Riyaziyyat, Rasional ifadələr

Rasional ifadələrin sadələşdirilməsi: vuruqlara ayır, ixtisar et

Rasional ifadəni vuruqlara ayırıb ixtisar etməyi, mürəkkəb kəsri sadələşdirməyi və nəticənin qiymətini tez tapmağı öyrənəcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Tutaq ki, $\frac{x^2-1}{x-1}$ ifadəsinin $x=1001$ olduqda qiymətini tapmalısan. Birbaşa hesablasan, əvvəlcə $1001^2$ -ni tapacaqsan, ondan $1$ çıxacaqsan, sonra da $1002000$ -i $1000$ -ə böləcəksən. Yorucudur, səhv etmək də asandır.

İndi başqa yolla gedək: surəti vuruqlara ayır, $x^2-1=(x-1)(x+1)$ . Surətdə də, məxrəcdə də $x-1$ var, onu ixtisar edirsən və geriyə $x+1$ qalır ( $x\ne 1$ olduqda). Cavab bir anda alınır: $1002$ .

Rasional ifadəni sadələşdirmək elə budur: uzun yazını eyni qiyməti verən qısa yazı ilə əvəz edirsən. Fikir $\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$ ixtisarı ilə eynidir, sadəcə burada ədədlərin yerində hərflər var.

Niyə lazımdır

Qısa ifadə ilə işləmək həm tez, həm də etibarlıdır, çünki hər artıq əməl hesablamada yeni bir səhv imkanıdır. Testdə cavab ən sadə şəkildə yazılır. İfadəni axıra qədər sadələşdirməsən, öz düzgün cavabını variantlar arasında tanımaya bilərsən.

Bu bacarıq fizikada da işinə yarayır. Paralel qoşulmuş iki rezistor üçün $\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$ yazılır. Kəsrləri ortaq məxrəcə gətirsən, hazır düstur alınır: $R=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$ .

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Tapşırıqda mötərizəli, bir neçə əməlli rasional ifadə verilir. Onu sadələşdirmək, sonra isə nəticəni ədəd kimi yazmaq tələb olunur. Digər variantlarda dəyişənin verilmiş qiymətində ifadənin qiyməti soruşulur, yaxud iki dəyişənin nisbəti verilir və ifadənin qiyməti bu nisbətdən tapılır. İçində kəsr olan kəsrlə (mürəkkəb kəsrlə) də rastlaşa bilərsən.

Qayda

Eynilik çevrilməsi ifadəni dəyişənin bütün mümkün qiymətlərində ona bərabər olan başqa ifadə ilə əvəz etməkdir.
Əməllər adi ardıcıllıqla yerinə yetirilir: mötərizənin içi, sonra qüvvət, sonra vurma və bölmə, axırda toplama və çıxma.
Çevrilmənin əsas vasitəsi vuruqlara ayırmadır: ortaq vuruq mötərizə xaricinə çıxarılır, $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ və $a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2$ düsturları işlədilir.
Mürəkkəb kəsrdə surət və məxrəc ayrı-ayrılıqda sadə kəsr şəklinə salınır, sonra surət məxrəcə bölünür.
Dəyişənin qiyməti verilibsə, əvvəlcə ifadə sadələşdirilir, sonra qiymət qoyulur. Əgər $\frac{a}{b}=k$ verilibsə, $a=kb$ yazıb ifadədə $a$ -nın yerinə qoy.
$a-b=-(b-a)$ bərabərliyi vuruqları eyniləşdirmək üçün lazımdır.

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

\frac{A}{B}-\frac{C}{D}=\frac{AD-BC}{BD},\qquad \frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\times\frac{D}{C}

Mötərizədəki fərq əvvəlcə ortaq məxrəcə gətirilib bir kəsrə çevrilir. Sonra bölmə tərs kəsrlə vurmaya keçirilir və ortaq vuruqlar ixtisar olunur.

Öyrənilməli düstur

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),\quad a^2-b^2=(a-b)(a+b)

Surət və məxrəci vuruqlara ayır: burada $a$ və $b$ ifadələrdir, $m^3-27$ üçün $b=3$ olur. Ortaq vuruğu ixtisar et, sonra çıxmanı yerinə yetir və mötərizənin qarşısındakı mənfi işarəsinə fikir ver.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}a^2-b^2=(a-b)(a+b)\\[6pt] \frac{p\times k}{q\times k}=\frac{p}{q},\ k\neq0\end{gathered}

Surət və məxrəci vuruqlara ayırıb ortaq vuruğu ixtisar et, eyni məxrəcli kəsrləri birləşdir. Sonra $a=4b$ əvəz edib $b$ -ni ixtisar et.

