Riyaziyyat, Rasional ifadələr

Çoxhədlinin vuruqlara ayrılması: cəmdən hasilə

Çoxhədlini ortaq vuruq, qruplaşdırma və düsturlarla hasil şəklində yazmağı, cavabını isə mötərizələri açıb yoxlamağı öyrənəcəksən.

Oxuma vaxtı: 3 dəqiqə

$13 \times 7$ hesablamaq asandır: $91$ alınır. Bəs sənə əvvəlcə $91$ verilsə və bunun hansı iki ədədin hasili olduğunu soruşsalar? Burada artıq bir az fikirləşmək lazımdır. Vurmaq bir istiqamətdir, vuruqlara ayırmaq isə onun əksidir.

Çoxhədlilərdə də belədir. $x(x+3)$ ifadəsində mötərizəni açıb $x^2+3x$ yazmaq bir saniyəlik işdir. Əks yol isə bu mövzunun özüdür: $x^2+3x$ ifadəsinə baxıb onun $x$ ilə $x+3$ -ün hasili olduğunu görmək.

Bunun həndəsi mənası da var. Sahəsi $x^2+3x$ olan düzbucaqlının tərəfləri $x$ və $x+3$ ola bilər. Yəni vuruqlara ayırmaq sahəyə baxıb tərəfləri tapmağa bənzəyir.

Niyə lazımdır

Hasil şəklində yazılmış ifadə ilə işləmək daha rahatdır. Kəsrin surəti və məxrəci vuruqlara ayrılanda ortaq vuruğu ixtisar edə bilirsən. Böyük ədədlərlə hesablamanı da çox vaxt kalkulyatorsuz, bir-iki sətirdə bitirirsən.

Sonra kvadrat tənliklərdə də eyni fikir işləyəcək: hasil sıfıra bərabərdirsə, vuruqlardan biri sıfırdır. Ona görə bu bacarığı indi yaxşı mənimsəsən, sonrakı mövzuların çoxu sənə xeyli asan gələcək.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahan çoxhədlini hasil şəklində yazmağı tələb edir. Ən çox ortaq vuruğu mötərizə xaricinə çıxarmaq verilir, cavab variantlarında isə ortaq vuruğu natamam çıxarmış və ya əmsalı səhv götürmüş ifadələr olur. Bunun yanında kvadratlar fərqi və fərqin kvadratı düsturlarının köməyi ilə kəsrləri sadələşdirmək, ədədi ifadələri rahat yolla hesablamaq da soruşulur. Qruplaşdırma üsulu isə dörd həddi olan çoxhədlilərdə işlənir. Cavab seçimi şübhəli görünəndə mötərizələri açmaq sürətli yoxlama üsuludur.

Qayda

Çoxhədlinin vuruqlara ayrılması onun bir neçə çoxhədlinin hasili şəklində yazılmasıdır.
Ortaq vuruq: tam əmsallı çoxhədlidə əmsalların modullarının ƏBOB-u ilə bütün hədlərdə ortaq olan dəyişənlərin ən kiçik qüvvətlərinin hasilidir. Onu mötərizə xaricinə çıxar, hər həddi ona böl.
Qruplaşdırma: dörd həddi olan çoxhədlinin hədlərini cüt-cüt qruplaşdır, hər qrupdan ortaq vuruğu çıxar. Mötərizələr eyni alınsa, onu da ortaq vuruq kimi çıxar.
Düsturla: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ , $a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2$ , $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$ .
Əvvəlcə ortaq vuruq axtar, sonra mötərizədəki ifadəyə düstur tətbiq et, bu ifadə hələ də vuruqlara ayrıla bilərsə, işi davam etdir. Vuruqlar $x-y$ və $y-x$ kimi olanda $y-x=-(x-y)$ yaz.
Yoxlama: mötərizələri açıb əvvəlki çoxhədlini almalısan.

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

ax+ay=a(x+y)

Çoxhədlinin bütün hədlərində təkrarlanan vuruğu tap və mötərizənin qarşısına yaz. Burada hər iki həddin ortaq vuruğu $12a$ -dır: $12$ əmsalların ən böyük ortaq böləni, $a$ isə ortaq dəyişəndir.

