Riyaziyyat, Funksiyalar və qrafiklər

Qrafiklərin çevrilməsi: qrafiki sürüşdür, əks etdir, dart

Düstura baxıb qrafikin hara sürüşdüyünü, necə əks olunduğunu və necə dartıldığını dərhal görməyi öyrənəcəksən.

Oxumaq: 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: sakit gölün səthində sahildəki şam ağaclarının və təpənin tərsinə əksi.

Sakit gölün səthinə bax: sahildəki ağaclar suda tərsinə görünür. Budağın ucu suyun səthindən nə qədər yuxarıdadırsa, əksi də o qədər aşağıdadır. Qrafiklərdə də belə bir çevrilmə var və ona əksetmə deyilir.

Başqa bir misal götürək. $y=x^2-6x+5$ ilk baxışda yeni bir funksiya kimi görünür. Amma onu $y=(x-3)^2-4$ kimi yazanda aydın olur ki, bu, köhnə tanış $y=x^2$ parabolasıdır, sadəcə 3 vahid sağa və 4 vahid aşağı köçürülüb. Forması eyni qalıb, yalnız yeri dəyişib.

Deməli, bir neçə əsas qrafiki tanısan və onları necə sürüşdürmək, əks etdirmək, dartmaq lazım olduğunu bilsən, onlarla düsturun qrafikini cədvəlsiz çəkə bilərsən.

Niyə lazımdır

Qrafiki nöqtə-nöqtə, cədvəllə qurmaq uzun işdir. Çevrilmələri bilən adam isə əsas qrafiki götürür, lazım olan qədər sürüşdürür və bir-iki nöqtə ilə yoxlayır. Testdə vaxtı məhz belə qazanırsan: variantlardakı düsturları bir-bir hesablamırsan, təpənin harada olduğuna baxıb uyğun gəlməyənləri dərhal atırsan.

Bu bacarıq sonra da lazım olacaq. Kvadrat funksiyanın ən kiçik qiyməti, modullu və kökaltılı funksiyaların qrafikləri, triqonometrik funksiyaların sürüşdürülməsi eyni qaydalara əsaslanır.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Testlərdə çox vaxt şəkildəki qrafikə uyğun düsturu seçmək lazım gəlir: $y=\sqrt{x}$ , $y=|x|$ və ya $y=x^2$ qrafiki sağa, sola, yuxarı və ya aşağı sürüşdürülmüş olur. Bəzən kvadrat üçhədlidən tam kvadrat ayırıb parabolanın təpə nöqtəsini, funksiyanın ən kiçik qiymətini və ya qiymətlər çoxluğunu tapmaq tələb olunur. Açıq tapşırıqlarda parabola koordinat oxlarına və ya koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrik çevrilir, yeni təpə nöqtələri tapılır, sonra onların arasındakı məsafə, alınan dördbucaqlının perimetri və ya sahəsi hesablanır.

Qayda

$y=f(x-m)+n$ : qrafik $m>0$ olduqda $m$ vahid sağa, $m<0$ olduqda $|m|$ vahid sola, $n>0$ olduqda yuxarı, $n<0$ olduqda aşağı sürüşür; nöqtə $(a;\,b)\to(a+m;\,b+n)$ olur.
$y=-f(x)$ : absis oxuna nəzərən əksetmə, $(a;\,b)\to(a;\,-b)$ .
$y=f(-x)$ : ordinat oxuna nəzərən əksetmə, $(a;\,b)\to(-a;\,b)$ .
$y=-f(-x)$ : koordinat başlanğıcına nəzərən simmetriya, $(a;\,b)\to(-a;\,-b)$ .
$y=k\times f(x)$ , $k>0$ : ordinat $k$ dəfə dəyişir, $(a;\,b)\to(a;\,kb)$ ; $k>1$ olduqda absis oxundan dartılma, $0<k<1$ olduqda isə ona sıxılma alınır.
$y=f\left(\frac{x}{k}\right)$ , $k>0$ : absis $k$ dəfə dəyişir, $(a;\,b)\to(ka;\,b)$ ; $k>1$ olduqda ordinat oxundan dartılma, $0<k<1$ olduqda isə ona sıxılma alınır.

