Riyaziyyat, Ölçmə. Statistikanın elementləri. Çoxluqlar. Birləşmələr nəzəriyyəsinin və ehtimal nəzəriyyəsinin elementləri

Məlumatın qruplaşdırılması və təqdimi: cədvəl və diaqramlar

Tezlik cədvəlini və diaqramları oxuyub ədədi ortanı, modanı, medianı və sektorun bucağını səhvsiz tapmağı öyrənəcəksən.

Oxu vaxtı: 4 dəqiqə

Süni intellektlə hazırlanmış şəkil: masanın üstündə ekranında sütunlu diaqram olan telefon və əl ilə sütunlu diaqram çəkilmiş açıq dəftər.

Bəzi telefonlarda ekran vaxtı bölməsi gündəlik istifadə müddətini sütunlu diaqramla göstərir: dəqiqələrin uzun siyahısı əvəzinə hər gün üçün bir sütun. Bir baxışda hansı gün telefondan çox istifadə etdiyini bilirsən.

İndi təsəvvür et ki, sinifdə 30 nəfərin yoxlama yazısından aldığı qiymətləri sıra ilə yazmısan. Otuz ədəd yan-yana durur, amma heç nə aydın deyil. Eyni qiymətləri sayıb cədvələ yığanda isə «neçə nəfər 4 alıb?» sualının cavabı dərhal görünür.

Bu mövzu məhz bunu öyrədir: məlumatı qruplaşdırmaq, cədvəl və diaqramla göstərmək, sonra da onu düzgün oxumaq.

Niyə lazımdır

Diaqramlar hər yerdədir: xəbərlərdə, idman cədvəllərində, elektron jurnalda öz qiymətlərində. Onları düzgün oxuya bilən adamı yanıltmaq çətindir: bir sütunun hündür görünməsi hələ heç nə demir, əsas olan oxdakı ədədlərdir.

İmtahanda bu tapşırıqlar uzun düsturlar istəmir: diqqətlə oxumaq və sadə hesablama aparmaq kifayətdir. Amma şərtdə sərhəd bildirən bir sözü səhv oxumaq cavabı dəyişə bilər, ona görə qaydaları və tipik səhvi yaxşı bilmək sənə birbaşa xal qazandırır.

İmtahan bu mövzuda nə soruşur?

Tapşırıqlarda məlumat hazır formada verilir: sütunlu diaqram, histoqram, xətti diaqram və ya cədvəl. Ədədləri düzgün oxuyub hesablamaq lazımdır: verilmiş şərtə uyğun qiymətlərin sayını, nisbi tezliyini və ya faizini, medianı, modanı, ədədi ortanı tapmaq, təsadüfən seçilən adamın müəyyən qrupa aid olması ehtimalını hesablamaq. Çətin tapşırıqlarda cədvəldə naməlum tezliklər olur: onlar tezliklərin cəmindən və ya orta qiymətdən tənlik qurmaqla tapılır.

Qayda

Qiymətin tezliyi onun məlumatda neçə dəfə rast gəlindiyini göstərir. Nisbi tezlik $\frac{\text{tezlik}}{n}$ -dir ( $n$ bütün qiymətlərin sayıdır); nisbi tezliklərin cəmi 1-dir.
Ədədi orta: hər qiyməti öz tezliyinə vurub hasilləri toplayırıq və cəmi $n$ -ə bölürük. Moda tezliyi ən böyük olan qiymətdir. Median artan sırada ortada duran qiymətdir (cüt $n$ olduqda ortadakı iki qiymətin ədədi ortası). Bütün hallar bərabər ehtimallı olduqda ehtimal əlverişli halların sayının bütün halların sayına nisbətidir.
Dairəvi diaqramda sektorun mərkəzi bucağı $\frac{\text{tezlik}}{n}\times360^\circ$ -dir, yəni bucaqlar tezliklərlə mütənasibdir.
Qruplaşdırmada sinfin ölçüsü bütün qiymətləri əhatə etmək üçün seçilir; tam ədədlər üçün $\left\lceil\frac{\text{ən böyük qiymət}-\text{ən kiçik qiymət}+1}{\text{siniflərin sayı}}\right\rceil$ -dir; birinci sinif ən kiçik qiymətdən başlayır, siniflər üst-üstə düşmür.
Gövdə-budaq sxemində gövdə onluqları, budaq təklikləri göstərir: $6\,|\,2$ yazılışı 62 deməkdir, hər budaq rəqəmi ayrıca bir qiymətdir.