Öyrənilməli düstur

ab+ac=a(b+c)

Bütün hədlərdə təkrarlanan $a$ vuruğu mötərizə xaricinə çıxarılır. Burada $25-5a$ ifadəsinin hər iki həddində $5$ təkrarlanır.

Öyrənilməli düstur

a^2-2ab+b^2=(a-b)^2,\quad a^2-b^2=(a-b)(a+b)

Kəsrin surəti $(a-b)^2$ , məxrəci isə $(a-b)(a+b)$ kimi vuruqlara ayrılır və ortaq vuruq ixtisar olunur. Burada $a=7{,}5$ , $b=2{,}5$ olduğundan $\frac{a-b}{a+b}$ hesablanır.

Düzgün hasili seç

Hər ifadə üçün sona qədər vuruqlara ayrılmış yazılışı seç. Şübhələnirsənsə, mötərizələri ağlında aç və yoxla.

Nümunələr

18x^3y-12x^2y^2

ifadəsində əmsalların modullarının ƏBOB-u

6

, ortaq dəyişən hissə

x^2y

-dir. Alınır:

6x^2y(3x-2y)

. Yoxlama:

6x^2y\times 3x=18x^3y

və

6x^2y\times 2y=12x^2y^2

$xy+3x-4y-12$ ifadəsini qruplaşdıraq: $(xy+3x)+(-4y-12)=x(y+3)-4(y+3)=(y+3)(x-4)$ .

$8a^2-50$ ifadəsində ortaq vuruq $2$ -dir: $2(4a^2-25)$ . Mötərizədə kvadratlar fərqi var: $2(2a-5)(2a+5)$ .

Vuruqlara ayırmanı sona çatdır
Addım	İfadə
Başlanğıc	$8a^2-50$
Ortaq vuruq	$2(4a^2-25)$
Kvadratlar fərqi	$2(2a-5)(2a+5)$

$63^2-37^2=(63+37)(63-37)=100\times 26=2600$ .

2x^3+16

ifadəsini vuruqlara ayır.

Həllə bax

Əvvəlcə ortaq vuruğu axtar: hər iki həddə $2$ var, deməli $2x^3+16=2(x^3+8)$ .
$8=2^3$ olduğundan mötərizədə kubların cəmi var: $x^3+2^3$ .
Düsturla: $x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$ .
Yoxlama: $(x+2)(x^2-2x+4)=x^3-2x^2+4x+2x^2-4x+8=x^3+8$ . Önündəki $2$ ilə birlikdə yenidən $2x^3+16$ alınır.

$2(x+2)(x^2-2x+4)$

Tipik səhv

$6x^2+6x=6x(x)$

$6x^2+6x=6x(x+1)$

Çoxları həddin özü ortaq vuruğa bərabər olanda mötərizədə $1$ yazmağı unudur. Halbuki $6x \times 1=6x$ olduğuna görə həmin həddin yerində $1$ qalır. Mötərizəni açıb yoxla: $6x(x)$ sadəcə $6x^2$ verir.

Daha iki səhvə diqqət et. $x^2+9$ ifadəsini $(x+3)(x-3)$ kimi yazmaq olmaz, çünki bu hasil $x^2-9$ edir, yəni işarəsi fərqlidir. Bir də işi yarımçıq buraxma: üçüncü nümunədə $2(4a^2-25)$ yazıb dayanmaq kifayət deyil, çünki mötərizədəki ifadə də vuruqlara ayrılır.

Özünü yoxla

$12a^2b-8ab^2+4ab$ ifadəsində ortaq vuruğu mötərizə xaricinə çıxar. Düzgün yazılışı seç.

$a(x-y)+4(y-x)$ ifadəsini vuruqlara ayır.

$5x^3-45x$ ifadəsinin sona qədər vuruqlara ayrılmış yazılışını seç.

Bu mövzu üzrə sınağa keç

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et, hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 4.4 «Çoxhədlilərin vuruqlara ayrılması», səh. 96
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 4.5 «Müxtəsər vurma düsturlarının köməyi ilə vuruqlara ayırma», səh. 99