Riyaziyyat, Rasional ifadələr

Rasional ifadələr: kəsri ixtisar etmək və sadələşdirmək

Rasional kəsri ixtisar etməyi, kəsrləri toplayıb vurmağı və kəsrin mənası olmayan qiymətləri tapmağı öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

$\frac{12}{18}$ kəsrini ixtisar etməyi çoxdan bilirsən: surəti də, məxrəci də 6-ya bölürsən və $\frac{2}{3}$ alırsan. İndi ədədlərin yerində hərflər olduğunu təsəvvür et, məsələn, $\frac{x^2-25}{x+5}$ . Qorxulu görünür, amma burada da iş eynidir: ortaq vuruğu tapırsan və ona bölürsən. Nəticədə sadəcə $x-5$ qalır.

Bircə fərq var: hərfin yerinə istədiyin ədədi yaza bilməzsən. Kalkulyatorda hansısa ədədi sıfıra bölməyə çalış, cavab əvəzinə ekranda xəta çıxacaq. Rasional kəsrdə də məxrəc sıfır olanda eyni şey olur, ona görə də bu qiymətləri əvvəlcədən ayırmaq lazımdır.

Niyə lazımdır

Rasional ifadələr sonra hər yerdə qarşına çıxacaq: kəsrli tənliklərdə, funksiyalarda, fizikanın düsturlarında. Kəsrli tənliyi həll edəndə də ilk addım çox vaxt elə ixtisar etmək və ya ortaq məxrəcə gətirməkdir.

İmtahanda uzun görünən ifadə çox vaxt bir-iki vuruğa qədər sadələşir. Bunun yaxşı tərəfi də var: hər addımı yoxlamaq asandır. Dəyişənin yerinə bir ədəd yaz, sadələşdirmədən əvvəl və sonra eyni qiymət alınmalıdır.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Ən tez-tez rasional kəsri ixtisar etmək tapşırığı gəlir, məsələn, surəti iki ifadənin kvadratlarının fərqi olan kəsr. Bununla yanaşı, rasional ifadələri sadələşdirmək, kəsrlər üzərində əməlləri yerinə yetirmək və dəyişənin hansı qiymətlərində kəsrin mənası olduğunu tapmaq tapşırıqları da düşə bilər.

Qayda

Surəti və məxrəci çoxhədli olan kəsr rasional kəsrdir, məsələn, $\frac{x+2}{x^2-1}$ . Məxrəci sıfır edən qiymətdə kəsrin mənası olmur.
Kəsrin surəti və məxrəci sıfırdan fərqli eyni ifadəyə vurulduqda və ya bölündükdə kəsr dəyişmir.
İxtisar üçün əvvəlcə surət və məxrəc vuruqlara ayrılır (ortaq vuruğu mötərizə xaricinə çıxarmaq, $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ ), sonra ortaq vuruğa bölünür.
Toplama və çıxmada kəsrlər ortaq məxrəcə gətirilir. Vurmada surət surətə, məxrəc məxrəcə vurulur. Bölmədə birinci kəsr ikinci kəsrin tərsinə vurulur.
$a-b=-(b-a)$ olduğundan, fərqdə azalanla çıxılanın yeri dəyişdirildikdə işarə dəyişdirilir.

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

\frac{x^2-y^2}{x+y}=\frac{(x-y)(x+y)}{x+y}=x-y

Surət iki ifadənin kvadratlarının fərqidir: burada $x=5a$ , $y=4$ . Surəti $(x-y)(x+y)$ hasilinə çevir, sonra məxrəclə eyni olan $x+y$ vuruğunu ixtisar et.

Əvvəl sadələşdir, sonra hesabla

Kəsri ağlında sadələşdir və verilmiş qiymətdə onun qiymətini tap. Sadələşmiş ifadə ilə hesablamaq çox daha asandır.

Nümunələr

\frac{x^2-9}{2x+6}

kəsrini ixtisar et.

