Riyaziyyat, Ölçmə. Statistikanın elementləri. Çoxluqlar. Birləşmələr nəzəriyyəsinin və ehtimal nəzəriyyəsinin elementləri

Permutasiya və kombinezon: sıra nə vaxt vacibdir?

Sıranın vacib olub-olmadığını ayırd edəcək, permutasiya, yerləşdirmə və kombinezon düsturlarından düzgün olanını seçəcəksən.

Oxumaq üçün 3 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: taxta rəfdə yan-yana düzülmüş müxtəlif rəngli kitablar.

Rəfə üç kitab qoyursan. Onları neçə cür düzmək olar? Bir-bir yazsan, altı variant alınır: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Kitab on olanda isə variantların sayı $3\,628\,800$ -ə çatır. Bu sayda düzülüşü bir-bir yazmaq çox vaxt aparar, amma hesablamaq bir neçə saniyəlik işdir.

Bir maraqlı məqam da var. Rəqəmli qıfıla ingiliscə «combination lock», yəni «kombinasiya qıfılı» deyirlər. Riyaziyyatçı burada gülümsəyər: qıfılda rəqəmlərin sırası vacibdir. Əgər qıfılın kodu $123$ olsa, $321$ yığsan açılmaz. Sıra vacibdirsə, bu artıq kombinezon deyil.

Bu mövzunun bütün sirri bir sualdadır: sıra nəticəni dəyişirmi? Cavabı bilsən, düsturu seçmək çətin olmayacaq.

Niyə lazımdır

Saymaq lazım olan hər yerdə bu düsturlar işə yarayır: turnirdə neçə oyun olacağını, parolun neçə variantı ola biləcəyini, bir qrupdan neçə cür komanda seçmək mümkün olduğunu tez tapırsan. Ehtimal məsələlərində də çox vaxt əvvəlcə bütün halların sayını məhz bu yolla hesablayırsan.

İmtahanda bu tapşırıqların hesablama hissəsi qısadır. Əsas iş düzgün düsturu seçməkdir: sualı düzgün oxusan, cavabın yarısı hazırdır.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

İmtahanda faktorialı olan ifadələrin qiyməti hesablanır, ${}_nP_k$ və ${}_nC_k$ qiymətləri tapılır. Sözlərin hərflərini və ya rəqəmləri düzmək, adamları cərgəyə düzmək, komanda və ya heyət seçmək kimi məsələlər də gəlir. Bəzi tapşırıqlarda iki adamın yanaşı olması şərti qoyulur, bəzilərində isə həndəsi fiqurların (çevrə üzərindəki nöqtələrdən düzələn çoxbucaqlıların) sayı soruşulur.

Qayda

$n!=n\times(n-1)\times\ldots\times2\times1$ , $0!=1$ . Bütün $n$ elementin düzülüşlərinin (permutasiyaların, yerdəyişmələrin) sayı ${}_nP_n=n!$ .
Hesablayanda $(n+1)!=(n+1)\times n!$ bərabərliyindən istifadə et: məsələn, $\dfrac{9!}{7!}=9\times8=72$ .
Təkrarlanan elementlər olduqda sayı təkrar sayının faktorialına bölmək lazımdır: $\dfrac{n!}{n_1!\times n_2!\times\ldots\times n_k!}$ .
$n$ elementdən $k$ elementin sıra ilə düzülüşlərinin (yerləşdirmələrin) sayı ${}_nP_k=\dfrac{n!}{(n-k)!}$ .
Sıranın əhəmiyyəti yoxdursa, seçim kombinezon adlanır: ${}_nC_k=\dfrac{n!}{(n-k)!\times k!}={}_nC_{n-k}$ . Burada ${}_nP_k={}_nC_k\times k!$ .
Sıra seçimi dəyişirmi?
Seçim Sıra Say
Yerləşdirmə Əhəmiyyətlidir ${}_nP_k$
Kombinezon Əhəmiyyətsizdir ${}_nC_k$

Sıra seçimi dəyişirmi?
Seçim	Sıra	Say
Yerləşdirmə	Əhəmiyyətlidir	${}_nP_k$
Kombinezon	Əhəmiyyətsizdir	${}_nC_k$

Tapşırıqlarda işlənən düsturlar

Öyrənilməli düstur

{}_nP_n=n!=n\times(n-1)\times\ldots\times2\times1

$n$ müxtəlif elementin hamısının yerdəyişmələrinin sayı $n!$ -dır, yəni $1$ -dən $n$ -ə qədər natural ədədlərin hasilidir. İfadədə $4!$ və $3!$ ayrıca hesablanıb toplanır.

Öyrənilməli düstur

C_n^k=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}

2 tapşırıqda

$n$ elementdən $k$ elementi sıra nəzərə alınmadan seçmək üsullarının sayı belə tapılır. Burada $n=24$ , $k=2$ götürülür.

Sıra əhəmiyyət daşımayan seçimlərin sayı budur: $n$ nöqtədən $k$ təpə seçilir. Dördbucaqlı üçün $k=4$ götür.

