Riyaziyyat, Rasional ifadələr

Çoxhədlilər və rasional ifadələr: qalıq, kök və ixtisar

Çoxhədlini bölmədən qalığı tapmağı, naməlum əmsalı müəyyən etməyi və rasional kəsri düzgün ixtisar etməyi öyrənəcəksən.

Oxu müddəti: 3 dəqiqə

$\frac{16}{64}$ kəsrini götür, surətdə və məxrəcdə olan 6 rəqəmlərini poz. $\frac{1}{4}$ qalır və bu, doğru cavabdır. $\frac{19}{95}$ ilə də eyni oyun alınır: 9-ları pozursan, $\frac{1}{5}$ qalır, o da doğrudur.

Amma bu, sadəcə təsadüfdür. $\frac{12}{24}$ kəsrində 2-ləri pozsan, $\frac{1}{4}$ alınır, halbuki kəsr $\frac{1}{2}$ -ə bərabərdir. Rəqəm pozmaq ixtisar deyil.

Cəbrdə də eyni tələ var, sadəcə hərflər rəqəmlərdən daha inandırıcı görünür. Burada nəyin ixtisar oluna biləcəyini, nəyin olmayacağını və uzun bölmə aparmadan qalığı necə tapacağını görəcəksən.

Niyə lazımdır

Çoxhədlilər tənliklərdə, bərabərsizliklərdə və funksiyalarda hər addımda qarşına çıxır. Kub tənliyin bir kökünü tapıb $x-m$ vuruğunu ayıra bilsən, qalan iş adi kvadrat tənliyə çevrilir.

İmtahanda qalıq haqqında teorem sənə vaxt qazandırır: budaqlı bölməni sətir-sətir aparmaq əvəzinə bir ədədi yerinə yazırsan. Kəsri ixtisar edəndə qadağan qiymətləri yadda saxlamaq isə cavabı səhv yazmaqdan qoruyur.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda qalıqsız bölünmə şərtindən naməlum əmsalı tapır, sonra başqa bölənə uyğun qalığı və ya qismətin verilmiş nöqtədəki qiymətini hesablayırsan. Rasional kəsrin hansı parametr qiymətlərində ixtisar olunduğunu da müəyyənləşdirirsən. Bu tapşırıqlarda əsas bacarıq çoxhədlinin kökü ilə vuruğu arasındakı əlaqəni görmək və uyğun çevirməni seçməkdir.

Qayda

Çoxhədli birhədlilərin cəmidir. Oxşar hədləri birləşdirərkən əmsalları topla; mötərizədən əvvəl mənfi işarə varsa, daxilindəki bütün hədlərin işarəsini dəyiş. Vurmada hər həddi digər mötərizənin hər həddinə vur.
Vuruqlara ayırma üçün ortaq vuruğu çıxar, qruplaşdırmadan və düsturlardan istifadə et: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ , $(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$ , $a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$ .
Bölmə əlaqəsi $P=B\times Q+R$ şəklindədir. Bölən sıfır çoxhədlisi deyil; qalıq ya sıfırdır, ya da dərəcəsi bölənin dərəcəsindən kiçikdir. Budaqlı bölmədə baş hədləri böl, alınanı bölənə vur, çıx və prosesi təkrarla.
Qalıq $x-m$ böləni üçün $P(m)$ olur. Deməli, $P(m)=0$ olduqda və yalnız bu halda $x-m$ çoxhədlinin vuruğudur. Bölən $x+c$ olduqda $P(-c)$ hesabla.
Qismətin qiyməti üçün $P(x)=(x-m)Q(x)$ eyniliyindən $Q(t)=\frac{P(t)}{t-m}$ alırsan; burada $t\ne m$ . Beləliklə, qisməti bütövlükdə tapmadan da hesablama apara bilərsən.
Rasional kök axtararkən tam əmsallı çoxhədlidə ixtisar olunmaz $p/q$ kökünün surəti sərbəst həddi, məxrəci baş əmsalı bölməlidir. Namizədləri yerinə yazıb yoxla. Sərbəst hədd sıfırdırsa, əvvəlcə ortaq $x$ vuruğunu çıxar.
Kompleks ədədlərdə $n$ dərəcəli çoxhədlinin təkrarlanma sayı nəzərə alınmaqla $n$ kökü var; onların hamısı həqiqi olmaya bilər.
Rasional kəsr $A/B$ şəklindədir; $A,B$ çoxhədlilərdir və $B\ne0$ . Surəti və məxrəci vuruqlara ayırıb ortaq vuruqları ixtisar et. İlkin məxrəcin sıfır olduğu qiymətlər qadağan qalır.
Kəsrləri toplamaq üçün ortaq məxrəcə gətir; vurarkən surətləri və məxrəcləri ayrıca vur; bölərkən ikinci kəsri çevirib vur. Bölən kəsir sıfır olmamalıdır. Natural $n$ üçün $(A/B)^n=A^n/B^n$ .

