konus	$\frac13\pi r^2h$

Tapşırıqlarda işlənən düstur

Öyrənilməli düstur

V=\frac{1}{3}\pi R^2h

Konus: oturacağın radiusu R, hündürlüyü h.

$R$ oturacağın radiusu, $h$ konusun hündürlüyüdür. Fırlanma oxu olan katet hündürlük, o biri katet isə radius olur; radiusu Pifaqor teoremi ilə tap.

Radiusu və hündürlüyü dəyiş

Radiusu $r$ və hündürlüyü $h$ olan silindrlə konusun həcmlərini müqayisə et. Konusun həcmi həmişə silindrinkinin üçdə biri olaraq qalır.

Nümunələr

Oturacağının diametri 10 sm, hündürlüyü 6 sm olan silindrin həcmini tap.

Həllə bax

Radius diametrin yarısıdır:

r=5

. Onda

V=\pi\times 5^2\times 6=150\pi

(

\text{sm}^3

Konusun oturacağının radiusu 5, doğuranı 13-dür. Həcmini tap.

Həllə bax

Hündürlük: $h=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$ . Onda $V=\dfrac{1}{3}\times\pi\times 5^2\times 12=\dfrac{1}{3}\times 300\pi=100\pi$ .

Konusun radiusu 5, hündürlüyü 12, doğuranı 13-dür; hündürlük oturacaq radiusuna perpendikulyardır.

Kəsik konusun oturacaq radiusları 2 və 5, hündürlüyü 6-dır. Həcmini tap.

Həllə bax

$V=\dfrac{\pi\times 6}{3}\left(2^2+2\times 5+5^2\right)=2\pi\times(4+10+25)=2\pi\times 39=78\pi$ .

Hipotenuzu 10, bir kateti 6 olan düzbucaqlı üçbucaq həmin 6 uzunluqlu katetin ətrafında fırlanır. Alınan konusun həcmini tap.

Həllə bax

Fırlanma oxu olan katet konusun hündürlüyü olur: $h=6$ .
O biri katet oturacağın radiusudur: $r=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$ .
$V=\dfrac{1}{3}\times\pi\times 8^2\times 6=\dfrac{1}{3}\times 384\pi=128\pi$ .

$128\pi$

Tipik səhv

$r=3$ , $h=4$ , $l=5$ olan konusda: $V=\dfrac{1}{3}\pi\times 3^2\times 5=15\pi$

$V=\dfrac{1}{3}\pi\times 3^2\times 4=12\pi$

Konusun həcmini hesablayanda şagirdlər tez-tez hündürlüyün yerinə doğuranı götürürlər. Doğuran konusun yan səthinin sahəsində işləyir, həcmdə isə oturacağa perpendikulyar hündürlük lazımdır.

Üçdə bir vuruğunu da yadından çıxarma: o, silindrin düsturunda yoxdur, konusunkunda isə var. Ölçü diametrlə verilibsə, düsturlarda radius işlədiyi üçün əvvəlcə $r=d:2$ hesabla.

Özünü yoxla

Həcmi $80\pi\,\text{sm}^3$ , hündürlüyü $5\,\text{sm}$ olan silindrin oturacağının diametrini tap.

Katetləri $4\,\text{sm}$ və $9\,\text{sm}$ olan düzbucaqlı üçbucağı $9\,\text{sm}$ uzunluqlu kateti ətrafında fırlatsan, alınan konusun həcmi nə qədər olar?

Oturacaq radiusları $1$ və $4$ , hündürlüyü $3$ olan kəsik konusun həcmi $V$ -dir. $V:\pi$ ifadəsinin qiymətini tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahını gör.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Silindrin həcmi», səh. 176
Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Konusun həcmi», səh. 180
Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Kəsik konusun həcmi», səh. 183
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 7.4 «Konusun tam səthinin sahəsi və həcmi», səh. 66
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 2-ci hissə, 8.5 «Düz üçbucaqlı prizmanın və silindrin həcmi», səh. 93