Riyaziyyat, Rasional ifadələr

Müxtəsər vurma düsturları: qayda, nümunələr və test

Müxtəsər vurma düsturlarını tanıyıb həm ədədlərlə hesablamanı, həm də hərfli ifadələri sadələşdirə biləcəksən.

Oxuma vaxtı: 4 dəqiqə

İki ayrı

ab

sahəsini topla: cəmin kvadratındakı

2ab

buradan gəlir.

$99^2$ hesabını görəndə kağız axtarmağa tələsmə. Əvvəl $99$ -un yerinə $100-1$ yaz. İndi qarşında $(100-1)^2$ var. Yüzün kvadratını tapmaq rahatdır, amma buradan sadəcə bir çıxmaqla iş bitmir.

Hesab belə gedir: $(100-1)^2=10000-200+1=9801$ . Buradakı $200$ təsadüfən peyda olmayıb: o, $2\times100\times1$ hasilidir. Sonuncu $1$ isə çıxılan ədədin kvadratıdır. Beləcə, böyük görünən vurma bir neçə sadə əmələ çevrilir.

Bu qısa yolun adı fərqin kvadratıdır. Müxtəsər vurma düsturları belə işləyir: ifadənin görünüşünü dəyişirsən, qiyməti isə olduğu kimi qalır. Əsas məsələ bütün hesabı başdan aparmaq deyil, ifadədə tanış quruluşu görməkdir.

Niyə lazımdır

İmtahanda böyük ədədlərin hasili ilə qarşılaşanda onları yaxın bir ədədin köməyi ilə yazmaq hesabı yüngülləşdirə bilər. Məsələn, iki vuruq eyni ədəddən bərabər uzaqdadırsa, kvadratlar fərqi köməyə gəlir.

Hərfli ifadədə isə toplananların sırası dəyişə bilər. Bu, düsturu dəyişmir, sadəcə onu tanımağı çətinləşdirir. Ona görə əvvəl kvadratları və aradakı hasili axtar. Sonra işarələrə bax: cəm görmüsən, yoxsa fərq? Birhədli varsa, qüvvətə yüksəldərkən onun əmsalını da nəzərə al; yalnız hərfi kvadrata yüksəltmək kifayət etmir.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahan müxtəsər vurma düsturlarını iki cür yoxlayır. Birincisi, böyük ədədlərlə hesablamadır: kvadratlar fərqi, kublar cəmi və cəmin kvadratı düsturlarından istifadə edib ifadənin qiyməti sadə yolla tapılır. İkincisi, hərfli ifadənin sadələşdirilməsidir: toplananların yeri dəyişdirilmiş ifadədə düstur tanınmalı, birhədlinin qüvvəti düzgün hesablanmalıdır. Bəzən $a$ və $b$ yerinə kök işarəli ədədlər də yazılır, düstur isə eyni qalır. Ona görə düsturları dəqiq bilmək və ifadəyə baxan kimi hansı düsturun uyğun gəldiyini seçmək vacibdir.

Qayda

Cəmin kvadratı: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ .
Fərqin kvadratı: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ .
Kvadratlar fərqi: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ . İki ədəd eyni bir ədəddən bərabər məsafədə olanda onların hasilini bu düsturla tez tapmaq olar.
Cəmin kubu: $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ , fərqin kubu isə $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ .
Kublar cəmi: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ . Kublar fərqi: $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ .
$a$ və $b$ yerinə ədəd, hərf və ya birhədli yazmaq olar. Yerinə yazdığın ifadəni tam kvadrata və ya kuba yüksəlt: $(2x)^2=4x^2$ , yəni həm əmsal, həm də hərf qüvvətə yüksəlir.

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

3 tapşırıqda işlənib

İki ədədin kvadratları fərqi onların fərqi ilə cəminin hasilinə bərabərdir. Burada $a=828$ , $b=72$ götürülür, sonra alınan hasil məxrəclə ixtisar olunur.

İki ədədin kvadratları fərqi onların fərqi ilə cəminin hasilinə bərabərdir. Burada $49^2-29^2$ və $46^2-26^2$ cütləri ayrıca çevrilir, hər biri $20$ vuruğunu verir.

İki ədədin kvadratları fərqi onların fərqi ilə cəminin hasilinə bərabərdir. Burada $a=82$ , $b=18$ götürülür və alınan hasildən kvadrat kök çıxarılır.

