Riyaziyyat, Rasional ifadələr

Rasional kəsrlər üzərində əməllər: toplama, vurma, bölmə

Rasional kəsrləri toplamağı, çıxmağı, vurmağı, bölməyi və qüvvətə yüksəltməyi, sonda da cavabını yoxlamağı öyrənəcəksən.

Oxumaq 3 dəqiqə çəkir

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ neçədir? Tələsən adam surəti surətlə, məxrəci məxrəclə toplayıb $\frac{2}{5}$ yazır. Amma yarıma müsbət ədəd əlavə etsən, cəm yarımdan böyük olar, $\frac{2}{5}$ isə yarımdan kiçikdir. Düzgün cavab $\frac{5}{6}$ -dir.

Rasional kəsrlər eyni oyunun hərfli variantıdır: surətdə və məxrəcdə ədədin yerində çoxhədli durur. Yaxşı xəbər odur ki, sıfırdan yeni qayda öyrənmirsən. Adi kəsrlərdə işləyən hər şey burada da işləyir, sadəcə ixtisardan əvvəl çoxhədlini vuruqlara ayırmaq lazım gəlir.

Niyə lazımdır

Kəsrli ifadəni sadələşdirmək bundan sonrakı mövzuların çoxunda lazım olur: rasional tənliklərdə, funksiyalarda, hətta fizikada. Məsələn, paralel qoşulmuş iki rezistorun ümumi müqaviməti $\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$ düsturu ilə tapılır. Buradan $R$ -i tapmaq üçün də iki kəsri ortaq məxrəcə gətirmək lazımdır.

Testdə isə bu mövzu çox vaxt uzun, qorxulu görünən ifadənin bir ədədə çevrilməsi ilə bitir. Vuruqlara ayırmanı tez görən iki-üç sətirdə işini bitirir. Görməyən isə mötərizə açmaqla vaxt itirir.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Tapşırıqda iki rasional kəsrin qisməti və ya hasili verilir, çoxhədlilər kub və ya kvadrat şəklində vuruqlara ayrılır, sonra ifadə sadələşdirilir. Cavab çox vaxt bir ədəd olur, məsələn $\frac{1}{2}$ və ya $0{,}5$ . Eyni məxrəcli kəsrləri toplamaq, müxtəlif məxrəcli kəsrləri çıxmaq və kəsri qüvvətə yüksəltmək tapşırıqları da gələ bilər. Bəzən məsələ elə qurulur ki, sadələşdirilmiş ifadəyə dəyişənin verilmiş qiymətini yerinə qoymaq lazım gəlir.

Qayda

Məxrəcləri eyni olan kəsrlərdə surətlər toplanır və ya çıxılır, məxrəc dəyişmir: $\frac{A}{C}\pm\frac{B}{C}=\frac{A\pm B}{C}$ . Məxrəcləri müxtəlif olanları əvvəlcə ortaq məxrəcə gətirmək lazımdır.
Vurma: $\frac{A}{B}\times\frac{C}{D}=\frac{A\times C}{B\times D}$ .
Bölmə: ikinci kəsr tərsinə çevrilir (surəti və məxrəci yerini dəyişir) və vurma aparılır: $\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\times\frac{D}{C}$ .
Qüvvətə yüksəltmə: $\left(\frac{A}{B}\right)^n=\frac{A^n}{B^n}$ .
Əməldən əvvəl surət və məxrəc vuruqlara ayrılsa, ixtisar asan olur. Kəsrin məxrəcini sıfıra çevirən qiymətlər kənarlaşdırılır (nəzərə alınmır).
Əməllər ardıcıllığı adi qaydadır: əvvəlcə mötərizə, sonra qüvvətə yüksəltmə, sonra vurma və bölmə, ən axırda toplama və çıxma. Nəticə mümkün olduqda ixtisar edilməlidir.