Bu mövzunun tapşırıqlarında işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

y=f(x)\to y=-f(x),\ y=f(-x),\ y=-f(-x)

Bu çevrilmələr uyğun olaraq absis oxuna, ordinat oxuna və koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir. Təpə $(m;\ n)$ nöqtəsi də uyğun olaraq $(m;\ -n)$ , $(-m;\ n)$ , $(-m;\ -n)$ nöqtələrinə keçir.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}M(x;\ y)\ \to\ M_1(-x;\ -y)\\[6pt] d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\end{gathered}

Koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrik nöqtənin hər iki koordinatı əks işarə ilə yazılır. Bununla $A$ və $C$ nöqtələrinə uyğun $B$ və $D$ tapılır, sonra məsafə düsturu tətbiq olunur.

Qrafik hara getdi?

Düstura bax və qrafikin, ya da nöqtənin hara keçdiyini seç.

Nümunələr

y=x^2+10x+21

parabolasının təpə nöqtəsini tap.

Həllə bax

Həlli: $x^2+10x+21=(x+5)^2-4$ . Bu qrafik $y=x^2$ parabolasının 5 vahid sola və 4 vahid aşağı köçürülməsidir, deməli, təpə nöqtəsi $(-5;\,-4)$ -dür.

y = (x + 5)² − 4 parabolasının təpəsi (−5; −4) nöqtəsidir. — $y=(x+5)^2-4$ , təpə $(-5;-4)$

$A(2;\,-6)$ nöqtəsi $y=f(x)$ qrafikinin üzərindədir. $y=3-\frac{1}{2}f(x+4)$ qrafiki hansı nöqtədən mütləq keçir?

Həllə bax

Həlli: $x+4=2$ şərtindən $x=-2$ , onda $y=3-\frac{1}{2}\times(-6)=6$ . Cavab: $(-2;\,6)$ .

$y=\sqrt{x}$ qrafikini ordinat oxuna nəzərən əks etdirdikdə alınan funksiyanın təyin oblastını tap.

Həllə bax

Həlli: yeni funksiya $y=\sqrt{-x}$ -dir; $-x\ge0$ olmalıdır, deməli, təyin oblastı $(-\infty;\,0]$ aralığıdır.

Tipik səhv

$y=(x-3)^2$ : mötərizədə mənfi var, deməli, qrafik 3 vahid sola sürüşür, təpə $(-3;\,0)$ olur.

$y=(x-3)^2$ qrafiki $y=x^2$ parabolasının 3 vahid sağa köçürülməsidir, təpə $(3;\,0)$ olur. $f(x+3)$ isə sola sürüşmədir.

Yoxlamaq üçün təpəni izlə: $y=(x-3)^2$ ən kiçik qiymətini $x=3$ olduqda alır, yəni təpə sağdadır. Hər addımda bir nöqtənin, məsələn, təpənin hara keçdiyini yaz.

Daha iki tələ var. Tam kvadrat ayırarkən mötərizə xaricindəki əmsalı unutma: $2x^2+4x=2(x+1)^2-2$ , $-1$ deyil. Çevrilmələrin ardıcıllığına da fikir ver: əvvəlcə dartıb sonra köçürmək, əvvəlcə köçürüb sonra dartmaqla eyni nəticəni vermir.

Mövzu üzrə test

$y=f(x)$ qrafikini $2$ vahid sola və $5$ vahid yuxarı köçürsən, hansı funksiyanın qrafikini alarsan?

$y=f(x)$ qrafikindəki $A(-4;\,3)$ nöqtəsi $y=-2\times f(x)$ çevrilməsi zamanı hansı nöqtəyə keçir?

$y=f(x)$ qrafikindəki $B(9;\,-2)$ nöqtəsi $y=f(3x)$ çevrilməsi zamanı hansı nöqtəyə keçir?

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahını oxu.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Qrafiklərin çevrilmələri», səh. 24