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}P(m)=0\iff P(x)=(x-m)Q(x)\\[6pt]Q(t)=\frac{P(t)}{t-m},\quad t\ne m\end{gathered}

$Q(x)$ çoxhədli olduqda $x-m$ vuruğunun mövcudluğu $P(m)=0$ şərtinə bərabərdir. Əvvəl bu şərtlə naməlum əmsalı müəyyən et, sonra qismətin tələb olunan nöqtədəki qiymətini hesabla.

Öyrənilməli düstur

P(x)=B(x)Q(x)\implies Q(t)=\frac{P(t)}{B(t)},\quad B(t)\ne0

Qalıqsız bölmədə $P$ bölünəni, $B$ böləni, $Q$ isə qisməti göstərir. Verilən nöqtədə bölən sıfır deyilsə, qismətin qiymətini bölünənin qiymətini bölənin qiymətinə bölməklə tapmaq olar.

Öyrənilməli düstur

P(x)=(x-m)Q(x)+r,\quad r=P(m)

$x-m$ böləni üçün $r$ qalığını hesablamaq dəyişənin yerinə $m$ yazmaqla mümkündür. Əvvəl qalıqsız bölünməyə uyğun qiyməti sıfıra bərabərləşdirib əmsalı tap, sonra digər bölənin kökünü çoxhədlidə yerinə yaz.

Öyrənilməli qayda

Məxrəcin $m$ kökü surəti də sıfıra çevirirsə, hər ikisində $x-m$ vuruğu var və kəsr ixtisar olunur; ilkin məxrəci sıfırlayan qiymətlər yenə yolverilməzdir. Məxrəcin hər kökünü surətdə yerinə yazıb alınan ifadəni sıfıra bərabərləşdirməklə parametrin uyğun qiymətlərini müəyyən et.

Bölmədən qalığı tap

Hər sualda bir ədədi yerinə yaz və cavabı daxil et. Budaqlı bölməyə ehtiyac yoxdur.

Nümunələr

P(x)=x^3+ax+10

çoxhədlisi

x+2

ifadəsinə qalıqsız bölünür.

a

əmsalını və

x-1

böləninə uyğun qalığı tap.

Həllə bax

Şərtdən $P(-2)=-8-2a+10=0$ , yəni $a=1$ . Axtarılan qalıq $P(1)=1+1+10=12$ olur.

$x^3-2x^2+3x-6=(x-2)Q(x)$ verilib. $Q(3)$ qiymətini tap.

Həllə bax

Eynilikdə $x=3$ yaz: $27-18+9-6=(3-2)Q(3)$ . Buradan $Q(3)=12$ alınır.

$\frac{3x-k}{x^2-x-12}$ kəsrinin ixtisarına imkan verən $k$ qiymətlərini tap.

Həllə bax

Məxrəc $(x-4)(x+3)$ olur. Surətdə uyğun vuruğun yaranması üçün $12-k=0$ və ya $-9-k=0$ olmalıdır. Deməli, $k=12$ və ya $k=-9$ . Hər iki halda $x\ne4$ və $x\ne-3$ şərtləri saxlanır.

P(x)=2x^3-3x^2-3x+2

çoxhədlisinin rasional köklərini tap və onu vuruqlara ayır.

Həllə bax

Sərbəst hədd $2$ , baş əmsal da $2$ -dir. Surət $2$ -nin, məxrəc $2$ -nin böləni olmalıdır, ona görə namizədlər $\pm1$ , $\pm2$ , $\pm\frac{1}{2}$ olur.
$P(1)=2-3-3+2=-2$ , deməli, $1$ kök deyil.
$P(-1)=-2-3+3+2=0$ , deməli, $x+1$ vuruqdur.
$P(2)=16-12-6+2=0$ , deməli, $x-2$ də vuruqdur.
$P\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}-\frac{3}{2}+2=0$ , deməli, $2x-1$ də vuruqdur.
Yoxlama: $(x+1)(x-2)=x^2-x-2$ , bunu $2x-1$ -ə vursan, $2x^3-3x^2-3x+2$ alınır.

