Riyaziyyat, Fırlanma fiqurları, onların səthi və həcmi

Kürənin müstəvi ilə kəsiyi: kəsik dairə və kürənin radiusu

Kürənin radiusu, kəsiyin radiusu və müstəviyə qədər məsafə arasındakı əlaqəni öyrənib bunlardan birini o biri ikisinə görə tapa biləcəksən.

Oxuma vaxtı: 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta lövhənin üstündə yarıya kəsilmiş portağal və yanında müxtəlif ölçülü dairəvi dilimlər.

Portağalı bıçaqla düz kəs. Kəsilən yer təxminən dairə olur. Ortadan kəssən, dairə böyük olur. Kənara yaxın kəssən, kiçik bir dairə alınır.

Qlobusda da eyni şey var. Paralellər çevrədir. Ekvator ən böyüyüdür, qütblərə yaxınlaşdıqca paralellər kiçilir.

Portağal tam kürə deyil, ona görə də riyaziyyatda ideal kürəyə baxırıq. Müstəvi ideal kürəni kəsirsə, kəsik dəqiq dairə olur. Bəs bu dairə nə qədər kiçilir? Müstəvi mərkəzdən nə qədər uzaqdadırsa, dairə bir o qədər kiçik olur. Bunu dəqiq hesablamaq üçün bir düzbucaqlı üçbucaq kifayət edir.

Niyə lazımdır

Bu mövzu fəza məsələsini müstəvi məsələsinə çevirməyi öyrədir. Kürəni çəkməyə ehtiyac qalmır: bir düzbucaqlı üçbucaq çəkirsən, Pifaqor teoremini yazırsan və məsələ həll olunur.

İmtahanda bu, adətən iki addımlıq məsələdir: əvvəlcə kəsikdən kürənin radiusunu tapırsan, sonra səthin sahəsini və ya həcmi hesablayırsan. Birinci addımda səhv etsən, ikinci addım da səhv çıxır, ona görə də hər şey üçbucağı düz qurmaqdan asılıdır.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Kürə mərkəzdən müəyyən məsafədə yerləşən müstəvi ilə kəsilir. Kəsiyin sahəsi və ya çevrəsinin uzunluğu, mərkəzdən müstəviyə qədər məsafə verilir və kürənin radiusu tapılır. Ardınca kürənin səthinin sahəsi ya da həcmi soruşulur. Tərs istiqamətdə kürənin radiusu və kəsiyin ölçüsü bilinir, müstəvinin mərkəzdən məsafəsini tapmaq tələb olunur.

Qayda

Kürənin müstəvi ilə kəsiyi dairədir. Bu dairənin mərkəzi kürənin mərkəzindən müstəviyə endirilmiş perpendikulyarın oturacağıdır.
Kürənin radiusu $R$ , mərkəzdən müstəviyə qədər məsafə $d$ ( $0<d<R$ ), kəsik dairənin radiusu $r$ olarsa, bunlar düzbucaqlı üçbucaq əmələ gətirir: $R$ hipotenuz, $d$ və $r$ katetlərdir. Buradan $r^2=R^2-d^2$ və $R^2=r^2+d^2$ .
Kəsiyin sahəsi $\pi r^2$ , çevrəsinin uzunluğu $2\pi r$ .
Müstəvi mərkəzdən keçərsə, $d=0$ və $r=R$ olur ( $R^2=r^2+d^2$ bərabərliyi bu halda da qüvvədə qalır). Bu halda kəsik böyük dairədir, kürənin ən böyük dairəvi kəsiyidir.
Kürənin səthinin sahəsi $S=4\pi R^2$ , həcmi $V=\dfrac43\pi R^3$ .

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

R^2=d^2+r^2,\quad V=\frac{4}{3}\pi R^3

Kürənin müstəvi ilə kəsiyi: kürənin radiusu R, mərkəzdən müstəviyə qədər məsafə d, kəsiyin radiusu r.

$d$ mərkəzdən kəsən müstəviyə qədər məsafə, $r$ kəsiyin, $R$ isə kürənin radiusudur. Əvvəlcə dairənin sahəsindən $r$ -i, sonra $R$ -i tap, ancaq ondan sonra həcmi hesabla.

Özün yoxla

Hər dəfə düzbucaqlı üçbucağı təsəvvür et: $R$ hipotenuzdur, $d$ və $r$ isə katetlərdir.

Nümunələr

Radiusu 13 olan kürə mərkəzdən 5 məsafədə müstəvi ilə kəsilib. Kəsiyin sahəsini və çevrəsinin uzunluğunu tapaq.

Həllə bax

r^2=13^2-5^2=169-25=144

r=12

. Sahə

\pi\times 144=144\pi

, çevrə

2\pi\times 12=24\pi

Kürə mərkəzdən 12 məsafədə müstəvi ilə kəsilib, kəsiyin sahəsi $25\pi$ -dir. Kürənin səthinin sahəsini tapaq.

Həllə bax

$\pi r^2=25\pi$ , buradan $r=5$ . $R^2=5^2+12^2=169$ , $R=13$ . $S=4\pi\times 169=676\pi$ .

Radiusu 5 olan kürənin müstəvi ilə kəsiyinin sahəsi $9\pi$ -dir. Müstəvi mərkəzdən hansı məsafədədir?

Həllə bax

$\pi r^2=9\pi$ , $r=3$ . $d^2=R^2-r^2=25-9=16$ , $d=4$ .

Tipik səhv

Kəsiyin sahəsi $144\pi$ -dir, deməli $R=12$ . Və ya: $R=13$ , $d=5$ , deməli $r=R-d=13-5=8$ .

$\pi r^2=144\pi$ , buradan kəsiyin radiusu $r=12$ . Sonra $R^2=r^2+d^2$ yazılır. Nümunə 1-də isə $r^2=13^2-5^2=144$ , $r=12$ alınır, 8 yox.

Kəsiyin radiusunu kürənin radiusu ilə qarışdırma: müstəvi mərkəzdən keçmirsə, $r$ kürənin radiusundan kiçikdir. Düzgün yol belədir: kəsiyin sahəsindən əvvəlcə kəsiyin radiusu $r$ -i tap, sonra $d$ ilə birlikdə $R^2=r^2+d^2$ düsturuna yaz.

$r=R-d$ yazmaq da səhvdir, çünki $R$ , $d$ və $r$ düzbucaqlı üçbucağın tərəfləridir, bir düz xəttin parçaları deyil.

Özünü yoxla

Kürənin ən böyük dairəvi kəsiyi hansı halda alınır?

Radiusu $9$ olan kürə mərkəzdən $5$ məsafədə yerləşən müstəvi ilə kəsilir. Kəsiyin sahəsini tap.

Kürənin müstəvi ilə kəsiyinin sahəsi $36\pi$ , mərkəzdən müstəviyə qədər məsafə $4$ -dür. Kürənin səthinin sahəsini tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Kürə və hissələrinin səthinin sahəsi», səh. 123