Riyaziyyat, Fırlanma fiqurları, onların səthi və həcmi

Silindr və konus: radiusu, hündürlüyü və doğuranı necə tapmalı

Silindrin və konusun radiusunu, hündürlüyünü və doğuranını verilənlərdən tapmağı öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta masanın üstündə konus formalı ağ kağız stəkan və yanında metal konserv bankası.

Su aparatının yanındakı kağız stəkanlara bax: bəziləri konus formasındadır. Onları düz kağızdan bükürlər. Mətbəxdəki konserv bankası isə hazır silindrdir.

Maraqlısı odur ki, hər iki cisim düz bir fiqurdan alınır. Düzbucaqlını bir tərəfi ətrafında fırlatsan, silindr yaranır. Düzbucaqlı üçbucağı kateti ətrafında fırlatsan, konus alınır. Dairə sektorunu bükəndə də konus alınır.

Bütün mövzu bir suala bağlıdır: düz fiqurun hansı ölçüsü cismin hansı ölçüsünə çevrilir? Bunu bilsən, tapşırıq iki-üç sətirdə həll olunur.

Niyə lazımdır

Radius, hündürlük və doğuran sonra səth sahəsi və həcm düsturlarında da lazım olacaq. Bu ölçülərdən birini səhv tapsan, düstur düzgün olsa da cavab yanlış çıxacaq.

Bu, kağız üzərində qalan bilik deyil. Kağızdan papaq və ya qıf düzəltmək istəyəndə sektoru hansı bucaqla kəsəcəyini elə bu qaydalarla seçirsən.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Tipik tapşırıqda konusun doğuranı və onun oturacaq müstəvisi ilə əmələ gətirdiyi bucaq verilir, oturacağın radiusunu və ya hündürlüyü tapmaq lazımdır. Bu mövzuya aid başqa tapşırıqlarda düzbucaqlı bir tərəfi ətrafında fırladılır və silindrin hündürlüyü ilə radiusu soruşulur, ya da dairə sektorundan konus bükülür və oturacağın radiusu hesablanır.

Qayda

Düz dairəvi silindr düzbucaqlının bir tərəfi ətrafında fırlanmasından alınır. Həmin tərəf silindrin oxu üzərində yerləşir və hündürlüyü $h$ , ona perpendikulyar qonşu tərəf isə oturacağın radiusu $r$ (diametri $d=2r$ ) olur. Düz silindrdə doğuran $l$ hündürlüyə bərabərdir: $l=h$ .
Mail silindrdə doğuran oturacaq müstəvisinə perpendikulyar deyil. Doğuran $l$ oturacaq müstəvisi ilə $\alpha$ bucağı əmələ gətirirsə, $h=l\times\sin\alpha$ .
Düz dairəvi konus düzbucaqlı üçbucağın bir kateti ətrafında fırlanmasından alınır. Doğuran $l$ hipotenuzdur: $l^2=h^2+r^2$ .
Konusun doğuranı oturacaq müstəvisi ilə $\alpha$ bucağı əmələ gətirirsə, $r=l\times\cos\alpha$ , $h=l\times\sin\alpha$ .
Dairə sektorundan konus bükəndə sektorun radiusu konusun doğuranı olur, sektorun qövsü isə oturacaq çevrəsinə çevrilir. Sektorun mərkəzi bucağı $\alpha^\circ$ olarsa, $r=\dfrac{\alpha}{360}\times l$ .

Tapşırıqlarda işlənən düstur

Öyrənilməli düstur

l^{2}=h^{2}+r^{2}

Konus: oturacağın radiusu r, hündürlüyü h, doğuranı l.

$l$ konusun doğuranı, $h$ hündürlüyü, $r$ isə oturacağın radiusudur. $30^\circ$ -li bucağın qarşısındakı katet doğuranın yarısına bərabər olduğundan əvvəlcə $h$ tapılır, sonra $r$ hesablanır.

Sektordan konus bük

Sektorun radiusunu və mərkəzi bucağını dəyiş, bükülən konusun ölçülərinə bax. Bucaq böyüdükcə konus enlənir və alçalır.

Nümunələr

Konusun doğuranı 14-dür və oturacaq müstəvisi ilə

60^\circ

bucaq əmələ gətirir. Radiusu və hündürlüyü tapaq.

Həllə bax

$r=14\times\cos 60^\circ=7$ , $h=14\times\sin 60^\circ=7\sqrt3$ . Yoxlama: $7^2+(7\sqrt3)^2=49+147=196=14^2$ .

Tərəfləri 5 və 8 olan düzbucaqlı öz tərəflərindən biri ətrafında fırlanır. Alınan silindrin hündürlüyünü və oturacağının diametrini tapaq.

Həllə bax

Uzunluğu 5 olan tərəf ətrafında fırlananda $h=5$ , $r=8$ , diametr 16 olur. Uzunluğu 8 olan tərəf ətrafında fırlananda isə $h=8$ , $r=5$ , diametr 10 olur. İki hal var.

Radiusu 10, mərkəzi bucağı $216^\circ$ olan sektordan konus bükülür. Oturacağın radiusunu və hündürlüyü tapaq.

Həllə bax

$l=10$ , $r=\dfrac{216}{360}\times 10=6$ . $h=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$ .

Tipik səhv

Sektorun radiusu 10-dur, deməli oturacağın radiusu da $r=10$ -dur.

$l=10$ , $r=\dfrac{216}{360}\times 10=6$ .

Sektorun radiusu konusun doğuranıdır, oturacağın radiusu isə $r=\dfrac{\alpha}{360}\times l$ düsturu ilə tapılır. Nümunə 3-də $r=10$ yox, $r=6$ -dır.

Digər səhv: doğuranın oturacaq müstəvisi ilə bucağı veriləndə sinus və kosinusu qarışdırmaq. Radius bucağa bitişik katetdir, buna görə $\cos\alpha$ işlənir, hündürlük isə bucağın qarşısındakı katetdir və $\sin\alpha$ ilə tapılır.

Özünü yoxla

Tərəfləri $6$ və $11$ olan düzbucaqlı uzunluğu $6$ olan tərəfi ətrafında fırlanır. Alınan silindrin doğuranını $l$ və oturacağının radiusunu $r$ tap.

Konusun oturacağının radiusu $4\sqrt{3}$ , doğuranının oturacaq müstəvisi ilə əmələ gətirdiyi bucaq $30^\circ$ -dir. Doğuranı tap.

Radiusu $9$ olan dairə sektorundan oturacağının radiusu $3$ olan konus bükülür. Sektorun mərkəzi bucağını tap.

Bu mövzu üzrə sınaq

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Silindr», səh. 105
Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Konus», səh. 111