Köklər $-1$ , $2$ və $\frac{1}{2}$ -dir; $P(x)=(x+1)(x-2)(2x-1)$ .

Tipik səhv

$\frac{x+3}{x}=3$ yazırsan, $x+2$ bölənində isə qalıq kimi $P(2)$ hesablayırsan.

$\frac{x+3}{x}=1+\frac{3}{x}$ , burada $x\ne0$ ; $x+2$ böləni $x=-2$ olanda sıfıra çevrilir, ona görə qalıq $P(-2)$ -dir.

Cəmin ayrı-ayrı hədlərini ixtisar etmə: yalnız ortaq vuruqlar ixtisar olunur. $x+3$ cəmində $x$ vuruq deyil, toplanandır, ona görə $\frac{x+3}{x}$ ifadəsində $x$ hədlərini silmək olmaz.

Qalıq hesablayanda isə əvvəl böləni sıfıra çevirən qiyməti tap ki, işarəni qarışdırmayasan.

Özünü yoxla

$P(x)=x^2+3x-2$ çoxhədlisini $x+2$ -yə böləndə qalıq neçədir?

$x^3+x^2-4x-4=(x+1)Q(x)$ verilib. $Q(3)$ qiymətini tap.

$\frac{x^2-25}{x^2-5x}$ kəsrini ixtisar et və ilkin məxrəcin qoyduğu məhdudiyyətləri saxla. Hansı cavab doğrudur?

Bu mövzunu sınaqda yoxla

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahını oxu.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Çoxhədlinin çoxhədliyə bölünməsi», səh. 7
Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Qalıq haqqında teorem», səh. 11
Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Çoxhədlinin vuruqları haqqında teorem», səh. 13
Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Rasional köklərin tapılması», səh. 15
Dərslik: Riyaziyyat, 11-ci sinif, «Cəbrin əsas teoremi», səh. 21
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Rasional ifadələr», səh. 93
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Rasional ifadələrin sadələşdirilməsi», səh. 95
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Rasional ifadələrin vurulması, bölünməsi və qüvvətə yüksəldilməsi», səh. 100
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Rasional ifadələrin toplanması və çıxılması», səh. 103
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, «Rasional ifadələr üzərində əməllər», səh. 109
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 5.1 «Rasional kəsrlər», səh. 7
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 5.2 «Rasional kəsrlərin vurulması və bölünməsi», səh. 11
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 5.3 «Rasional kəsrlərin toplanması və çıxılması», səh. 14
Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 5.4 «Rasional ifadələr və onların çevrilməsi», səh. 19
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 2.1 «Natural üstlü qüvvət», səh. 39
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 2.2 «Qüvvətlərin vurulması və bölünməsi», səh. 42
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 2.3 «Hasilin və kəsrin qüvvəti», səh. 47
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 3.1 «Birhədlilər», səh. 59
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 3.2 «Çoxhədlilər», səh. 63
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 3.3 «Çoxhədlilərin toplanması və çıxılması», səh. 66
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 3.4 «Birhədlinin çoxhədliyə vurulması», səh. 70
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 3.5 «Çoxhədlinin çoxhədliyə vurulması», səh. 73
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 4.1 «Cəmin və fərqin kvadratı», səh. 83
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 4.2 «İki ədədin cəmi ilə fərqinin hasili», səh. 87
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 4.3 «Cəmin və fərqin kubu. Kublar cəmi və kublar fərqi», səh. 90
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 4.4 «Çoxhədlilərin vuruqlara ayrılması», səh. 96
Dərslik: Riyaziyyat, 7-ci sinif, 1-ci hissə, 4.5 «Müxtəsər vurma düsturlarının köməyi ilə vuruqlara ayırma», səh. 99
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 2-ci hissə, 6.1 «Dəyişəni olan ifadələr», səh. 27
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 2-ci hissə, 6.2 «Riyazi ifadələrdə mötərizələrin açılması», səh. 31
Dərslik: Riyaziyyat, 6-cı sinif, 2-ci hissə, 6.3 «Dəyişənli ifadələrin sadələşdirilməsi», səh. 34
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 1-ci hissə, 1.7 «Ədədi ifadələr», səh. 27
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 2-ci hissə, 5.1 «Dəyişəni olan ifadələr», səh. 7
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 2-ci hissə, 5.2 «Birdəyişənli ifadələrin sadələşdirilməsi», səh. 10