Cədvəli oxu, hesabla

Verilən məlumatları oxu. Cavabı yaz və yoxla.

Nümunələr

Sorğuda iştirak edən 40 nəfərdən 13-ü metroya üstünlük verib. Dairəvi diaqramda bu cavabın sektorunun bucağını tap.

Həllə bax

Həlli:

\frac{13}{40}\times360^\circ=117^\circ

Qiymətlər 2, 3, 4, 5, onların tezlikləri isə uyğun olaraq 3, 7, 6, 4-dür. Ədədi ortanı, modanı və medianı tap.

Həllə bax

Həlli: $n=20$ . Ədədi orta $\frac{2\times3+3\times7+4\times6+5\times4}{20}=\frac{71}{20}=3{,}55$ -dir. Moda 3-dür, çünki onun tezliyi (7) ən böyükdür. Median üçün 10-cu və 11-ci qiymətlər lazımdır: tezlikləri soldan toplayırıq: 3, 10, 16. Deməli 10-cu qiymət 3, 11-ci qiymət 4-dür və median $\frac{3+4}{2}=3{,}5$ -dir.

Qiymət və tezlik
Qiymət	Tezlik
2	3
3	7
4	6
5	4

Ən kiçik qiyməti 12, ən böyüyü 55 olan tam ədədlərdən ibarət məlumatı 5 sinfə ayır.

Həllə bax

Həlli: $(55-12):5=8{,}6\approx9$ ; hər sinifdə 9 tam qiymət olur: 12–20, 21–29, 30–38, 39–47, 48–56.

Tipik səhv

Qiymətlər 1, 2, 3, tezliklər 4, 5, 6: $n=3$ , ədədi orta $=\frac{1+2+3}{3}=2$ .

$n=4+5+6=15$ , ədədi orta $=\frac{1\times4+2\times5+3\times6}{15}=\frac{32}{15}\approx2{,}13$ .

Ədədi ortada qiymətlər tezliklərə vurulur, medianda isə heç nə vurulmur: tezlikləri soldan toplayıb ortadakı yeri tap. Hər iki halda $n$ sütunların sayı deyil, hündürlüklərin cəmidir: diaqramda sütunun hündürlüyü tezlikdir, üfüqi oxdakı yazı isə qiymətin özüdür.

Ən çox səhv sərhəd sözlərində olur: “2-dən çox” 2-ni daxil etmir, “2-dən az olmayan” isə daxil edir; $[40;\,50)$ intervalına 50 daxil deyil. Dairəvi diaqramda nisbi tezlik 100-ə deyil, $360^\circ$ -yə vurulur. Naməlum tezlikli cədvəldə görünən ən böyük tezliyə baxıb ən hündür sütunu və ya modanı dərhal müəyyən etmə: əvvəlcə naməlumları tap.

Özünü yoxla

Sütunlu diaqramda $3$ , $8$ , $11$ qiymətlərinə uyğun sütunların hündürlükləri müvafiq olaraq $5$ , $2$ , $4$ -dür. Modanı tap.

Dairəvi diaqramda cəmi $28$ qiymət göstərilib. Mərkəzi bucağı $90^\circ$ olan sektorun tezliyini tap.

Gövdə-budaq sxeminin sətirləri $2\,|\,4\;7\;7$ və $3\,|\,0\;2\;6$ şəklindədir. Medianı tap.

Bu mövzunu sınaqda yoxla

Bu mövzunun tapşırıqlarını həll et və hər birinin izahına bax.

Mövzu üzrə sınaq, 11-ci sinif

Digər mövzular

Bütün Riyaziyyat mövzuları

Dərslikdə bu mövzu

Dərslik: Riyaziyyat, 10-cu sinif, «Məlumatın təqdimi», səh. 287
Dərslik: Riyaziyyat, 9-cu sinif, «Tezlik paylanması cədvəli», səh. 218
Dərslik: Riyaziyyat, 5-ci sinif, 2-ci hissə, 8.3 «Məlumatların təsviri», səh. 93