Riyaziyyat, Fırlanma fiqurları, onların səthi və həcmi

Silindr və konusun kəsikləri: dairə, düzbucaqlı, üçbucaq

Silindr və konusu müxtəlif müstəvilərlə kəsəndə hansı fiqurun alındığını tanıyacaq, kəsikdən radiusu, hündürlüyü və sahəni tapa biləcəksən.

Oxu vaxtı: 4 dəq

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta lövhənin üstündə dairəvi xiyar dilimləri, uca doğru kiçilən yerkökü dilimləri, uzununa kəsilmiş xiyar və bıçaq.

Xiyar təxminən silindrə, yerkökü isə təxminən konusa bənzəyir. Xiyarı uzunluğuna perpendikulyar doğrasan, dilimlər təxminən dairəvi olur və ölçüləri bir-birinə yaxın çıxır. Yerkökünü də eyni cür doğra: dilimlər yenə təxminən dairəvidir, amma uca yaxınlaşdıqca kiçilir.

İndi xiyarı uzununa, düz ortadan kəs. Kəsilən üz uzun bir zolaqdır. Xiyarı silindr kimi təsəvvür etsən, bu zolağın eni oturacağın diametrinə bərabərdir. Bıçağı ortadan bir az kənara çəksən, zolaq daralır. Yəni bıçağın harada keçdiyi kəsiyin ölçüsünü müəyyən edir.

Həndəsədə tərəvəzin yerinə dəqiq silindr və konus götürürük, bıçağın yerinə isə müstəvi.

Niyə lazımdır

Kəsik fəza fiqurunu müstəvi fiqura çevirir. Silindrin oxa paralel kəsiyində düzbucaqlı, konusun ox kəsiyində isə bərabəryanlı üçbucaq alırsan, onlarla isə Pifaqor teoremi və triqonometriya rahat işləyir. Məsələn, silindr formalı kötükdən oxa paralel, mərkəzdən kənarda taxta kəsilsə, taxtanın eni oturacaq dairəsinin vətəri olur.

İmtahanda kəsik çox vaxt sonuncu addım deyil, başlanğıcdır: kəsikdən $r$ və $h$ -ı tapırsan, sonra onlarla həcmə və ya səthə keçirsən. Kəsiyi düz oxusan, qalan hesablama asanlaşır.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda kəsiyin formasını tanımaqla silindrin və ya konusun ölçülərini müəyyənləşdirirsən. Konusun doğuranı və ox kəsiyinin təpə bucağı verildikdə, yaxud doğuranı və ox kəsiyinin sahəsi verilib $S_{\text{ox}}=l^2/2$ şərti ödəndikdə radiusu və hündürlüyü tapıb həcm və tam səth hesablamasına keçə bilərsən. Silindrdə isə ox kəsiyinin diaqonalı ilə doğuran arasındakı bucağı tapmaq tələb oluna bilər.