Öyrənilməli düstur

\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c},\quad x^2-y^2=(x-y)(x+y)

Bölməni tərs kəsrə vurmaqla əvəz et, surət və məxrəcləri vuruqlara ayırıb ixtisar et. Sadə nəticəni aldıqdan sonra $x$ -in qiymətini yaz.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ad\pm bc}{bd}\\[6pt] \frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}\end{gathered}

Müxtəlif məxrəcli kəsrlər ortaq məxrəcə gətirilib toplanır və ya çıxılır, bölmə isə tərs kəsrə vurma ilə əvəz olunur. Burada surət və məxrəc ayrıca sadələşdirilir, sonra onların nisbəti tapılır.

Əvvəl sadələşdir, sonra hesabla

Hər ifadəni əvvəlcə sadələşdir, sonra qiyməti qoy. Cavabı ədəd kimi yaz, onluq kəsr lazım olsa, vergüllə yaz.

Nümunələr

\left(\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}\right)\times\frac{x^2-4}{x}

ifadəsini sadələşdir.

Həllə bax

Mötərizədə ortaq məxrəc $x^2-4$ olur: $\frac{(x+2)+(x-2)}{x^2-4}=\frac{2x}{x^2-4}$ . Vurduqda $\frac{2x}{x^2-4}\times\frac{x^2-4}{x}=2$ alınır. Yoxlama: $x=3$ üçün $\left(1+\frac{1}{5}\right)\times\frac{5}{3}=2$ .

$\frac{4}{a-2}-\frac{a^2}{a^2-2a}$ ifadəsinin $a=6$ olduqda qiymətini tap.

Həllə bax

Məxrəc $a(a-2)$ -dir, ikinci kəsri $a$ -ya ixtisar edirik: $\frac{4}{a-2}-\frac{a}{a-2}=\frac{4-a}{a-2}$ . Burada $a\ne 0$ və $a\ne 2$ olmalıdır. İndi $a=6$ qoyuruq: $\frac{4-6}{6-2}=-\frac{1}{2}$ . Yoxlama: ilkin ifadədən $1-\frac{36}{24}=-\frac{1}{2}$ .

$\frac{x}{y}=3$ olarsa, $\frac{x^2-xy}{xy+y^2}$ ifadəsinin qiymətini tap.

Həllə bax

Surət $x(x-y)$ , məxrəc $y(x+y)$ -dir. $x=3y$ qoyuruq: $\frac{3y\times 2y}{y\times 4y}=\frac{6y^2}{4y^2}=\frac{6}{4}=1{,}5$ . Surətdə $6y^2$ , məxrəcdə isə $4y^2$ alındığı üçün $y^2$ ixtisar olunur və nəticə ədəd çıxır.

$x=3y$ əvəzləməsi
Hissə	Vuruqlar	Əvəzləmədən sonra
Surət	$x(x-y)$	$6y^2$
Məxrəc	$y(x+y)$	$4y^2$

Tipik səhv

$\frac{x-2}{2-x}=1$

$\frac{x-2}{2-x}=\frac{x-2}{-(x-2)}=-1$

Surətlə məxrəc oxşar görünür, amma eyni deyil: $2-x=-(x-2)$ , yəni bunlar əks ifadələrdir və kəsr $-1$ -ə bərabərdir. Yoxla: $x=3$ üçün $\frac{1}{-1}=-1$ alınır.

Fərqin hədləri tərs sırada yazılıbsa, əvvəlcə mənfi işarəsini qarşıya çıxar və hədlərin yerini dəyiş, sonra ixtisar et. $\frac{a-b}{b-a}$ kəsri üçün də eyni qayda doğrudur.

Özünü yoxla

$x\ne 4$ olduqda $\frac{x^2-8x+16}{4-x}$ ifadəsini sadələşdir.

$x\ne 0$ , $y\ne 0$ və $x+y\ne 0$ olduqda $\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{x+y}$ mürəkkəb kəsrini sadələşdir.

$\frac{a}{b}=5$ olarsa, $\frac{a^2-b^2}{a^2-2ab+b^2}$ ifadəsinin qiymətini tap.

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 8-ci sinif, 2-ci hissə, 5.4 «Rasional ifadələr və onların çevrilməsi», səh. 19