Öyrənilməli düstur

(a-b)(a+b)=a^2-b^2

İki ədədin cəmi ilə fərqinin hasili onların kvadratlarının fərqinə bərabərdir. Burada $a=5$ , $b=6y^3$ götürülür və $b^2=36y^6$ olur.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\\[6pt]a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\end{gathered}

Surətdəki $a^3+b^3$ vuruqlara ayrılır və $a+b=100$ məxrəcdəki $100$ ilə ixtisar olunur. Qalan ifadədən $ab$ çıxanda fərqin kvadratı alınır.

Öyrənilməli düstur

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Fərqin kvadratında orta hədd $-2ab$ olur, yəni hasilin iki misli çıxılır. Bu tapşırıqda $a=\sqrt{7}$ və $b=\sqrt{3}$ olduğundan orta hədd $-2\sqrt{21}$ olur; $\sqrt{84}=2\sqrt{21}$ olduğuna görə bu həddlər bir-birini sıfırlayır.

Öyrənilməli düstur

(a-b)(a+b)=a^2-b^2,\quad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2

$98\times 102=(100-2)(100+2)=100^2-2^2=9996$ hesablamasında kvadratlar fərqi düsturunu tətbiq et. $99^2=(100-1)^2=100^2-2\times 100\times 1+1^2=9801$ hesablamasında isə fərqin kvadratı düsturundan istifadə et.

Kalkulyatoru qabaqla

Ekrandakı kalkulyatorun düymələri hər 1,5 saniyədə bir dəfə, növbə ilə basılır; son düymə basılmamış düzgün cavab versən, raundu qazanırsan. Bu temp oyunun öz ayarıdır, real kalkulyatorun sürət ölçüsü deyil.

Nümunələr

103\times 97

hasilini hesabla:

(100+3)(100-3)=100^2-3^2=10000-9=9991

$(3x-2)^2$ ifadəsini aç: $a=3x$ , $b=2$ götürsən, $(3x)^2-2\times 3x\times 2+2^2=9x^2-12x+4$ alınır.

$\dfrac{7^3+3^3}{10}-7\times 3$ ifadəsinin qiymətini tap. Kublar cəmindən $7^3+3^3=(7+3)(49-21+9)=10\times 37$ . Onda ifadə $37-21=16$ olur. Yoxlama: $343+27=370$ , $370:10=37$ .

$(4a-7)^2-16a^2$ ifadəsini sadələşdir. Fərqin kvadratından $16a^2-56a+49$ alınır. Çıxdıqda $16a^2-56a+49-16a^2=49-56a$ qalır.

Tipik səhv

$(x+8)^2=x^2+64$ .

$(x+8)^2=x^2+16x+64$ .

Ən çox yayılmış səhv cəmin kvadratında ikiqat hasili buraxmaqdır; ikinci səhv fərqin kvadratında sonuncu həddi mənfi yazmaqdır: düzgün cavab $(x-8)^2=x^2-16x+64$ , çünki ikinci həddin kvadratı $8^2=64$ müsbət ədəddir.

Üçüncü səhv kublar cəmində ikinci vuruğu $(a+b)^2$ və ya $(a-b)^2$ kimi yazmaqdır; doğru vuruq $a^2-ab+b^2$ olur, orada orta hədd ikiqat deyil, $-ab$ -dir; yoxlamaq üçün $a=2$ , $b=1$ götür: $2^3+1^3=9$ və $(2+1)(4-2+1)=9$ ; dördüncü səhv $(a-b)^3$ ilə $a^3-b^3$ ifadəsini eyni saymaqdır: fərqin kubunda orta hədlər də var, ona görə bunlar fərqli ifadələrdir.

İki zolağı çıxanda küncü iki dəfə çıxırsan; bir

b^2

əlavə et ki,

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

alınsın.

İndi düsturu sən tanı

$16+24x+9x^2$ ifadəsi hansı kvadrata bərabərdir?

$4^3+1^3=(4+1)\times M$ bərabərliyində $M$ neçədir?

$(6-2)^3=6^3-2^3$ yazmaq olarmı?

Mövzu sınağında özünü yoxla

Bu mövzunun tapşırıqlarını cavablandır, nəticəni izahlarla birlikdə gör.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 4.1 «Cəmin və fərqin kvadratı», səh. 83
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 4.2 «İki ədədin cəmi ilə fərqinin hasili», səh. 87
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 4.3 «Cəmin və fərqin kubu. Kublar cəmi və kublar fərqi», səh. 90