Həllə bax

Surət $(x-3)(x+3)$ , məxrəc $2(x+3)$ olur. Ortaq vuruq $x+3$ -dür, ona bölürük: nəticə $\frac{x-3}{2}$ , burada $x\ne -3$ . Yoxlama: $x=5$ üçün $\frac{16}{16}=1$ və $\frac{5-3}{2}=1$ .

Birinci nümunədə x = −3 kənarlaşdırılır: ədəd oxunda boş qırmızı dairə və x ≠ −3 yazısı ilə göstərilib.

$\frac{3}{x-2}+\frac{x}{x^2-4}$ ifadəsini sadələşdir.

Həllə bax

Məxrəc $x^2-4=(x-2)(x+2)$ olduğundan ortaq məxrəc $x^2-4$ -dür. Birinci kəsrin surət və məxrəcini $x+2$ -yə vururuq: $\frac{3(x+2)+x}{x^2-4}=\frac{4x+6}{x^2-4}$ . Yoxlama: $x=3$ üçün $3+\frac{3}{5}=3{,}6$ və $\frac{18}{5}=3{,}6$ .

$\frac{a^2-4}{3a}:\frac{a-2}{6a^2}$ ifadəsini sadələşdir.

Həllə bax

Bölməni vurmaya çeviririk: $\frac{(a-2)(a+2)}{3a}\times\frac{6a^2}{a-2}$ . İxtisardan sonra $2a(a+2)$ alınır, burada $a\ne 0$ , $a\ne 2$ . Yoxlama: $a=3$ üçün $\frac{5}{9}:\frac{1}{54}=30$ və $2\times 3\times 5=30$ .

\frac{4-x^2}{x^2-2x}

kəsrini ixtisar et.

Həllə bax

Surəti vuruqlara ayırırıq: $4-x^2=(2-x)(2+x)$ . Məxrəcdə $x$ -i mötərizə xaricinə çıxarırıq: $x^2-2x=x(x-2)$ .
Vuruqlar $2-x$ və $x-2$ oxşardır, amma eyni deyil. Yerlərini dəyişirik və işarəni də dəyişirik: $2-x=-(x-2)$ .
Onda kəsr $\frac{-(x-2)(x+2)}{x(x-2)}$ olur. $x-2$ ortaq vuruğuna bölürük və $-\frac{x+2}{x}$ alırıq. Burada $x\ne 0$ , $x\ne 2$ .
Yoxlama: $x=1$ üçün əvvəlki kəsr $\frac{3}{-1}=-3$ verir, nəticə də $-\frac{3}{1}=-3$ verir.

$-\frac{x+2}{x}$ , burada $x\ne 0$ , $x\ne 2$

Tipik səhv

$\frac{x+3}{x+5}=\frac{3}{5}$ (surətdəki və məxrəcdəki $x$ -ləri "ixtisar edib")

$\frac{x+3}{x+5}$ kəsrində ortaq vuruq yoxdur, ona görə kəsr olduğu kimi qalır. Yoxlama: $x=1$ üçün $\frac{4}{6}$ alınır, $\frac{3}{5}$ yox.

Şagirdlər surət və məxrəcdə eyni görünən toplananları ixtisar edirlər, amma bu yanlışdır: ixtisar edilən ifadə surətin və məxrəcin vuruğu olmalıdır, toplananı yox.

Düzgün yol belədir: əvvəlcə vuruqlara ayır, sonra ortaq vuruğu ixtisar et. Ortaq vuruq yoxdursa, kəsri olduğu kimi saxla.

Özünü yoxla

$\frac{3x+12}{x+4}$ kəsrini ixtisar et və dəyişənə qoyulan şərti göstər.

$x\ne 0$ və $x\ne -2$ olduqda $\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}$ ifadəsini sadələşdir.

$x\ne 0$ olduqda $\frac{6}{x}:\frac{3}{x^2}$ ifadəsini sadələşdir.

Bu mövzunun sınağını keç

Rasional ifadələr mövzusunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 5.1 «Rasional kəsrlər», səh. 7
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 5.4 «Rasional ifadələr və onların çevrilməsi», səh. 19