Öyrənilməli düstur

\begin{gathered}C_n^k=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}\\[6pt]N=C_m^p\times C_n^k\end{gathered}

$C_n^k$ sırası nəzərə alınmayan seçimlərin sayıdır: $n$ elementdən $k$ element götürülür. Oğlanları və qızları ayrıca seçib üsulların saylarını vurursan.

Öyrənilməli düstur

N=(n-1)!\times 2!

$n$ nəfərdən iki nəfər yanaşı durmalıdırsa, onları bir element say: qalan $n-1$ elementin yerdəyişmələri $(n-1)!$ olur. Sonra həmin iki nəfərin öz aralarında yerini dəyişməsi üçün $2!$ vurulur.

Öyrənilməli düstur

A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}

$n$ elementdən sıralanmış $k$ elementi seçmə üsullarının sayı $A_n^k$ -dır, ardıcıl seçimlərin sayları isə vurulur. Burada əvvəlcə cüt təklik rəqəmi seçilir, qalan iki mövqe isə qalan rəqəmlərdən doldurulur.

Öyrənilməli düstur

A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}=n(n-1)\cdots(n-k+1)

Elementlər təkrarlanmırsa və seçmə sırası əhəmiyyətlidirsə, $n$ elementdən $k$ elementin düzülüşlərinin sayı $A_n^k$ olur. Burada $n=7$ və $k=4$ götürülür.

Özün say

Hər sualda əvvəlcə düşün: sıra vacibdirmi? Sonra cavabı yaz.

Nümunələr

7 nəfərdən sədr və katibi neçə üsulla seçmək olar?

Həllə bax

Vəzifələr fərqlidir, ona görə eyni iki adamı müxtəlif sırada seçmək müxtəlif nəticə verir. Sədri 7 üsulla, katibi qalan 6 nəfərdən seçirik:

{}_7P_2=7\times6=42

5 qız və 4 oğlandan 2 qız və 1 oğlandan ibarət qrupu neçə üsulla seçmək olar?

Həllə bax

Qızlar: ${}_5C_2=\dfrac{5\times4}{2}=10$ , oğlanlar: ${}_4C_1=4$ . Seçimlər bir-birindən asılı olmadığından vurma qaydası ilə $10\times4=40$ .

"ANANAS" sözünün hərflərini neçə müxtəlif üsulla düzmək olar?

Həllə bax

6 hərf var: üç A, iki N, bir S. Hərflər müxtəlif olsaydı $6!=720$ düzülüş alınardı, eyni hərflərin öz aralarında yer dəyişməsi isə yeni söz yaratmır. Ona görə sayı $\dfrac{6!}{3!\times2!\times1!}=\dfrac{720}{12}=60$ .

ANANAS sözündə təkrarlar
Hərf	Say
A	$3$
N	$2$
S	$1$

5 nəfər bir cərgəyə düzülür. A və B mütləq yanaşı durmalıdır. Neçə müxtəlif düzülüş var?

Həllə bax

A ilə B-ni bir blok kimi say. Onda düzüləsi 4 element qalır: blok və digər 3 nəfər. Onların düzülüşlərinin sayı $4!=24$ .
Blokun içində A və B öz aralarında yer dəyişə bilər: AB və ya BA, yəni $2!=2$ üsul.
Bu iki seçim bir-birindən asılı deyil, ona görə vururuq: $24\times2=48$ .

$48$ düzülüş

Tipik səhv

10 nəfərdən 3 nəfərlik heyət: ${}_{10}P_3=10\times9\times8=720$

Heyətdə sıra fərq yaratmır: ${}_{10}C_3=\dfrac{10\times9\times8}{3!}=\dfrac{720}{6}=120$

Şagirdlər sıranın əhəmiyyəti olub-olmadığına baxmadan ${}_nP_k$ və ${}_nC_k$ düsturlarını qarışdırırlar. Heyətdə kimin əvvəl, kimin sonra yazılması fərq yaratmır, ${}_{10}P_3$ yazsan, hər heyət $3!=6$ dəfə sayılar. Tərsinə, vəzifə bölgüsündə kombinezon götürsən, cavab lazım olandan kiçik çıxar.

Əvvəlcə özündən soruş: iki seçilmiş adamın yerini dəyişəndə nəticə dəyişir, ya yox? Dəyişirsə permutasiya, dəyişmirsə kombinezon işlət.

Özünü yoxla

$6$ müxtəlif elementdən $2$ elementi sıra nəzərə alınmadan neçə üsulla seçə bilərsən?

$1$ , $3$ , $5$ , $7$ , $9$ rəqəmlərindən rəqəmləri təkrarlanmayan neçə ikirəqəmli ədəd yaza bilərsən?

$A$ , $A$ , $B$ , $B$ , $C$ hərflərinin hamısından istifadə edərək neçə müxtəlif hərf ardıcıllığı qura bilərsən?

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif Mövzu üzrə sınaq, 9-cu sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Permutasiya-yerdəyişmə, nPn», səh. 229
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Təkrarlı permutasiyalar», səh. 230
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Permutasiya-yerləşdirmə, nPk», səh. 231
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Kombinezon, nCk», səh. 233