Qayda

Müstəvi kəsiyi cismin kəsən müstəvidə qalan hissəsidir. Burada $r$ oturacağın radiusunu, $h$ hündürlüyü, $l$ isə konusun doğuranını bildirir.
Ox kəsiyi üçün kəsən müstəvi cismin oxunu özündə saxlamalıdır. Silindrdə alınan düzbucaqlının ölçüləri diametr və hündürlükdür: $S_{\text{ox}}=2rh$ .
Silindri oxuna paralel müstəvi ilə kəsdikdə düzbucaqlı alınır. Onun bir tərəfi $h$ , digəri oturacaqda yaranan vətərdir. Mərkəzdən vətərə endirdiyin perpendikulyar vətəri yarıya bölür; radiusla birlikdə düzbucaqlı üçbucaq yaranır.
Konusun ox kəsiyində bərabəryanlı üçbucağın bərabər tərəfləri $l$ , oturacağı $2r$ , hündürlüyü $h$ olur. Buna görə $S_{\text{ox}}=rh$ . Hündürlük təpə bucağını yarıya bölür; yaranan düzbucaqlı üçbucaqda katetlər $r$ və $h$ , hipotenuz $l$ olur.
Paralel kəsik oturacaq müstəvisinə paralel aparıldıqda hər iki cisimdə dairə alınır. Silindrdə bu dairənin radiusu oturacağın radiusu qədərdir. Konusda isə təpəyə yaxınlaşdıqca kəsik kiçilir.
Konusun təpəsindən ox boyunca $x$ məsafədəki paralel kəsiyin sahəsi $S_x$ , oturacağının sahəsi $S$ olarsa, $\frac{S_x}{S}=\frac{x^2}{h^2}$ , burada $0<x<h$ . Bu münasibət ox kəsiyindəki üçbucaqların oxşarlığından alınır.
Bərabərtərəfli silindr üçün ox kəsiyi kvadratdır və $h=2r$ . Bərabərtərəfli konusun ox kəsiyi bərabərtərəfli üçbucaqdır və $l=2r$ .

Silindri özün kəs

Radiusu, hündürlüyü və kəsən müstəvinin oxdan məsafəsini dəyiş. Oxa paralel kəsiyin necə dəyişdiyinə bax.

Nümunələr

Radiusu

10

sm, hündürlüyü

7

sm olan silindri oxdan

6

sm uzaqlıqda oxa paralel müstəvi kəsir. Kəsiyin sahəsini tap. Vətərin yarısını

a

götür:

a^2=10^2-6^2=64

, deməli,

a=8

sm. Düzbucaqlının eni

16

sm olduğundan sahə

16\times7=112

sm² alınır.

Konusda doğuran $6\sqrt{2}$ sm, ox kəsiyində təpə bucağı $90^\circ$ olarsa, həmin kəsiyin sahəsini tap. Hündürlük bu bucağı iki $45^\circ$ bucağa ayırır, ona görə $r=h$ . Pifaqor teoremi ilə $2r^2=(6\sqrt{2})^2=72$ alırsan. Beləliklə, $r=h=6$ sm və $S_{\text{ox}}=6\times6=36$ sm².

Silindrin ox kəsiyində diaqonal $14$ sm, hündürlük $7\sqrt{3}$ sm-dir. Diaqonalla doğuran arasındakı $\alpha$ bucağını tap. Doğuran düzbucaqlının hündürlük tərəfidir. Buna görə $\cos\alpha=\frac{7\sqrt{3}}{14}=\frac{\sqrt{3}}2$ , yəni $\alpha=30^\circ$ .

Tipik səhv

Silindrdə $r=5$ sm, $h=8$ sm: $S_{\text{ox}}=r\times h=5\times8=40$ sm².

Ox kəsiyinin eni $2r$ -dir: $S_{\text{ox}}=2rh=2\times5\times8=80$ sm².

Ox kəsiyinin enini radiusla qarışdırma: bu uzunluq diametrdir; oxa paralel kəsik oxdan keçmirsə, eni diametrdən kiçikdir, onu vətər kimi hesabla.

Konusda da eyni tələ var: təpə bucağını bütöv şəkildə kiçik düzbucaqlı üçbucaqda işlətmə, əvvəlcə yarısını götür.

Özünü yoxla

Silindrin hündürlüyü $6$ sm, ox kəsiyinin sahəsi $84$ sm²-dir. Oturacağın radiusunu tap.

Konusun ox kəsiyinin bərabər tərəfləri $13$ sm, oturacağı $10$ sm-dir. Bu kəsiyin sahəsini tap.

Konusun hündürlüyü $12$ sm, oturacağının sahəsi $81\pi$ sm²-dir. Təpədən ox boyunca $4$ sm məsafədə oturacağa paralel kəsiyin sahəsini tap.

Bu mövzunun sınağı

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahını oxu.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Silindrin və konusun müstəvi kəsikləri», səh. 118