Riyaziyyat, Fırlanma fiqurları, onların səthi və həcmi

Sfera və kürə: səthin sahəsi, həcmi və kəsiyi

Kürənin səthinin sahəsini, həcmini və kəsiyini hesablamağı öyrənəcəksən, radius dəyişəndə onların neçə dəfə dəyişdiyini də biləcəksən.

Oxumaq 3 dəqiqə çəkir

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta masanın üstündə bir neçə bütöv portağal və yarıya kəsilmiş bir portağal.

Portağalı soy. Əlində iki şey qalır: nazik qabıq və içindəki şirəli hissə. Qabıq kürənin səthinə bənzəyir, içi isə onun həcminə. Riyaziyyat bu ikisini ayrı-ayrı düsturlarla ölçür.

Maraqlısı budur: formaca eyni, amma diametri iki dəfə böyük portağal götürsən, qabığının sahəsi dörd dəfə, içi isə səkkiz dəfə çox olar. Yəni səthin sahəsinin həcmə nisbəti iki dəfə azalır.

Bu, təsadüf deyil. Sahə radiusun kvadratı ilə, həcm isə kubu ilə böyüyür. Bəs düsturların özü necədir?

Niyə lazımdır

Kürə hər yerdədir: top, sabun köpüyü, podşipnikdəki metal kürəciklər. Topun içinə nə qədər hava sığdığını, ya da onu örtmək üçün nə qədər material lazım olduğunu bilmək istəyirsənsə, elə bu iki düstur lazımdır.

İmtahanda bu mövzu tez yığılan xaldır: düstur azdır, ideya aydındır. Amma radiusla diametri qarışdırsan, düzgün düsturla belə səhv cavab alırsan. Ona görə hər addımda əvvəl radiusu dəqiqləşdirmək vərdişi qazan.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Kürənin radiusundan və ya diametrindən istifadə edib səthinin sahəsini, həcmini hesablamaq tələb oluna bilər. Radius dəyişəndə bu kəmiyyətlərin neçə dəfə dəyişdiyini müəyyənləşdirməyi də bacarmalısan. Bəzən həcm nisbətindən sahə nisbətinə keçirsən. Kürənin daxilinə çəkilmiş silindr olan məsələlərdə isə əvvəlcə ox kəsiyindən ölçüləri müəyyənləşdirir, sonra səthlərin sahələrini müqayisə edirsən.

Qayda

Sfera yalnız səthdir: onun hər nöqtəsi mərkəzdən eyni $R$ məsafəsindədir. Kürə həmin səthlə birlikdə onun daxilindəki nöqtələri də əhatə edir; mərkəzə məsafə $R$ -dən böyük olmur.
Radius mərkəzi səthin bir nöqtəsi ilə birləşdirir. Səthdəki iki nöqtə arasındakı parça vətərdir; mərkəzdən keçirsə, diametr adlanır. Diametr radiusun iki mislidir. Yarımdairəni diametri ətrafında fırlatmaqla kürə alırsan.
Kəsik üçün müstəvi kürənin daxilindən keçməlidir. Alınan dairənin mərkəzi, kürənin mərkəzindən müstəviyə endirilən perpendikulyarın oturacağıdır. Kürənin radiusu $R$ , bu perpendikulyarın uzunluğu $d$ , kəsiyin radiusu $r$ olduqda $r^2=R^2-d^2$ . Burada $0\le d<R$ şərti ödənir.
Böyük dairə mərkəzdən keçən kəsikdir. Onun radiusu kürəninki ilə eynidir və bu kəsik kürəni iki yarımkürəyə bölür.
Səthin sahəsi $S=4\pi R^2$ düsturu ilə hesablanır. Bu, böyük dairənin sahəsinin dörd mislidir. Sahə vahidi, məsələn, sm² olur.
Həcm üçün $V=\frac{4}{3}\pi R^3$ düsturunu işlədirsən. Həcm vahidi, məsələn, sm³ olur. Radiusu müsbət $k$ dəfə böyütdükdə sahə $k^2$ , həcm $k^3$ dəfə böyüyür; bunu düsturlarda radiusun yerinə $kR$ yazmaqla görə bilərsən.

Radiusu dəyiş, nəticəyə bax

Sürgünü hərəkət etdir və kürənin radiusunu seç. Böyük dairənin sahəsi, səthin sahəsi və həcm dərhal yenidən hesablanır.

Nümunələr

Kürənin diametri

12

sm-dir. Həcmini tap.

Həllə bax

Əvvəl radiusu hesabla: $R=12:2=6$ sm. Sonra $V=\frac{4}{3}\pi\times6^3=288\pi$ sm³ alırsan.

İri kürənin həcmi kiçiyin həcmindən $64$ dəfə çoxdur. Səthlərinin sahə nisbətini tap.

Həllə bax

Radiusların nisbətinin kubu $64$ olduğundan radiuslar nisbəti $4$ -dür. Sahələr nisbəti isə $4^2=16$ olur.

Radiusu $13$ sm verilən kürə mərkəzindən $5$ sm uzaqlıqdakı müstəvi ilə kəsilir. Kəsiyin sahəsini tap.

Həllə bax

$r^2=13^2-5^2=144$ olduğuna görə dairənin sahəsi $\pi\times144=144\pi$ sm²-dir.

Kürənin səthinin sahəsi

36\pi

sm²-dir. Həcmini tap.

Həllə bax

Sahə düsturundan radiusu tap: $4\pi R^2=36\pi$ , buradan $R^2=9$ .
Radius müsbətdir, ona görə $R=3$ sm.
İndi həcmi hesabla: $V=\frac{4}{3}\pi\times3^3=\frac{4}{3}\pi\times27=36\pi$ sm³.
Ədəd eyni çıxdı, amma vahid başqadır: sahə sm², həcm sm³ ilə ölçülür.

$36\pi$ sm³

Tipik səhv

Diametr $10$ sm-dir, deməli $V=\frac{4}{3}\pi\times10^3$ .

$R=10:2=5$ sm, deməli $V=\frac{4}{3}\pi\times5^3=\frac{500}{3}\pi$ sm³.

Diametri birbaşa radiusun yerinə yazma: əvvəl onu yarıya böl.

Başqa məsələlərdə də eyni diqqət lazımdır: həcm nisbətini sahə nisbəti kimi götürmə, əvvəl radiuslar nisbətini müəyyənləşdir; kəsiyin dairə olduğunu da unutma, onun sahəsini hesablayanda sferanın səth düsturundan istifadə etmə.

Özünü yoxla

Kürənin diametri $14$ sm-dir. Səthinin sahəsini tap.

İki kürədən böyüyünün səthinin sahəsi kiçiyin səthinin sahəsindən $9$ dəfə çoxdur. Böyük kürənin həcmi kiçiyin həcmindən neçə dəfə çoxdur?

Radiusu $10$ sm olan kürənin müstəvi ilə kəsiyinin radiusu $6$ sm-dir. Kürənin mərkəzindən bu müstəviyə qədər məsafəni tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Kürə və hissələrinin səthinin sahəsi», səh. 123
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 2-ci hissə, 7.5 «Kürə. Kürə səthinin sahəsi və həcmi», səh. 42