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\times\frac{D}{C}\\[6pt] (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\end{gathered}

Kəsrə bölmək, onun tərsinə vurmaq deməkdir. Surətdəki $x^3-3x^2+3x-1$ ifadəsi $(x-1)^3$ kimi yazılır, sonra ortaq vuruqlar ixtisar olunur.

Əvvəl sadələşdir, sonra hesabla

Hər ifadəni əvvəlcə sadələşdir, sonra dəyişənin verilmiş qiymətini yerinə qoy. Sadələşdirsən, hesab çox asanlaşır.

Nümunələr

\frac{2}{x-1}-\frac{3}{x+1}

ifadəsini sadələşdir.

Həllə bax

Ortaq məxrəc $(x-1)(x+1)=x^2-1$ olur: $\frac{2(x+1)-3(x-1)}{x^2-1}=\frac{2x+2-3x+3}{x^2-1}=\frac{5-x}{x^2-1}$ . Yoxlama: $x=2$ üçün $\frac{2}{1}-\frac{3}{3}=1$ və $\frac{5-2}{4-1}=\frac{3}{3}=1$ .

Ortaq məxrəcə gətirmə
Kəsr	Əlavə vuruq	Yeni surət
$\frac{2}{x-1}$	$x+1$	$2(x+1)$
$\frac{3}{x+1}$	$x-1$	$3(x-1)$

$\frac{x^2-4}{x^2+2x}\times\frac{3x}{x-2}$ hasilini tap.

Həllə bax

Vuruqlara ayıraq: $\frac{(x-2)(x+2)}{x(x+2)}\times\frac{3x}{x-2}$ . Ortaq vuruqlar $x-2$ , $x+2$ və $x$ ixtisar olunur, nəticə $3$ alınır. Yoxlama: $x=3$ üçün $\frac{5}{15}\times 9=3$ .

$\left(\frac{2a}{3b}\right)^3:\frac{4a}{9b^2}$ ifadəsini sadələşdir.

Həllə bax

Əvvəlcə qüvvətə yüksəldirik: $\frac{8a^3}{27b^3}$ . Sonra tərsinə vururuq: $\frac{8a^3}{27b^3}\times\frac{9b^2}{4a}=\frac{2a^2}{3b}$ . Yoxlama: $a=3$ , $b=1$ üçün $8:\frac{4}{3}=6$ və $\frac{2\times 9}{3}=6$ .

Tipik səhv

$\frac{x}{3}-\frac{x-1}{3}=\frac{x-x-1}{3}$ : çıxma işarəsi ikinci surətin yalnız birinci həddinə tətbiq olunub, qalan hədd unudulub.

$\frac{x}{3}-\frac{x-1}{3}=\frac{x-(x-1)}{3}=\frac{x-x+1}{3}=\frac{1}{3}$ . Yoxla: $x=4$ üçün $\frac{4}{3}-\frac{3}{3}=\frac{1}{3}$ .

Kəsrin bütün surəti çıxılır, buna görə çıxılan surət mötərizəyə alınmalıdır. Çıxılan surətdə birdən çox hədd varsa, mötərizəni aç və hər həddin işarəsini əksinə çevir.

Əməlin sonunda nəticəni yoxla: dəyişənə kiçik bir qiymət ver və iki ifadənin eyni ədəd verdiyinə bax.

Mövzu üzrə test

$x\neq 0$ olduqda $\frac{x+2}{x}-\frac{1}{2x}$ ifadəsini sadələşdir.

$a\neq -1$ və $a\neq 3$ olduqda $\frac{a^2-6a+9}{a+1}:\frac{a-3}{2a+2}$ ifadəsini sadələşdir.

$y\neq 0$ olduqda $\left(\frac{2}{y}\right)^2+\frac{3}{y^2}$ ifadəsini sadələşdir.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 5.2 «Rasional kəsrlərin vurulması və bölünməsi», səh. 11
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 5.3 «Rasional kəsrlərin toplanması və çıxılması», səh. 14